高中教育最新高三数学专题复习 每日一题规范练 文.docx
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高中教育最新高三数学专题复习每日一题规范练文
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【高中教育】最新高三数学专题复习每日一题规范练文
______年______月______日
____________________部门
(2)若5cos(θ-φ)=3cosφ,0<φ<,求φ的值.
20xx年____月____日(周一)
[题目2]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AD和DD1的中点.求证:
(1)EF∥平面C1BD;
(2)A1C⊥平面C1BD.
20xx年____月____日(周二)
[题目3]如图,某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园,种植桃树,已知角A为120°,AB,AC的长度均大于200米,现在边界AP,AQ处建围墙,在PQ处围竹篱笆.
(1)若围墙AP,AQ总长为200米,如何围可使三角形地块APQ的面积最大?
(2)已知AP段围墙高1米,AQ段围墙高1.5米,造价均为每平方米100元.若围围墙用了20000元,问如何围可使竹篱笆用料最省?
20xx年____月____日(周三)
[题目4]已知椭圆C:
+=1的上顶点为A,直线l:
y=kx+m交椭圆于P,Q两点,设直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2.
(1)若m=0时,求k1·k2的值;
(2)若k1·k2=-1时,证明:
直线l:
y=kx+m过定点.
20xx年____月____日(周四)
[题目5]在数列{an},{bn}中,已知a1=0,a2=1,b1=1,b2=,数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的前n项和为Tn,且满足Sn+Sn+1=n2,2Tn+2=3Tn+1-Tn,其中n为正整数.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)问是否存在正整数m,n,使>1+bm+2成立?
若存在,求出所有符合条件的有序实数对(m,n);若不存在,请说明理由.
20xx年____月____日(周五)
[题目6]设函数f(x)=x2lnx-ax2+b在点(x0,f(x0))处的切线方程为y=-x+b.
(1)求实数a及x0的值;
(2)求证:
对任意实数b∈,函数f(x)有且仅有两个零点.
20xx年____月____日(周六)
[题目7]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a+c=b.
(1)求证:
B≤;
(2)当·=-2,b=2时,求△ABC的面积.
20xx年____月____日(周一)
[题目8]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O,E分别为B1D,AB的中点.
(1)求证:
OE∥平面BCC1B1;
(2)求证:
平面B1DC⊥平面B1DE.
20xx年____月____日(周二)
[题目9]椭圆M:
+=1(a>b>0)的离心率为,且经过点P.过坐标原点的直线l1与l2均不在坐标轴上,l1与椭圆M交于A,C两点,l2与椭圆M交于B,D两点.
(1)求椭圆M的方程;
(2)若平行四边形ABCD为菱形,求菱形ABCD面积的最小值.
20xx年____月____日(周三)
[题目10]如图,有一个长方形地块ABCD,边AB为2km,AD为
4km.地块的一角是湿地(图中阴影部分),其边缘线AC是以直线AD为对称轴,以A为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF,E,F分别在边AB,BC上(隔离带不能穿越湿地,且占地面积忽略不计).设点P到边AD的距离为t(单位:
km),△BEF的面积为S(单位:
km2).
(1)求S关于t的函数解析式,并指出该函数的定义域;
(2)是否存在点P,使隔离出的△BEF面积S超过3km2?
并说明理由.
20xx年____月____日(周四)
[题目11]已知函数f(x)=kex-x2(其中k∈R,e是自然对数的底数).
(1)若k<0,试判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性;
(2)若k=2,当x∈(0,+∞)时,试比较f(x)与2的大小;
(3)若函数f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2),求k的取值范围,并证明0<f(x1)<1.
20xx年____月____日(周五)
[题目12]已知数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,a5和a7的等差中项为11,且a2·a5=a1·a14,令bn=,数列{bn}的前n项和为Tn.
(1)求an及Tn;
(2)是否存在正整数m,n(1<m<n),使得T1,Tm,Tn成等比数列?
若存在,求出所有的m,n的值;若不存在,请说明理由.
20xx年____月____日(周六)
[题目13]已知向量a=(cosθ,sinθ),b=(2,-1).
(1)若a⊥b,求的值;
(2)若|a-b|=2,θ∈,求sin的值.
20xx年____月____日(周一)
[题目14]如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F分别是AP,AD的中点.求证:
(1)直线EF∥平面PCD;
(2)平面BEF⊥平面PAD.
20xx年____月____日(周二)
[题目15]某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y=-48x+8000,已知此生产线年产量最大为210吨.
(1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本;
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?
最大利润是多少?
