最小二乘法拟合.docx
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最小二乘法拟合
4.最小二乘法线性拟合
我们知道,用作图法求出直线的斜率a和截据b,可以确定这条直线所对应的经验
公式,但用作图法拟合直线时,由于作图连线有较大的随意性,尤其在测量数据比较分
散时,对同一组测量数据,不同的人去处理,所得结果有差异,因此是一种粗略的数据
处理方法,求出的a和b误差较大。
用最小二乘法拟合直线处理数据时,任何人去处理同
一组数据,只要处理过程没有错误,得到的斜率a和截据b是唯一的。
最小二乘法就是将一组符合Y=a+bX关系的测量数据,用计算的方法求出最佳的a
和b。
显然,关键是如何求出最佳的a和b。
(1)求回归直线
设直线方程的表达式为:
y二abx(2-6-1)
要根据测量数据求出最佳的a和bo对满足线性关系的一组等精度测量数据(Xi,yi),假定自变量Xi的误差可以忽略,则在同一Xi下,测量点yi和直线上的点a+bxi的偏差di如下:
di=yi-a-bx-i
d^—y2~a-bx2
dn=yn~a~bxn
显然最好测量点都在直线上(即di=d2=,,=dn=0),求出的a和b是最理想的,但
测量点不可能都在直线上,这样只有考虑di、d2、”、dn为最小,也就是考虑di+d2+,,
+dn为最小,但因di、d2、,,、dn有正有负,加起来可能相互抵消,因此不可取;而|di|+
|d2|+,,+|dn|又不好解方程,因而不可行。
现在米取一种等效方法:
当d^+d/+,,+dn2
222
对a和b为最小时,di、d2、,,、dn也为最小。
取(di+d2+,,+dn)为最小值,求a
和b的方法叫最小二乘法。
n
D八di2
iJ
D对a和b分别求一阶偏导数为:
n
-na-b'Xi]
iT
n
-b'Xj2]
id
再求二阶偏导数为:
满足最小值条件,令一阶偏导数为零:
引入平均值:
2'
x-x
(2-6-7
将a、b值带入线性方程y=abx,即得到回归直线方程。
(2)y、a、b的标准差
在最小二乘法中,假定自变量误差可以忽略不计,是为了方便推导回归方程。
操作中函数的误差大于自变量的误差即可认为满足假定。
实际上两者均是变量,都有误差,从而导致结果y、a、b的标准差(n>6)如下:
、(%-bXi-a)2
(根式的分母为n-2,是因为有两个变量)
⑶相关系数
相关系数是衡量一组测量数据Xi、yi线性相关程度的参量,其定义为:
(2-6-11)
xy_xy
(x2-x)(y2一/)
r值在0<|r|w1中。
|r|越接近于1,x、y之间线性好;r为正,直线斜率为正,称为正相关;r为负,直线斜率为负,称为负相关。
|r|接近于0,则测量数据点分散或为、屮之间为非线性。
不论测量数据好坏都能求出a和b,所以我们必须有一种判断测量
数据好坏的方法,用来判断什么样的测量数据不宜拟合,判断的方法是|r|数据是非线性的.r0称为相关系数的起码值,与测量次数n有关,如下表2-6-2
表2-6-2相关系数起码值r0
n
r
n
r
n
r0
3
1.000
9
0.798
15
0.641
4
0.990
10
0.765
16
0.623
5
0.959
11
0.735
17
0.606
6
0.917
12
0.708
18
0.590
7
0.874
13
0.684
19
0.575
8
0.834
14
0.661
20
0.561
在进行一元线性回归之前应先求出r值,再与r0比较,若|r|>r0,则x和y具有
线性关系,可求回归直线;否则反之。
R
例9:
灵敏电流计的电流常数K和内阻Rg的测量公式为R2sU_Rg测得的
©Rd9
数据同例7,其中间处理过程如下,试用最小二乘法求出K和Rg,并写出回归方程的表
达式。
解:
测量公式与线性方程表达式y=a+bx比较:
Rs
y=R2x=Ub-a=-R9
KiR1d勺
数据处理如表2-6-3:
表2-6-3Rs=0.100QR1=4350.0Qd=40.0mm
i
1
2
3
4
5
6
7
8
平均值
R(Q)
400.0
350.0
300.0
250.0
200.0
150.0
100.0
50.0
225.0
U(V)
2.82
2.49
2.15
1.82
