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概率的基本性质

高二数学必修3第三章第一节

§3.1.1随机事件的概率

班级：

姓名：

一、学习目标

1．了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念

2．正确理解事件A出现的频率的意义

3．正确理解概率和频率的意义及其区别

4．运用概率知识正确理解生活中的实际问题

二、重点难点

1．了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念

2．正确理解事件A出现的频率的意义

3．正确理解概率和频率的意义及其区别

4．运用概率知识正确理解生活中的实际问题

三、学法指导

（预习教材P108—P113，找出疑惑之处）

1.在条件S下，一定会发生的事件，我们称其为，可能发生也可能不发生的事件称为，一定不发生的事件称为__________________.

必然事件和不可能事件统称为，确定事件和随机事件统称为

2.事件A出现的频数是指

事件A出现的频率是指.

3.事件A发生的可能性的大小用_________来度量。

四、教学过程

1．导入

探究：

掷硬币的实验，把结果填入下表

试验

次数

结果

频数

频率

正面朝上

反面朝上

2.深入学习

思考1.与其他小组的试验结果比较，各组的结果一样吗？

为什么会出现不同的结果？

所得结果有什么规律？

思考2.频率的取值范围是什么？

思考3.抛掷一枚硬币，正面朝上的概率是多少？

反面朝上的概率是多少？

思考4.事件A发生的频率

是不是不变的？

事件A发生的概率

是不是不变的？

它们之间有什么区别与联系？

五、典型例题

例1若某次数学测验，全班50人的及格率为90%，若从该班任意抽取10人，其中有5人及格是可能的吗？

为什么？

例2某校共有学生12000人，学校为使学生增强交通安全观念，准备随机抽查12名学生进行交通安全知识测试，其中某学生认为抽查的几率为

，不可能抽查到他，所以不再准备交通安全知识以便应试，你认为他的做法对吗？

并说明理由。

例3、.设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球1个黑球，乙箱有1个白球99个黑球，随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，问这个球最有可能是从哪个箱子中取出的？

为什么？

六、当堂检测

1.下列说法正确的事（）

A.由生物学知道生男生女的概率约为

，一对夫妇生两个孩子，则一定为一男一女；

B.一次摸奖活动中，中奖概率为

，则摸5张票，一定有一张中奖；

C.10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到的可能性大；

D.10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是

。

2.某次考试中共有12道选择题，某人说：

“每个选项正确的概率是

，我每题都选第一个选项，则一定有3道题选择结果正确”这句话（）

A.正确B.错误C.不一定D.无法解释

3.给出下列三个命题，其中正确命题的个数是（）

（1）设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100个，必有10件次品；

（2）做7次抛硬币试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的概率是

；

（3）随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率。

A.0B.1C.2D.3

4.先后抛掷两枚均匀的正方体的骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为x,y，则

的概率为（）

A.

B.

C.

D.

5.掷一枚骰子，掷了100次，“向上的点数是2”的情况出现了19次，在这次试验中，“向上的点数是2”的频率是。

七、反思

课后作业

1.从4名男生和2名女生中任选3个参加演讲比赛：

（1）求所选3人都是男生的概率；

（2）求所选3人中恰有1名女生的概率；

（3）求所选3人中至少有1名女生的概率。

2.有三张卡片，一张两面都是红色，一张两面都是黑色，另一张一面是红色，一面是黑色。

甲、乙两人玩游戏。

甲说：

“请你在三张卡片中任取一张，把它放在桌子上。

”乙抽了一张放在桌子上。

甲说：

“这张卡片的另一面可能与这一面不同，也可能相同，我猜两面相同！

”乙想：

“反正这张卡片不可能是两面黑色，它或者是两面红，或者是两面不同，相同于不同的机会各占一半，我猜两面不同。

”结果，乙发现自己猜错的次数多，问题出在哪里？

3.检察某工厂产品，其结果如下：

抽出产品数（n）

5

10

60

150

600

900

1200

1800

次品数（m）

0

3

7

19

52

100

125

178

次品频率

（1）计算次品频率；

（2）利用所学知识对表中数据作简要的数学分析.

等

§3.1.3概率的基本性质

学习目标

1．正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；

2．掌握概率的加法公式。

学习过程

一、课前准备

（预习教材P119-P121，找出疑惑之处）

二、新课导学

※探索新知

在掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事件：

C1＝｛出现1点｝，C2＝｛出现2点｝，

C3＝｛出现3点｝，C4＝｛出现4点｝，

C5＝｛出现5点｝，C6＝｛出现6点｝，

D1＝｛出现的点数不大于1｝，

D2＝｛出现的点数大于4｝，

D3＝｛出现的点数小于6｝，

E＝｛出现的点数小于7｝，

F＝｛出现的点数大于6｝，

G＝｛出现的点数为偶数｝，

H＝｛出现的点数为奇数｝，等等.