20xx年____月____日(周三)
[题目16]已知△ABC的两顶点坐标A(-1,0),B(1,0),圆E是△ABC的内切圆,在边AC,BC,AB上的切点分别为P,Q,R,CP=1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等),动点C的轨迹为曲线M.
(1)求曲线M的方程;
(2)设直线BC与曲线M的另一交点为D,当点A在以线段CD为直径的圆上时,求直线BC的方程.
20xx年____月____日(周四)
[题目17]已知数列{an}的前n项和Sn=an+n2-1,数列{bn}满足3nbn+1=(n+1)an+1-nan,且b1=3.
(1)求an,bn;
(2)设Tn为数列{bn}的前n项和,求Tn,并求满足Tn<7时n的最大值.
20xx年____月____日(周五)
[题目18]已知m∈R,f(x)=2x3+3x2+6(m-m2)x.
(1)当m=1时,求f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;
(2)若m∈[,2]且关于x的不等式(m-1)2(1-4m)≤f(x)≤20在区间[k,0]上恒成立,求k的最小值k(m).
20xx年____月____日(周六)
[题目19]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且+1=.
(1)求B;
(2)若cos=,求sinA的值.
20xx年____月____日(周一)
[题目20]在如图的多面体中,AE⊥底面BEFC,AD∥EF∥BC,BE=AD=EF=BC,G是BC的中点.
(1)求证:
AB∥平面DEG;
(2)求证:
EG⊥平面BDF.
20xx年____月____日(周二)
[题目21]已知椭圆C的中心为坐标原点O,一个长轴端点为(0,2),短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A,B,且=2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求m的取值范围.
20xx年____月____日(周三)
[题目22]如图,一块弓形薄铁片EMF,点M为的中点,其所在圆O的半径为4dm(圆心O在弓形EMF内),∠EOF=.将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD(不计损耗),AD∥EF,且点A,D在上,设∠AOD=2θ.
(1)求矩形铁片ABCD的面积S关于θ的函数关系式;
(2)当裁出的矩形铁片ABCD面积最大时,求cosθ的值.
20xx年____月____日(周四)
[题目23]数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),等差数列{bn}满足b3=3,b5=9.
(1)分别求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设cn=(n∈N*),求证:
cn+1<cn≤.
20xx年____月____日(周五)
[题目24]已知函数f(x)=-ax.
(1)若函数f(x)在(1,+∞)上是减函数,求实数a的最小值;
(2)若∃x1,x2∈[e,e2],使f(x1)≤f′(x2)+a(a>0成立),求实数a的取值范围.
20xx年____月____日(周六)
[题目25]已知△ABC的面积为S,且·=S.
(1)求sinA;
(2)若||=3,|-|=2,求sinB.
20xx年____月____日(周一)
[题目26]如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点.求证:
(1)PA⊥底面ABCD;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面BEF⊥平面PCD.
20xx年____月____日(周二)
[题目27]已知圆M:
x2+(y-2)2=1,直线l:
y=-1,动圆P与圆M相外切,且与直线l相切.设动圆圆心P的轨迹为E.
(1)求E的方程;
(2)若点A,B是E上的两个动点,O为坐标原点,且·=-16,求证:
直线AB恒过定点.
20xx年____月____日(周三)
[题目28]某公司生产一种产品,每年需投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这样的产品,还需增加投入0.25万元,经市场调查知这种产品年需求量为500件,产品销售数量为t件时,销售所得的收入为万元.
(1)该公司这种产品的年生产量为x件,生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f(x),求f(x);
(2)当该公司的年产量为多少件时,当年所获得的利润最大?
20xx年____月____日(周四)
[题目29]设f(x)=ex(ax2+x+1).
(1)若a>0,讨论f(x)的单调性;
(2)x=1时,f(x)有极值,证明:
当θ∈时,|f(cosθ)-f(sinθ)|<2.
20xx年____月____日(周五)
[题目30]设数列{an}是各项均为正数的等比数列,其前n项和为Sn,若a1a5=64,S5-S3=48.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)对于正整数k,m,l(k<m<l),求证:
“m=k+1且l=k+3”是“5ak,am,al这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件;
(3)设数列{bn}满足:
对任意的正整数n,都有a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1=3·2n+1-4n-6,且集合M=中有且仅有3个元素,试求λ的取值范围.
20xx年____月____日(周六)
第五部分 每日一题规范练
[题目1] 解
(1)∵a∥b,∴sinθ-2cosθ=0,即tanθ=2.
∴tan===-3.
