考研数二答案.docx
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考研数二答案
考研数二答案
【篇一:
2013考研数学二真题及答案解析(完整版)】
txt>数学二答案:
【篇二:
2016年考研数学二真题与解析】
txt>一、选择题1—8小题.每小题4分,共32分.
1
1.当x?
0时,若ln(1?
2x),(1?
cosx)?
均是比x高阶的无穷小,则?
的可能取值范围是()
(a)(2,?
?
)(b)(1,2)(c)(,1)(d)(0,)
?
?
1212
?
?
?
1?
【详解】ln?
(1?
2x)~2?
x?
,是?
阶无穷小,(1?
cosx)?
~1x?
是阶无穷小,由题意可知?
2
?
?
1?
2?
?
?
1
1
2
2
所以?
的可能取值范围是(1,2),应该选(b).2.下列曲线有渐近线的是
(a)y?
x?
sinx(b)y?
x2?
sinx(c)y?
x?
sin(d)y?
x?
1x
2
1x
【详解】对于y?
x?
sin,可知x?
?
1xy1
?
1且lim(y?
x)?
lim?
0,所以有斜渐近线y?
x
x?
?
x?
?
xx
应该选(c)
3.设函数f(x)具有二阶导数,g(x)?
f(0)(1?
x)?
f
(1)x,则在[0,1]上()
(a)当f(x)?
0时,f(x)?
g(x)(b)当f(x)?
0时,f(x)?
g(x)(c)当f?
?
(x)?
0时,f(x)?
g(x)(d)当f?
?
(x)?
0时,f(x)?
g(x)【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法.
【详解1】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义比较熟悉的话,可以直接做出判断.显然
g(x)?
f(0)(1?
x)?
f
(1)x就是联接(0,f(0)),(1,f
(1))两点的直线方程.故当f?
?
(x)?
0时,曲线是凹
的,也就是f(x)?
g(x),应该选(d)
【详解2】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义不熟悉的话,可令
f(x)?
f(x)?
g(x)?
f(x)?
f(0)(1?
x)?
f
(1)x,则f(0)?
f
(1)?
0,且f(x)?
f(x),故当f?
?
(x)?
0时,曲线是凹的,从而f(x)?
f(0)?
f
(1)?
0,即f(x)?
f(x)?
g(x)?
0,也就是
f(x)?
g(x),应该选(d)
?
x?
t2?
7,
4.曲线?
上对应于t?
1的点处的曲率半径是()2
?
y?
t?
4t?
1
(A)
(B)(C)(D)550100
y(1?
y2)3
2
【详解】曲线在点(x,f(x))处的曲率公式k?
,曲率半径r?
1
.k
22dxdydy2t?
42dy1?
2t,?
2t?
4,所以?
?
1?
,2?
本题中?
?
3,
dtdtdx2tt2tdxt
?
对应于t?
1的点处y?
3,y?
?
1,所以k?
应该选(c)
5.设函数f(x)?
arctanx,若f(x)?
xf(?
),则x?
0
y(1?
y2)3
?
110,曲率半径r?
1
?
10.k
?
2
x
2
?
()
(A)1(B)
121
(C)(D)
332
1133
x?
0时,arctanx?
x?
x?
o(x).,
(2)2
31?
x
【详解】注意
(1)f(x)?
由于f(x)?
xf(?
).所以可知f(?
)?
1f(x)arctanxx?
arctanx2,,?
?
?
?
xx1?
?
2(arctanx)2
13
x)?
o(x3)
1?
.3x3
x?
0
?
2
x2
?
x?
0
x?
arxtanx
?
x(arctanx)2x?
0
x?
(x?
?
2u
6.设u(x,y)在平面有界闭区域d上连续,在d的内部具有二阶连续偏导数,且满足?
0及
?
x?
y?
2u?
2u
.?
2?
0,则()2
?
x?
y
(a)u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域d的边界上;(b)u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域d的内部;
(c)u(x,y)的最大值点在区域d的内部,最小值点在区域d的边界上;
(d)u(x,y)的最小值点在区域d的内部,最大值点在区域d的边界上.
【详解】u(x,y)在平面有界闭区域d上连续,所以u(x,y)在d内必然有最大值和最小值.并且如果在
?
2u?
2u?
2u?