1.51
1.18
0.84
0.56
1.67125
R;(104q2)
16.00
12.25
9.000
6.250
4.000
2.250
1.000
0.250
6.375
F(V2)
7.95
6.20
4.62
3.31
2.28
1.39
0.71
0.31
3.34625
RU(102qV)
11.3
8.72
6.45
4.55
3.02
1.77
0.84
0.28
4.615625
中间过程可多取位:
X=1.67125y=225.0x2=3.34625
相关系数
查表得知,当n=8时,关,可以求回归直线。
求回归方程的系数
a=y-bx=-33.4
代换
Rg=-a=33.4Q
丘二b=154.6192304
KRd
K=Rs=3.7170X10-gA/mmbRd
计算标准差为:
计算不确定度:
测量结果表达式
因为
②操作步骤和方法
(i)按[MODE][0]键,计算器进入单变量统计计算状态。
屏右上角显示“STAT1'
指示符。
(ii)清除内存数据:
按[INV][ON/C.CE]键。
(iii)数据输入:
依次先键入数值,然后按[DATA]键,每完成一次输入的同时,屏
幕均会显示数据的个数n值。
(iv)数据修正:
按[DATA]键之前,要删除错误数据,按[ON/C.CE];按[DATA]键后
要删除错误数据,再次输入该错误值,然后按[INV][DEL]。
(v)取分析结果:
[INV][X]:
平均值
[INV][、X]:
数据和
2
[INV][vX]:
数据平方和
[INV][S]:
测量列的标准偏差
[INV][n]:
数据个数
例10:
一组等精度测量值为:
83.1>83.3、83.3、83.7、83.9、83.6、83.4、83.4、
2
83.1>83.2,试求x、、•x、'x、S、n。
解:
按键
显示
[MODE][0]
ST10
[INV][ON/C.CE]
0
83.1[DATA]
n1
83.3[DATA]
n2
83.3[DATA]
n3
83.7[DATA]
n4
83.9[DATA]
n5
83.6[DATA]
n6
83.4[DATA]
n7
83.4[DATA]
n8
83.1[DATA]
n9
83.2[DATA]
n10
[INV][X]
83.4
[INV][瓦x]
834
[INV][迟x2]
69556.22
[INV][S]
0.262466929
[INV][n]
10
注:
当n》6时,认为二=S。
(2)最小二乘法求回归直线
①求回归直线参量a、b、r的计算器运行公式
由(2-6-6)、(2-6-7)、(2-6-11)式得到以下只含Xi、yi两个变量的公式:
nn
'y,-b'Xi
i2
n
'Xi'yi_n'Xiyi
iTiTi£
nn
('Xi)2-n'x:
ii咼
nnn
n'kwx「yi
i#i#i=1
r=I
nnnn
、[n,X2-CXi)2][n'y:
-Cyj2]Yimi=1imi#
②操作步骤和方法:
STAT2
按[b]键,
(i)按[MODE][.],计算器进入双变量统计计算状态。
屏幕右上角显示“指示符。
(ii)清除内存数据:
按[INV][ON/C.CE]键
(iii)双变量数据输入:
先键入x的值、按⑻键,然后键入y的值、再按[DATA]键,完成输入。
屏幕会同时显示数据的个数,即n值。
(iv)数据修正:
同单变量数据输入。
(v)取分析结果
[INV][a]:
回归直线的截距
[INV][b]:
回归直线的斜率
[INV][r]:
相关系数
还可以取以下值:
22[INV][x]、[INV][y]、[INV][工x]、[INV][工x]、[INV][工y]、[INV][工y]、
则:
[INV][工xy],以便计算二y、二a、二b(计算器没有该三项的计算程序)。
例11:
灵敏电流计实验所测数据如下:
Rs=0.100QR1=4350.0Qd=40.0mm
R2(Q)
400.0
350.0
300.0
250.0
200.0
150.0
100.0
50.0
U(V)
2.82
2.49
2.15
1.82
1.51
1.18
0.84
0.56
要求所使用计算器具有计算最小二乘法的功能,求回归直线以及电流计的电流常数
K和内阻Rgo
按键
显示
[MODE][.]