(2)由
(1)知tanθ=2,又θ∈,∴sinθ=,cosθ=,
∵5cos(θ-φ)=3cosφ,
∴5(cosθcosφ+sinθsinφ)=3cosφ,
即cosφ+2sinφ=3cosφ,
∴cosφ=sinφ,即tanφ=1,
又0<φ<,∴φ=.
[题目2] 证明
(1)连接AD1,∵E,F分别是AD和DD1的中点,
∴EF∥AD1.
∵正方体ABCD-A1B1C1D1,∴AB∥D1C1,AB=D1C1.
四边形ABC1D1为平行四边形,即有AD1∥BC1,∴EF∥BC1.
又EF⊄平面C1BD,BC1⊂平面C1BD,∴EF∥平面C1BD.
(2)连接AC,则AC⊥BD.
∵正方体ABCD-A1B1C1D1,∴AA1⊥平面ABCD,
∴AA1⊥BD.
又AA1∩AC=A,∴BD⊥平面AA1C,
∴A1C⊥BD.
同理可证A1C⊥BC1.
又BD∩BC1=B,∴A1C⊥平面C1BD.
[题目3] 解 设AP=x米,AQ=y米.
(1)则x+y=200,△APQ的面积S=xysin120°=xy.
∴S≤=2500.
当且仅当x=y=100时取“=”.
即AP=AQ=100米时,三角地块APQ面积最大.
(2)由题意得100×(1·x+1.5·y)=20000,即x+1.5y=200.
要使竹篱笆用料最少,只需其长度PQ最短,
所以PQ2=x2+y2-2xycos120°=x2+y2+xy=(200-1.5y)2+y2+(200-1.5y)y=1.75y2-400y+40000.
当y=时,PQ有最小值,此时x=.
即AP=米,AQ=时,篱笆用料最省.
[题目4]
(1)解 当m=0时,直线l:
y=kx代入椭圆C:
+=1的方程,得到x2+2k2x2=4,
解得P,Q,
所以k1==,
k2==,
所以k1·k2==-.
(2)证明 设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线l:
y=kx+m代入椭圆C:
+=1的方程,
并整理得到(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0,
则Δ>0,且x1+x2=-,x1·x2=.
由k1·k2=-1知·=-1.
即y1y2-(y1+y2)+2+x1x2=0,
(kx1+m)(kx2+m)-(kx1+m+kx2+m)+x1x2+2=0,
k2x1x2+mk(x1+x2)+m2-k(x1+x2)-2m+x1x2+2=0,(k2+1)+k(m-)+m2-2m+2=0,
(k2+1)(2m2-4)+k(m-)(-4km)+(m2-2m+2)(1+2k2)=0,
所以3m2-2m-2=0,解得m=(舍)或m=-,
所以直线l过定点.
[题目5] 解
(1)因为Sn+Sn+1=n2,所以当n≥2时,Sn-1+Sn=(n-1)2,
两式相减得an+an+1=2n-1,
又a2+a1=1也适合上式,
所以an+an+1=2n-1对一切n∈N*成立,
所以当n≥2时,an-1+an=2n-3,
再相减得an+1-an-1=2,
所以数列{an}的奇数项成公差为2的等差数列、偶数项也成公差为2的等差数列,
又a1=0,a2=1,可解得an=n-1.
因为2Tn+2=3Tn+1-Tn,
所以2Tn+2-2Tn+1=Tn+1-Tn,
即2bn+2=bn+1,
又2b2=b1,所以对一切n∈N*均有2bn+1=bn,
所以数列{bn}成公比为的等比数列,所以bn=.
(2)因为bn=,所以Tn==2,
由>1+bm+2得>1+,
即>1+,
1+>1+,>,
因为2m+1>0,所以(2-m)2n-2>0,且(2-m)2n-2<2m+1,
即(2-m)2n<2+2m+1且(2-m)2n>2.
即m<2且m∈N*,故m=1,此时2n<2+22=6,(2-1)2n>2,故n=2,
综上可知,存在符合条件的所有有序实数对(m,n)为(1,2).
[题目6]
(1)解 因为f′(x)=2xlnx+x-2ax,
所以在点(x0,f(x0))处的切线方程为y=-x+xlnx0-ax+x0+b,
其中lnx0-ax+x0+b=b,))
解得x0=1,a=1.
(2)证明 因为函数f(x)=x2lnx-x2+b(x>0),
所以f′(x)=2xlnx-x,令f′(x)=2xlnx-x=0,得x=,
且当x∈(0,)时,f′(x)<0,
即f(x)=x2lnx-x2+b在x∈(0,)上单调递减;
当x∈(,+∞)时,f′(x)>0,
即f(x)=x2lnx-x2+b在x∈(,+∞)上单调递增;
所以f(x)有最小值f()=b-<0.