你能写出这个试验中出现其它一些事件吗？

类比集合与集合的关系，运算，你能发现它们之间的关系和运算吗？

上述事件中哪些是必然事件？

哪些是随机事件？

哪些是不可能事件?

新知1：

事件的关系与运算

（1）包含关系：

事件B包含事件A的定义：

一般地，对于事件A与事件B,如果事件A发生，则事件B________，这时事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）；

②表示方法：

记作__________；

③特例：

不可能事件记作_____，任何事件都包含_______________。

（2）并事件

①定义：

若某事件发生当且仅当__________________________，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或__________）。

②表示法：

记作_____（或_____）。

（3）交事件：

①定义：

若某事件发生当且仅当________________，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或_____）。

②表示法：

记作_____（或_______）。

（4）互斥事件与对立事件

①互斥事件的定义：

若A

B为______________（A

B=___），则称事件A与事件B互斥。

②对立事件的定义：

若A

B为_____________，A

B为__________，那么称事件A与事件B互为对立事件。

新知2：

概率的几个基本性质

（1）概率的取值范围____________________。

（2）________的概率为1，________的概率为0。

（3）概率加法公式为：

如果事件A与事件B为互斥事件，则P（A

B）=_________________。

特例：

若事件A与事件B为对立事件，则P（A）=1-P（B）.P（A

B）=____,P（A

B）=______.

※典型例题

例1一副扑克不含大小王共52张，从中任取一张：

判断下列事件是否为互斥事件？

是否为对立事件？

（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；

（2）“抽出红色牌”与“抽出黑桃”；

（3）“抽出牌的点数为3的倍数”与“抽出牌的点数大于10”

例2一副扑克不含大小王共52张，从中任取一张：

若取到红心（事件A）的概率是

，取到方片（事件B）的概率是

，问：

（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？

（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？

※动手试试

1.从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。

（1）“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；

（2）“至少有1件次品”和“全是次品”；

（3）“至少有1件正品”和“至少有1件次品”；

（4）“至少有1件次品”和“全是正品”。

2．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数，事件B为出现2点，已知P（A）=

，P（B）=

，求出现奇数点或2点的概率之和。

三、总结提升

※学习小结

在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：

一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和，二是先去求此事件的对立事件的概率。

学习评价

※当堂检测

1．从装有两个红球和两个黑球的口袋内人取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）

A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”；

B．“至少有一个黑球”与“至少一个红球”；

C．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”；

D．“至少有一个黑球”与“都是红球”。

2．抽查10件产品，设A=｛至少两件次品｝，则A的对立事件为（）

A．｛至多两件次品｝；B．｛至多两件正品｝；

C．｛至少两件正品｝；D．｛至多一件次品｝。

3．在同一试验中，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是（）

A．互斥不对立；B．对立不互斥；

C．互斥且对立；D．不互斥、不对立。

4．某射手射击一次击中10环、9环、8环的概率分别是0.3、0.3、0.2，那么他射击一次不够8环概率是________.

5．10件产品中有8件一级品，2件二级品，从中任取3件，记“3件都是一级品”为事件A，则A的对立事件是______________________________.

6．一个射手进行一次射击，试判断下列事件那些是互斥事件？

那些是对立事件？

事件A：

命中环数大于7环；

事件B：

命中环数为10环；

事件C：

命中环数小于6环；

事件D：

命中环数为6、7、8、9、10环。

7．某射手在一次射击训练中，射中10环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：

（1）射中10环或9环的概率；

（2）少于7环的概率。

8．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？

课后作业

课本121页练习

§3.2.1古典概型

（2）

学习目标

1．熟练掌握古典概型及其概率计算公式；

2．能运用古典概型的知识解决一些实际问题。

学习过程

一、课前准备

（预习教材P128-P130，找出疑惑之处）

复习：

运用古典概型计算概率时，一定要分析其基本事件是否满足古典概型的两个条件：

①________________________________________;

________________________________________.

二、新课导学

※典型例题

例1假设银行卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0,1,2，…，9十个数字中的任意一个。

假设一个人完全忘了自己的储蓄卡密码，问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？

小结：

求古典概型的步骤：

（1）判断是否为古典概型。

（2）列举所有的基本事件的总数n。

（3）列举事件A所包含的基本事件数m。

（4）计算

。

变式训练：

某口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球.