ST20
[INV][ON/C.CE]
0
2.82{a}400.0[b][DATA]
n1
2.49[a]350.0[b][DATA]
n2
2.15[a]300.0[b][DATA]
n3
1.82[a]250.0[b][DATA]
n4
1.51[a]200.0[b][DATA]
n5
1.18[a]150.0[b][DATA]
n6
0.84[a]100.0[b][DATA]
n7
0.56[a]50.0[b][DATA]
n8
[INV][a]
a-32.12335698
[INV][b]
b153.8509241
[INV][r]
r0.9998323336
解:
测量公式R2二RsU-尺与线性方程表达式y=a+bx比较y=R2x=U,
KRd
查表知道,当n=8时,ro=0.834,r>r0,说明UR2之间线性相关。
得到:
回归方程R2=154U-32
电流计内阻Rg=321
电流常数K=3.74X10-9A/mm
习
1指出下列测量结果的有效数字:
(1)I=5010mA
8
⑵C=2.99792458X10m/s
2•按“四舍五入”修约法,将下列数据只保留
(1)1.005
⑵979.499
(3)980.501
⑷6.275
(5)3.134
3.单位变换:
(1)m=3.162±0.002kg
=g
=mg
=T
(2)0=(59.8±0.1)°
=(_)“
(3)L=98.96±0.04cm
=m
=mm
=jin
4•改错并且将一般表达式改写成科学表达式:
1192
(1)Y=(1.96X10±5.78X10)N/m
(2)L=(160000±100)m
5•按有效数字运算规则计算下列各式:
(1)1000-=
3
(2)3.2X10+3.2=
(3)tg3005—
100.325+100.125
(4)=
100.325-100.125
2
(5)R1=5.10kQ,R2=5.10X10q,
R=R]+R>+Rj=
(6)
3位有效数字:
R*=51Qo求:
L=1.674m-8.00cm=
6.求下列公式的不确定度:
4m
二d2h
-J
⑶L=h+d
3
x-y
xy
7.用分度值为1mm的米尺测量一物体长度L,测得数据为:
98.98cm、98.96cm、98.97cm、
98.94cm、99.00cm、98.95cm、98.97cm,试求L、△L,并写出测量结果表达式
L±AL。
&测量出一个铅圆柱体的直径为d=(2.040±0.001)cm,高度为h=件120±0.001)cm,
质量为m=(149.10±0.05)g,试计算1、X,并表示测量结果。
9•某同学测量弹簧倔强系数的数据如下:
F(g)
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
12.00
14.00
y(cm)
6.90
10.00
13.05
15.95
19.00
22.05
25.10
1
其中F为弹簧所受的作用力,y为弹簧的长度,已知y-y0=(-)F,试用作图法求弹
k
簧的倔强系数k及弹簧的原来长度y。
。
10•用伏安法测电阻时,测出的数据如下,试求回归直线,并求出测量结果R值。
I(mA)
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
12.00
14.00
16.00
18.00
20.00
U(V)
1.00
2.01
3.05
4.00
5.01
5.99
6.98
8.00
9.00
9.96
11.用双臂电桥对某一电阻作多次等精度测量,测得数据如下:
R(Q):
12.0612.1012.1212.1512.1612.1712.1912.2112.22
12.2512.2612.3512.4212.83
试用3二准则判断该测量列中是否有坏值,计算出检验后的算术平均值及平均值的标准差,正确表达测量结果。