2u?
u?
u
内部存在驻点(x0,y0),也就是,由?
?
0,在这个点处a?
2,c?
2,b?
?
?
x?
y?
x?
y?
y?
x?
x?
y
条件,显然ac?
b?
0,显然u(x,y)不是极值点,当然也不是最值点,所以u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域d的边界上.
所以应该选(a).
2
7.行列式
0a
a0b00b
0cd0c00d
等于
(a)(ad?
bc)2(b)?
(ad?
bc)2(c)ad?
bc(d)?
ad?
bc【详解】
22222222
0a0cab0
a0ba0b
00babab
?
?
a0d0?
b0c0?
?
ad?
bc?
?
(ad?
bc)2
cd0cdcd
c0dc0d
00d
应该选(b).
8.设?
1,?
2,?
3是三维向量,则对任意的常数k,l,向量?
1?
k?
3,?
2?
l?
3线性无关是向量?
1,?
2,?
3线性无关的
(a)必要而非充分条件(b)充分而非必要条件(c)充分必要条件(d)非充分非必要条件【详解】若向量?
1,?
2,?
3线性无关,则
?
10?
?
?
(?
1?
k?
3,?
2?
l?
3)?
(?
1,?
2,?
3)?
01?
?
(?
1,?
2,?
3)k,对任意的常数k,l,矩阵k的秩都等
?
kl?
?
?
于2,所以向量?
1?
k?
3,?
2?
l?
3一定线性无关.
?
1?
?
0?
?
0?
?
?
?
?
?
?
而当?
1?
?
0?
?
2?
?
1?
?
3?
?
0?
时,对任意的常数k,l,向量?
1?
k?
3,?
2?
l?
3线性无关,但
?
0?
?
0?
?
0?
?
?
?
?
?
?
.?
1,?
2,?
3线性相关;故选择(a)
二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
1
dx?
2
x?
2x?
5
11dx1x?
11
dx?
?
|?
?
?
?
?
?
x2?
2x?
5?
?
?
(x?
1)2?
4221
9.
?
1?
?
【详解】
1?
?
?
?
3?
.?
?
(?
)?
?
2?
42?
8
10.设f(x)为周期为4的可导奇函数,且f(x)?
2(x?
1),x?
?
0,2?
,则f(7)?
.【详解】当x?
?
0,2?
时,f(x)?
?
2(x?
1)dx?
x2?
2x?
c,由f(0)?
0可知c?
0,即
f(x)?
x2?
2x;f(x)为周期为4奇函数,故f(7)?
f(?
1)?
f
(1)?
1.
11.设z?
z(x,y)是由方程e
2yz
?
x?
y2?
z?
7
确定的函数,则dz|?
11?
?
.
?
?
4?
22?
【详解】设f(x,y,z)?
e
2yz
71
?
x?
y2?
z?
,fx?
1,fy?
2ze2yz?
2y,fz?
2ye2yz?
1,当x?
y?
42
时,z?
0,
fyf11?
z1?
z1
?
?
x?
?
,?
?
?
?
,所以dz|?
11?
?
?
dx?
dy.
?
?
22?
xfz2?
yfz2?
22?
?
?
?
?
?
处的切线方程为22?
?
12.曲线l的极坐标方程为r?
?
,则l在点(r,?
)?
?
【详解】先把曲线方程化为参数方程?
?
x?
r(?
)cos?
?
?
cos?
?
?
,于是在?
?
处,x?
0,y?
,
22?
y?
r(?
)sin?
?
?
sin?
?
2dysin?
?
?
cos?
2?
?
?
?
|?
?
|?
?
?
,则l在点(r,?
)?
?
?
处的切线方程为y?
?
?
(x?
0),即
2?
dx2cos?
?
?
sin?
2?
?
22?
y?
?
2x?
?
2
?
.
2
13.一根长为1的细棒位于x轴的区间?
0,1?
上,若其线密度?
(x)?
?
x?
2x?
1,则该细棒的质心坐标
x?
11
(?
x?
2x?
x)dx?
11?
00
【详解】质心坐标x?
1.?
1?
?
25
?
0?
(x)dx?
0(?
x?
2x?
1)dx320
1
x?
(x)dx
1
32
22
14.设二次型f(x1,x2,x3)?
x1?
x2?
