五年级下册数学试题培优专题讲练第30讲巧解长方体和正方体二人教版.docx

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五年级下册数学试题培优专题讲练第30讲巧解长方体和正方体二人教版

第30讲巧解长方体和正方体

（二）

表面积与体积

巧点晴——方法和技巧

长方体和正方体是我们较为熟悉的立体图形。

长方体有6个面，8个顶点，12条棱。

在它的6个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等。

长方体的表面积和体积的计算公式如下：

长方体的表在积S长方体=2（αb＋bc＋ac）

长方体的体积V长方体=abc

正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的6个面都是正方形。

如果正方体的棱长为α，那么S正方体=6α2，V正方体=α3。

巧指导——例题精讲

A级冲刺名校·基础点晴

【例1】右图的几何体是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的表面各。

分析与解如果一面一面地数，那么虽然可以得到

答案，但过程太麻烦，且容易出错。

仔细观察可以发现，

这个几何体的上面与下面、左面与右面、前面与后面的

面积分别相等。

如上图所示，可求得表面积为（9＋7＋8）×2=48（厘米2）

答：

它的表面积为48平方厘米。

做一做1有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成下图所示的形式，然后把露出的表面涂在红色。

问：

被涂成红色的面积是多少？

【例2】如果是由22个小正方体组成的几何体，问：

其中共有多少个大大小小的正方体？

由两个小正方体组成的长方体有多少个？

分析与解正方体只可能有两种：

由1个小正

方体构成的正方体，有22个；由8个小正方体构

成的2×2×2的正方体，有4个。

所以，共有正方体22＋4=26（个）。

由两个小正方体组成的长方体，根据摆放的方向可分为下图所示的上下位、左右位、前后位三种，其中上下位有13个，左右位有13个，前后位有14个，共有13＋13＋14=40（个）

答：

共有26个正方体，有40个长方体。

做一做2下图是一个由24个小正方体组成的立体图形，其中由2个小正方体组成的小长方体有多少个？

【例3】如右图，一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半。

将这个长方体切成12个小长方体，这些小长方体的表面积之和是600平方人米，求这个长方体的面积。

分析与解设大长方体的左（右）面面积为χ（分米2），则它的表面积为χ＋χ＋4×2χ=10χ。

切成12个小长方体后，新增加的表面积为

（3χ＋2×2χ）3=14χ

12个小长方体的表面积之和为

10χ＋14χ=24χ

24χ=600

χ=25

大长方体体积是5×5×10=250（公米3）。

答：

这个大长方体的体积是250立方分米。

做一做3一个正方体被切成24个小长方体（见下图），这些小长方体的表面积总和为162平方厘米，求这个正方体的体积。

B级培优竞赛·更上层楼

【例4】图1是一个棱长为5厘米的正方体木块，它的每个表面都有一个穿透的完全相同的孔，求这个立体图形的表面积。

分析与解正方体中间被穿了孔，表面积不好计算。

我们可以将这个立体图形看成由8个棱长为2厘米的正方体和12个棱长为1厘米的正方体黏合而成。

如图2，8个棱长为2厘米的正方体分别在8个顶角，12个棱长为1厘米的正方体分别在12条棱的中间。

由于每个小正方体都有2个面分别粘接两个较大的正方体，相对于不粘接，减少了表面积4平方厘米，所以总的表面积为（2×2×6）×8＋（1×1×6）×12－4×12=216（厘米2）。

答：

这个立体图形的表面积为216平方厘米。

做一做4在棱长为3厘米的正方体木块的每个面中心上打一个直穿木块的洞，洞口呈边长为1厘米的正方形（见下图）。

求挖洞后木块的体积和表面积。

【例5】把一个正方体染红后，在公共顶点的三个面上横竖各切三刀，这样共切成（3＋1）3=4×4×4=64（块）小立方体。

因为已经先在外面染上红色，所以切开的这些小立方体中必定有的一面是红色，有的两面或三面是红色，还有的没有被染上红色。

请你计算出每种颜色的小立方体各有多少块。

如果切n刀（n为自然数），又各有多少块？

分析与解显然各项点处必定是三面红色，那么这个大立方体共有8个顶点，所以顶点的8个小立方体三面都是红色。

在各棱中间的小立方体是两面红色的。

如切n刀，那么每一棱必切为n＋1（块），除去两端三面红色的两块外，中间有两面红色的是（n＋1）―2=n―1（块），大立方体共有12条棱，所以有12（n―1）（块）是两面红色。

一面红色的是每面的中心部分，即每面切成的正方体把四周小正方体去掉，那么共有（n―1）×（n－1）个正方体，每个正方体都是一面红色。

大正方体共有6个面，所以一面红色的有（n―1）×（n―1）×6=6（n―1）2（块）。

没有染色的小正方体有两种求法，一种是总的小正方体个数，分别减去一面、两面、三面染有红色的小正方体的个数即是，或者把大正方体外层的小正方体去掉，可得没有染色的小正方体的个数，也就是（n－1）3（个）。

解切三刀及切n刀，各小正方体的个数如下表：

正方体切法

三面红色

两面红色

一面红色

没有染上红色

切三刀

8个

12×2=24（个）

6×22=24（个）

64－8－24－24=8（个）或

（3－1）3=23=8（个）

切n刀

8个

12×（n－1）（个）

6（n－1）2（个）

（n＋1）2－8－12（n－1）2

－6（n－1）2（个）

或（n－1）3（个）

做一做5由125块小立方体组成一个大立方体，把这个大立方体表面涂成红色。

在这些小立方体中，涂有三面红色的小立方体有几个？

涂有两面红色和涂有一面红色的各有几个？

没有涂红色的小立方体有几个？

【例6】某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并且用尼龙带包扎，如图所示，所用三条尼龙带长分别为235厘米、445厘米、515厘米。

