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第一章有理数第一小节正数和负数

教材分析：

本小节内容是学生上初中的第一节课，也是学生第一次接触负数的概念。

所以要是学生会判断正数、负数及理解对数0表示量的意义，能为下一节课讲述有理数的分类，大小的比较等打下基础，因此成为本节课的重点，由于用负数表示实际问题对学生来说很不习惯，因此成为本节课的教学难点。

本节课是在小学所学算术数之后数的范围的第一次扩充，是算术数到有理数的衔接，而且是以后学习数轴、相反数、绝对值以及有理数运算的基础。

本节课从学生熟悉的实例出发，通过一系列探索和讨论过程，着重培养学生学会观察、分析、总结和归纳，使传授知识与培养能力融为一体，使学生不仅学到科学探究的方法，而且让他们在学习过程中获得愉快和进步。

教学目标：

1、通过实例，感受引入负数的必要性；会判断一个数是正数还是负数；会用正负数表示互为相反意义的量。

2、通过正负数的学习，培养学生应用数学知识的意识，训练学生运用新知识解决实际问题的能力。

3、通过归纳，让学生体会思维的一般过程是从具体到抽象；从特殊到一般的过程，使他们培养良好的思维习惯和探索精神，通过对学生进行爱国主义思想教育，培养学生良好的个性品质。

教学重点：

会判断正数、负数，运用正负数表示相反意义的量，理解0表示量的意义。

教学难点：

理解负数、数0表示的量的意义。

课时安排：

一课时（每个课时包含两节课）

教学内容：

一、创设情境导入新课

1、请同学们数一数自己的文具盒中共有几支笔。

（若干支笔）   

2、请一个同学数一数老师手中的文具盒中有几支笔。

（没有笔）   

3、用一把小刀把一个苹果切成两半，半个苹果怎样用一个数来表示？

师生行为及设计意图 

  通过活动说明数的产生和发展离不开生活和生产的需要。

原始社会，从打猎记数开始，首先出现自然数，经过漫长岁月，人们用“0”表示没有，随着人类的不断进步，在丈量土地进行分配时，又用小数使测量结果更加准确。

回忆数的发展：

小学数学中我们学习了自然数，0，分数，它们的产生是人类实践的需要。

但在新的学习中还有很多量是不能用小学所学的数表达出来。

二，师生合作，探索新知

1、教师活动：

让学生到讲台前，按照教师的指令进行表演活动， 教师说出指令：

 向前一步，向后一步； 向前两步，向后两步； 向前三步，向后一步； 向前四步，向后两步； 教师根据学生的活动情况，也参与表演，适当加以引导启发，用符号（加减号）表示。