（1）共有多少个基本事件？

（2）摸出的2只球都是白球的概率是多少？

例2．某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，问质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格产品的概率有多大？

总结：

（1）注意区别互斥事件和对立事件；

（2）求复杂事件的概率通常有两种方法：

一是将所有事件转化为彼此互斥事件的和;二是先去求对立事件的概率，进而再求所有事件的概率。

变式训练：

一枚硬币连续抛掷三次，求出现正面向上的概率。

※动手试试

1.某人有4把钥匙，其中2把能打开门。

现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是多少？

如果试过的钥匙不扔掉，这个概率不是多少？

2.假设有5个条件很类似的女孩，把她们分别记为A，C，J，K，S，她们应聘秘书工作，但只有3个秘书职位，因此5人中仅有三人被录用。

如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率：

（1）女孩K得到一个职位；

（2）女孩K和S各自得到一个职位；

（3）女孩K或S得到一个职位。

三、总结提升

※学习小结

学习评价

※当堂检测

1.一枚硬币抛掷两次，恰好出现一次正面的概率是（）

A0.5B0.25C0.75D0

2.从分别写有ABCDE的5张卡片中任取两张，两字母恰好相连的概率（）

A0.2B0.4C0.3D0.7

3.同时掷两个骰子，

（1）一共有种不同的结

果；

（2）其中向上的点数之和是5的结果有_种；

向上的点数之和是5的概率是___.

4.一个密码箱的密码由5位数组成，5个数字都可任意设定为0~9中的任何一个数字，假设某人已经设定了5位密码，

（1）若此人忘了密码的所有数字，则他一次就能把锁打开的概率为

（2）若此人只记得密码的前4位数字，则他一次就能把锁打开的概率为。

5.某班准备到郊外野营,为此向商店定了帐篷。

如果下雨与不下雨是等可能的,能否准时收到帐篷也是等可能的,只要帐篷如期运到,他们就不会淋雨,则淋雨的概率是。

6.从字母a、b、c、d任意取出两个不同字母的试验中，有基本事件，其中含有字母a的概率是.

7.甲,乙两人做掷骰子游戏,两人各掷一次,谁掷得的点数多谁就获胜.，甲获胜的概率为.

8.五件产品中有两件次品,从中任取两件来检验.

（1）一共有种不同的结果；

（2）两件都是正品的概率是；

（3）恰有一件次品的概率是______________.

课后作业

1.A，B，C，D4名学生按任意次序站成一排，试求下列事件的概率：

（1）A在边上；

（2）A和B都在边上；

（3）A或B在边上；（4）A和B都不在边上。

2.一个盒子里装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地取出两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率：

（1）标签的选取是无放回的；

（2）标签的选取是有放回的。

3.在一个盒中装有6枝圆珠笔，其中3枝一等品，2枝二等品和1枝三等品，从中任取3枝，问下列事件的概率有多大？

（1）恰有一枝一等品；

（2）恰有两枝一等品；

（3）没有三等品。

§3.3.1几何概型

学习目标

1．正确理解几何概型的概念；

2．掌握几何概型的概率公式；

3．会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判

别某种概型是古典概型还是几何概型。

学习过程

一、课前准备

（预习教材P135-P136，找出疑惑之处）

古典概型的两个特点：

（1）________________性，

（2）_________________性.

二、新课导学

※探索新知

探究1：

飞镖游戏：

如图所示，规定射中红色区域表示中奖。

问题1：

各个圆盘的中奖概率各是多少？

问题2：

在区间[0，9]上任取一个整数，恰好

取在区间[0，3]上的概率为多少？

问题3：

在区间[0，9]上任取一个实数，恰好

取在区间[0，3]上的概率为多少？

新知1：

几何概型：

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的______________，____________

或______________，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。

几何概型的两个特点：

（1）_______________性，

（2）_________________性.

几何概型概率计算公式：

P（A）=____________________________________

※典型例题

例1某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.

例2如图，假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆，则图1、图2落到阴影部分的概率分别为

___________，__________.

图1图2

例3取一根长为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都大于1米的概率是_______.

※动手试试

1．已知地铁列车每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即上车的概率是____________.

2．在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心为起点作射线OC,求∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率是____________.（请同学们考虑用多种方法解）

3.在1万平方米的海域中有40平方米的大陆架贮藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到石油层面的概率是_________.

4.在

内任取一点P,则

与

的面积之比大于

的概率为_________.