2ax1x3?
4x2x3的负惯性指数是1,则a的取值范围
是.【详解】由配方法可知
2
f(x1,x2,x3)?
x12?
x2?
2ax1x3?
4x2x3
2
?
(x1?
ax3)2?
(x2?
2x3)2?
(4?
a2)x3
由于负惯性指数为1,故必须要求4?
a?
0,所以a的取值范围是?
?
2,2?
.
2
三、解答题
15.(本题满分10分)
?
求极限lim
x?
?
?
x1
(t(e?
1)?
t)dt1
x2ln(1?
)
x
.
2
1t
【分析】.先用等价无穷小代换简化分母,然后利用洛必达法则求未定型极限.【详解】
x?
?
?
?
lim
x1
(t(e?
1)?
t)dtx2ln(1?
1
)x
2
1t
?
?
lim
x?
?
?
x
1
(t(e?
1)?
t)dt
x
2
1
t
?
lim(x2(e?
1)?
x)
x?
?
1x
111?
?
1
?
lim?
x2(?
?
o()?
x?
?
22x?
?
x2xx?
?
2
16.(本题满分10分)
已知函数y?
y(x)满足微分方程x2?
y2y?
1?
y,且y
(2)?
0,求y(x)的极大值和极小值.【详解】
解:
把方程化为标准形式得到(1?
y)
2
dy
?
1?
x2,这是一个可分离变量的一阶微分方程,两边分别积分dx
可得方程通解为:
1312y?
y?
x?
x3?
c,由y
(2)?
0得c?
,333
即
1312
y?
y?
x?
x3?
.333
dy1?
x2d2y?
2x(1?
y2)2?
2y(1?
x2)2令;?
?
0,得x?
?
1,且可知2?
dx1?
y2dx(1?
y2)3
当x?
1时,可解得y?
1,y?
?
1?
0,函数取得极大值y?
1;当x?
?
1时,可解得y?
0,y?
2?
0,函数取得极小值y?
0.17.(本题满分10分)
【篇三:
2009年考研数学二答案】
ss=txt>数学二试题及答案解析
一、选择题:
1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
x?
x3
(1)函数f?
x?
?
的可去间断点的个数为
sin?
x
?
a?
1
【答案】c
?
b?
2?
c?
3
?
d?
无穷多个
x?
x3
【解析】由于f?
x?
?
则当x取任何整数时,f?
x?
均无意义.
sin?
x
故f?
x?
的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是x?
x?
0的解
3
x1,2,3?
0,?
1.
x?
x31?
3x21lim?
lim?
x?
0sin?
xx?
0?
cos?
x?
x?
x31?
3x22lim?
lim?
x?
1sin?
xx?
1?
cos?
x?
x?
x31?
3x22lim?
lim?
.x?
?
1sin?
xx?
?
1?
cos?
x?
故可去间断点为3个,即0,?
1.
(2)当x?
0时,f?
x?
?
x?
sinax与g?
x?
?
xln?
1?
bx?
是等价无穷小,则
2
?
a?
a?
1,b?
?
6?
b?
a?
1,b?
6?
c?
a?
?
1,b?
?
6?
d?
a?
?
1,b?
6
【答案】a【解析】lim
x?
0
1111
f(x)x?
sinaxx?
sinax
?
lim2?
lim2g(x)x?
0xln(1?
bx)x?
0x?
(?
bx)
1?
acosaxa2sinax洛lim洛limx?
0x?
0?
3bx2?
6bx
a2sinaxa3
?
lim?
?
?
1,x?
06b6b?
?
ax
a
?
a3?
?
6b,故排除b,c.
1?
acosax
存在,蕴含了1?
acosax?
0?
x?
0?
故a?
1.排除d.2x?
0?
3bx
所以本题选a.
另外,lim
(3)设函数z?
f?
x,y?
的全微分为dz?
xdx?
ydy,则点?
0,0?
?
a?
不是f?
x,y?
的连续点?
b?
不是f?
x,y?
的极值点
?
c?
是f?
x,y?
的极大值点?
d?
是f?
x,y?
的极小值点
【答案】d
【解析】因dz?
xdx?
ydy可得
?
z?
z
?
x,?
y.?
x?
y
?
2z?
2z?
2z?