若每个尼龙带加固时接头重叠都是5厘米，问：

这个长方体包装箱的体积是多少立方米？

分析与解利用尼龙带的长度分别求出长方体邮件的长、宽、高。

长方体中：

宽＋高=（235－5）÷2=115………………………①

长＋高=（445－5）÷2=220………………………②

长＋宽=（515－5）÷2=225……………………………………③

由式②－式①，得

长－宽=220－115=105……………………………………………④

由（式④＋式③）÷2，得

长=180，宽=75，高=40

所以长方体的体积为

180×75×40=540000（厘米3）

=0.54（米3）

答：

这个长方体包装箱的体积是0.54米3。

做一做6将表面积为54平方厘米、96平方厘米、150平方厘米的三个铁质正方体熔铸造成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积。

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【例7】有大、中、小三个正方体形的水池，它们的内边长分别为4米、3米、2米。

把两堆碎石分别沉入中、小水池的水中，两个水池的水面分别升高4厘米和11厘米。

问：

如果将这两堆碎石都沉入大水池中，那么大水池的水面将升高多少厘米？

解水池中水面升高部分的体积即投入水中的碎石体积。

沉入中、小水池中的碎石的体积分别是

3×3×0.04=0.36（米3）

2×2×0.11=0.44（米3）

它们的和是

0.36＋0.44=0.8（立方米）

把它们都沉入大水池里，大水池水面升高部分水的体积也应是0.8立方米，而大水池的底面面积是4×4=16（米2），所以大水池的水面升高

0.8÷16=0.05（米）=5（厘米）

做一做7在长为15厘米、宽为16厘米的长方体水箱中有10厘米深的水。

现在往水箱里放一个石块，这时水平面的高度是14厘米。

问：

石块的体积至少是多少？

巧练习——温故知新（三十）

A级冲刺名校·基础点睛

1、如下图，在棱长为5厘米的正方体的上下、前后、左右的正中位置都挖去一个棱长为1厘米的正方体。

问：

此图形的表面积是多少？

2、如1题图，一个边长为3a（厘米）的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心挖去一个截面边长为a厘米的正方形的长方体（都和对面打通）。

如果这个物体的表面积为2592平方厘米，试求正方形截面的边长。

3、一个长主体，如果长减少2厘米，宽、高都不变，那么它的体积减少48立方厘米；如果宽增加3厘米，长、高都不变，那么它的体积增加99立方厘米；如果高增加4厘米，长、宽都不变，那么它的体积增加352立方厘米。

问：

原长方体的表面积是多少平方厘米？

4、有一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上面的正中向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长为

厘米的正方体小洞，第三个小洞的挖法与前两个相同，棱长为

厘米。

问：

最后得到的几何体的表面是多少平方厘米？

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5、如下图，一张长方形铁皮四角都剪去一个边长为2厘米的正方形，做成一个容积是192立方厘米的铁盒子。

问：

原来这张铁皮的长是多少厘米？

做这铁盒子至少需要铁皮多少平方厘米？

6、将一根长为3.6米的长方体的木料锯成三段，这样，三段长方体的表面积总各比原来长方体的表面积增加了36平方分米。

问：

这根木料原来的体积是多少？

7、一个正方体，表面全部涂上红色，切成27个棱长是1厘米的小正方体。

问：

一面带红色的小正方体有多少个？

两面带红色的小正方体有多少个？

三面带红色的小正方体有多少个？

8、在10个表面涂了红色的正方体，它们的棱长分别是1，3，5，7，…，19。

问：

若把它们全部锯成棱长为1的小正方体，那么所有这些小正方体中，共有多少个至少一面是红色的正方体？

9、1000个体积为1立方厘米的小立方体合在一起成为一个边长为10厘米的大立方体，表面涂油漆后再分开为原来的小立方体，这些小立方体中至少有一面被油漆涂过的数目是多少？

10、一个正方体的每个顶点都有3条棱以其为端点，沿这3条棱的3个中点，把这个正方体切下一个角，这样一共切下8个角，则余下部分的体积和正方体体积之比是多少？

C级）（选学）决胜总决赛·勇夺冠军

11、把正方体用一个与它的一面平行的平面切开，分成A，B两个长方体，当A，B的表面积之比是1：

2时，请用最简整数比表示出A和B的体积比。

12、某种长方体集装箱，它的长、宽、高之比4：

3：

2。

如果用甲等油漆喷涂它的表面，每平方米的费用是0.9元；如果改用乙等9油漆，每平方米的费用降低为0.4元，一个集装箱可以节省0.6元。

问：

这种集装箱的表面积是多少平方米？

体积是多少立方米？

13、如右图，用苦干个体积相同的小正方体堆积成一个长方体，要使大正方体的对角线（正方体八个顶点中距离最远的两个顶点的边线）穿过的小正方体都是黑色，其余小正方体都是白色，并保证大正方体每条边上有偶数个小正方体。

当堆积完成后，白色正方体的体积占总体积的93.75%，那么一共用了多少个黑色的小正方体？

巧总结

本节我的收获是：

。

不足之处是：