三、总结提升

※学习小结

古典概型与几何概型的区别与联系：

学习评价

※当堂检测

1.平面上画了一些彼此相距

的平行线，把一枚半径为

的硬币任意掷在这平面上如图3，则硬币不与任一条平行线相碰的概率是________.

2.从区间

内任取两个数,则这两个数的和小于

的概率是（）

A.

B.

C.

D.

3.在长为10cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25

与49

之间的概率为（）.

A.

B.

C.

D.

4.A是圆上固定的一定点,在圆上其他位置任取点

B,连接A、B两点,它是一条弦,它的长度大于或等于半径长度的概率为（）

A.

B.

C.

D.

5.某广播电台每当整点或半点时就会报时，某人睡

完觉后想知道时间就打开收音机调到该广播电台，

问这人等待的时间不超过5min的概率是_______.

6.在等腰

中，在线段AB（斜边）上任取一点M，使AM

7.在10立方米的沙子中藏有一个玻璃球,假定这个

玻璃球在沙子中的任何一个位置是等可能的,若取

出1立方米的沙子.则取出的沙子中含有玻璃球的

概率是_________.

课后作业

1.课本142页A组第1，2题。

2.在半径为1的半圆内，放置一个边长为

的正方形ABCD，向半圆内任投一点，落在正方形内的概率为（）.

A.

B.

C.

D.

3．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率．

§3.3.2均匀随机数的产生

学习目标

1．理解均匀随机数的含义，能利用计算器或计算机Excel软件产生均匀随机数；

2．理解随机模拟的用途，细心体会这样做法的原理，从中学习研究、解决问题方法。

学习过程

一、课前准备

（预习教材P136-P140，找出疑惑之处）

二、新课导学

※探索新知

1．X为[a，b]上的均匀随机数的含义：

（1）X是区间[a,b]内的_________的实数；

（2）X是区间[a,b]上任何一个实数的可能性_________。

2．均匀随机数的产生

（1）我们常用的是区间_________上的均匀随机数，可以利用_____________或___________产生；

（2）计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是_____________；

（3）Excel软件中产生[0,1]区间上均匀随机数的函数是____________。

思考：

如何产生区间

上的均匀随机数呢？

注意：

计算器和计算机上只能直接产生[0,1]区间上的均匀随机数，不能直接产生

区间上的均匀随机数，只能通过线性变换得到。

问题1:

若X为[0，1]上的均匀随机数，

（1）［0,100］区间上均匀随机数m=_____________

（2）［100,155］区间上均匀随机数n=____________

（3）

区间上均匀随机数Y=_____________

分析：

可结合不等式分析：

x为[0，1]上的均匀随机数即

.如何将x线性变换到［0,100］、［100,155］、

区间？

※典型例题

例1假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:

30-7:

30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:

00-8:

00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？

（用均匀随机数模拟随机事件的概率）

例2在正方形中随机撒一把豆子，如何用随机模拟的方法估计圆周率的值.（用均匀随机数模拟随机事件的概率的应用）

例3利用随机模拟方法计算由y=1和y=x2所围成的图形的面积.

（提示：

面积比等于落在其中点的个数比.）

※动手试试

1．将[0,1]内的均匀随机数转化为[-2,6]内的均匀随机数，需实施的变换为（）

A．

B．

C．

D．

2．猪八戒每天早上7点至9点之间起床，它在7点半之前起床的概率______.（将问题转化为时间长度）

3．有一个半径为5的圆，现将一枚半径为1的硬币向圆投去，如果不考虑硬币完全落在圆外的情况，则硬币完全落在圆内的概率是．

4.在如图的正方形中随机撒一把芝麻,用随机模拟的方法来估计圆周率

的值.如果撒了1000个芝麻,落在圆内的芝麻总数是776颗,那么这次模拟中

的估计值是_________.（精确0.001）

三、总结提升

※学习小结

1.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值.

2.用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想是，构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决.

3.在区间[a，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数.

4.利用计算机和线性变换Y=X*（b-a）＋a，可以产生任意区间[a，b]上的均匀随机数，其操作方法要通过上机实习才能掌握.

学习评价

※当堂检测

1.某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率是（）A．

B．

C．

D．

2．一个路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，当某人到达路口时看见红灯的概率是（）

A．

B．

C．

D．

3．如图1随机地向半圆

内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率均与该区域的面积成正比，求该点与原点连线与x轴的夹角小于

的概率．

4．已知半圆O的直径AB=2R，作平行于AB的弦MN，则MN

课后作业

教材复习题第1、2、3题。

第三章：

概率复习课

学习目标

1．掌握概率的基本性质.