又f(e)=e2-e2+b>0,
所以f(x)=x2lnx-x2+b在(,e)上一定有一解,
下面证明存在x1∈(0,)使f(x1)>0,
令h(x)=xlnx-x+1,h′(x)=lnx,
所以当x∈(0,1)时,h(x)=xlnx-x+1在(0,1)上单调递减,
所以当x∈(0,1)时,h(x)=xlnx-x+1>h
(1)>0,
所以当x∈(0,1)时,f(x)=x2lnx-x2+b>b-x,
取x1=min{1,b},则f(x1)>b-x1>0,
所以f(x)=x2lnx-x2+b在(x1,)上一定有一解,
综上所述,函数f(x)在(0,+∞)上有且仅有两个零点.
[题目7]
(1)证明 ∵cosB===≥0,又B∈(0,π).
∴B≤(当且仅当a=c时取得等号).
(2)解 ∵·=-2,∴accosB=2,
由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=12,∴a2+c2=16,
又a+c=b=2,∴ac=4,∴cosB=,
又∵B∈,∴sinB=.
∴S△ABC=acsinB=.
[题目8] 证明
(1)连接BC1,设BC1∩B1C=F,连接OF.
因为O,F分别是B1D与B1C的中点,
所以OF∥DC,且OF=DC,
又E为AB中点,所以EB∥DC,
且EB=DC,
从而OF∥EB,OF=EB,即四边形OEBF是平行四边形,
所以OE∥BF,
又OE⊄平面BCC1B1,BF⊂平面BCC1B1,
所以OE∥平面BCC1B1.
(2)因为DC⊥平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,
所以BC1⊥DC.
又BC1⊥B1C,且DC,B1C⊂平面B1DC,DC∩B1C=C,
所以BC1⊥平面B1DC,
BC1∥OE,所以OE⊥平面B1DC,
又OE⊂平面B1DE,所以平面B1DC⊥平面B1DE.
[题目9] 解
(1)依题意有
又因为a2=b2+c2,所以
故椭圆M的方程为+y2=1.
(2)设直线AC:
y=k1x,直线BD:
y=k2x,A(xA,yA),C(xC,yC).
联立得方程(2k+1)x2-2=0,
x=x=+1),故OA=OC=)·+1)).
同理,OB=OD=)·+1)).
又因为AC⊥BD,所以OB=OD=·,其中k1≠0.
从而菱形ABCD的面积S=2OA·OB=2)·+1))··,
整理得S=4,其中k1≠0.
故当k1=1或-1时,
菱形ABCD的面积最小,该最小值为.
[题目10] 解
(1)如图,以A为坐标原点O,AB所在直线为x轴,
建立平面直角坐标系,则C点坐标为(2,4).
设边缘线AC所在抛物线的方程为y=ax2(a>0),
把(2,4)代入,得4=a·22,解得a=1,
所以抛物线的方程为y=x2.
因为y′=2x.
所以过P(t,t2)的切线EF方程为
y=2tx-t2.
令y=0,得E;
令x=2,得F(2,4t-t2),
所以S=(4t-t2),
所以S=(t3-8t2+16t),定义域为(0,2].
(2)S′=(3t2-16t+16)=(t-4),
由S′(t)>0得0<t<(t>4舍去).
所以S′(t)在上是增函数,在上是减函数,
所以S在(0,2]上有最大值S=.
又因为=3-<3,
所以不存在点P,使隔离出的△BEF面积S超过3km2.
[题目11] 解
(1)由f′(x)=kex-2x可知,当k<0时,由于x∈(0,+∞),f′(x)=kex-2x<0,故函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.
(2)当k=2时,f(x)=2ex-x2,则f′(x)=2ex-2x,
令h(x)=2ex-2x,h′(x)=2ex-2,
由于x∈(0,+∞),故h′(x)=2ex-2>0,于是h(x)=2ex-2x在(0,+∞)上为增函数,
所以h(x)=2ex-2x>h(0)=2>0,即f′(x)=2ex-2x>0在(0,+∞)上恒成立,
从而f(x)=2ex-x2在(0,+∞)上为增函数,故f(x)=2ex-x2>f(0)=2.
(3)函数f(x)有两个极值点x1,x2,则x1,x2是f′(x)=kex-2x=0的两个根,
即方程k=有两个根,设φ(x)=,则φ′(x)=,
当x<0时,φ′(x)>0,函数φ(x)单调递增且φ(x)<0;