2z
a?
2?
1,?
b?
?
?
0,?
c?
2?
1,
?
x?
x?
y?
y?
x?
y
又在?
0,0?
处,
?
z?
z
?
0,?
0,ac?
b2?
1?
0,?
x?
y
故?
0,0?
为函数z?
f(x,y)的一个极小值点.
(4)设函数f?
x,y?
连续,则
?
dx?
f?
x,y?
dy?
?
1
x
21
222
1
dy?
x
4?
y
y
f?
x,y?
dx?
?
a?
?
1dx?
1
24?
x
f?
x,y?
dy?
b?
?
dx?
f?
x,y?
dx
2
4?
x
f?
x,y?
dy
?
c?
?
dy?
1
24?
y
1
?
d?
?
2
1
dy?
f?
x,y?
dx
y
2
【答案】c【解析】
?
2
1
dx?
f(x,y)dy?
?
dy?
f(x,y)dx的积分区域为两部分:
x
1
x
22
d1?
?
(x,y)?
x?
2,x?
y?
2?
d2?
?
(x,y)?
y?
2,y?
x?
4?
y?
将其写成一块d?
(x,y)?
y?
2,1?
x?
4?
y,故二重积分可以表示为
?
?
?
2
1
dy?
4?
y
1
f(x,y)dx,故答案为c.
(5)若f?
?
?
x?
不变号,且曲线y?
f?
x?
在点?
1,1?
上的曲率圆为x2?
y2?
2,则函数f?
x?
在区间?
1,2?
内
?
a?
有极值点,无零点?
c?
有极值点,有零点
【答案】b
?
b?
无极值点,有零点?
d?
无极值点,无零点
【解析】由题意可知,f(x)是一个凸函数,即f?
?
(x)?
0,且在点(1,1)处的曲率
?
?
|y?
?
|(1?
(y?
))
322
?
而f?
(1)?
?
1,由此可得,f?
?
(1)?
?
2.在[1,?
2]上,f?
(x)?
f?
(1)?
?
1?
0,即f(x)单调减少,没有极值点.对于f
(2)?
f
(1)?
f?
(?
)?
?
1?
?
?
?
?
(1,?
2),(拉格朗日中值定理)
?
?
?
?
f
(2)?
0而f
(1)?
1?
0,由零点定理知,在[1,?
2]上,f(x)有零点.故应选b.
(6)设函数y?
f?
x?
在区间
?
?
1,3?
上的图形为:
则函数f?
x?
?
?
f?
t?
dt的图形为
x
?
a?
?
b?
?
c?
【答案】d
?
d?
【解析】此题为定积分的应用知识考核,由y?
f(x)的图形可见,其图像与x轴及y轴、
x?
x0所围的图形的代数面积为所求函数f(x),从而可得出几个方面的特征:
①x?
?
0,1?
时,f(x)?
0,且单调递减。
②x?
?
1,2?
时,f(x)单调递增。
③x?
?
2,3?
时,f(x)为常函数。
④x?
?
?
1,0?
时,f(x)?
0为线性函数,单调递增。
⑤由于f(x)为连续函数
结合这些特点,可见正确选项为d。
**
(7)设a,b均为2阶矩阵,a,b分别为a,b的伴随矩阵,若a?
2,b?
3,则分块
矩阵?
?
oa?
?
的伴随矩阵为bo?
?
3b*?
?
.o?
?
o?
a?
?
*
?
2a?
o?
b?
?
*
?
3a2b*?
?
.o?
?
o?
c?
?
*
?
2b
【答案】b
3a*?
?
.o?
?
od?
?
?
*
?
3b2a*?
?
.o?
【解析】根据cc?
?
ce若c?
cc,c
?
?
1
?
1
?
1?
cc
分块矩阵?
?
0?
ba?
0的行列式?
b0?
a?
0
?
0?
b
?
1
a2?
2
?
(?
1)ab?
2?
3?
6即分块矩阵可逆0
?
?
0?
1
b?
?
?
6?
?
1?
0?
?
a?
a
1?
?
b?
b
?
?
0?
?
?
0?
?
ba?
0?
?
0?
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(8)设a,p均为3阶矩阵,p为p的转置矩阵,且pap?
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【答案】a
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【解析】q?
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(1),即:
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