学生活动：

学生一边按老师的指令表演，另一边让学生在黑板上速记。

2、教师活动

说出：

零上 10℃， 零下5℃，零上 35℃。

 零上 15℃，零上 48℃， 零下12℃。

学生活动：

学生按指令在黑板上速记。

设计意图：

通过活动，激发学生参与课堂教学的热情，使学生进入问题情境，让其感受到引入数学符号的必要性，引入新课。

启发学生举出生活中常遇到的一些具有相反意义的量，教师针对学生列举的例子给予适当点评，鼓励。

教师分析同学们的活动情况，如果学生不能引入符号表示，教师也参与表演。

用符号表示出：

+2、−2、+1、−3、+4、−1、+4、−2、+10、−5、+35、+15、+48、−12等，让学生感受引入符号的必要性。

三、解决问题、巩固新知

 1、天气预报2003年12月某天北京的温度为−3～3℃，它的确切含义是什么？

这一天北京的温差是多少？

 2、某机器零件的长度设计为100mm，加工图纸标注的尺寸为100±0.5（mm）,这里的±0.5代表什么意思？

合格厂品的长度范围是多少？

3、有三个队参加足球比赛中，红队胜黄队（4∶1），黄队胜蓝队（1∶0），蓝队胜红队（1∶0），如何确定三个队的净胜球数与排名顺序？

师生行为 

  教师解释净胜球数与排名顺序：

介绍确定足球比赛排名顺序的规定：

两队积分不相同，积分高的队排名在前；两队积分相同，净胜球多的队排名在前；两队积分，净胜球数都相同，进球多的队排名在前。

按照上述规定，红队第一，蓝队第二，黄队第三。

   学生思考-3～3℃、净胜球数与排名顺序、±0.5的意义。

设计意图 

  通过事例引出用各种符号表示的数，让学生试着解释，激发学生的求知欲望，让不同水平的学生都在进行积极的思维参与，兴致勃勃地参与学习活动。

同时对问题背景作些说明，有利于学生对问题的理解。

使学生感到数的扩充势在必行，扩充的理由是社会生产，生活的需要及数学自生发展的需要。

 4、在师生活动和问题中出现了一些新数据：

−3、−2、−5、−12、−0.5它们表示什么含义？

2、我们小学知道，数0表示没有，仔细观察上述的各例子，数0都表示没有吗？

数0是正数吗？

是负数吗？

师生行为 

  教师讲解：

我们把这种前面带有“−”号的数叫做负数。

并说明：

为与负数相区别，我们把以前学过的0以外的数，如3、2、0.5等，叫做正数，根据需要，有时在正数前面也加上“+”，如，+2、+3、+0.5。

就是3、2、0.5。

一个数前面的“+”“−”号叫做它的符号。

  教师说明数0的意义。

数0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界。

 0℃是一个确定的温度，海拔0表示海平面的平均高度。

0的意义已不仅是表示“没有”。

设计意图 

  在出现若干个新数后，采用描述性定义，并与小学学过的数对比，有利于学生理解概念。

采用联系对比的方法，采取轻松的态度，尽量避免使概念复杂化。

四、课堂练习  

  1、学生举例说明正、负数在实际中的应用。

  2、在地形图上表示某地的高度时，需要以海平面为基准（规定海平面的海拔高度为0）。

通常用正数表示高于海平面的某地的海拔高度，负数表示低于海平面的某地的海拔高度。

珠穆朗玛峰的海拔高度为8848米，它表示的什么含义？

吐鲁番盆地的海拔高度为–155米。

它表示什么含义？

3、记录帐目时，通常用正数表示收入款额，负数表示支出款额。

则收入50元可记为多少元？

支出23元可记为多少元？

   师生行为 

  教师安排学生分小组活动：

举一些实际中用正数、负数表示数量的例子。

五、家庭作业

书第四页练习1-4题，第五页巩固练习第1题

第一章有理数第二小节有理数

教材分析：

本节课是在学生已经了解负数的基础上再进一步加深对数的认识的章节，本节的课的目标要求是要学生能对有理数进行分类：

按正负来分，按整数和分数来分。

明确分类标准。

能正确的写出某些数的集合。

理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母），会比较有理数的大小．通过上述内容的学习，体会从数与形两方面考虑问题的方法．

课时安排:

四课时。

第一课时有理数，第二课时数轴，

第三课时相反数，第四课时绝对值（每个课时包含两节课）

第一课时：

有理数

教学目标：

1、理解整数、分数、有理数、数集等概念，掌握有理数的分类。

2、经历对有理数的分类，培养学生分析问题的能力．    

3、培养学生有条理的思考，初步体会分类的思想方法．

教学重点:

会把所给的有理数填入表示它所在的数集的圈里，理解分类原则，分类时要做到不重复不遗漏。

教学难点:

掌握有理数的分类方法

教学方法:

以学生自己探索为主，老师引导为辅。

教学内容:

一、复习提高 

1．“一个数，如果不是正数，那么一定是负数”这句话对不对？

为什么？

2．引入负数以后，我们学过的数有哪些？

它们可以分成哪些种类？

•你是按照什么划分的？

二、新授 

“一个数，如果不是正数，那么一定是负数”，这句话不对，因为也可能是零．从这里可知我们所学的数可以分为正数、负数、零三类．另外如果按整数、分数来分类，我们学过的数有：

正整数：

如1，2，3     

零：

0

负整数：

如-1，-2，-3 

正分数：

如

0.1，5.32    

负分数：

如-0.5，-

，-

，-

，-150.25

问：

0.1，5.32，-0.5，-150.25等为什么被列为分数？

•我们学过的小数都是分数吗？

答：

分数原意是可写成两个整数的比的数，例如，

是2与3的比，0.1•可以看作1与10的比，即110，-150.25化为分数为-15014，5.32化为分数为5

，我们已学过的小数都是分数（无限不循环小数除以外），循环小数也能化为分数． 

所有正整数组成正整数集合，所有负整数组成负整数集合，所有分数组成分数集合„„ 

正整数、0、负整数统称为整数，正分数和负分数统称为分数．     

整数和分数统称为有理数．     

试一试：

你能对以上各种数作出一张分类表吗？

（按整数和分数分类） 

以上分类，若学生有困难，教师可加以引导：

因为整数和分数统称有理数，所以有理数可分为整数和分数两大类，那么整数又包括哪些数呢？

分数呢？

以上是按整数和分数来划分的，也可以按性质（正数、负数）分，请你试一试。

有理数的两种分类，标准不同，所以结果也不同，需注意的是无论按什么标准进行分类，分类时都要做到不重复不遗漏． 

说明：

第二种分类不做要求，教师根据学生实际情况选用．

三、补充例题 

把下列各数填入表示它所在的数集的圈里．

-17，

，3.1415，0.107，-

，-23

，63%，-0.2

正整数集合负整数集合整数集合分数集合

点拨：

正数集合是由所有的正数组成的，这里的

，3.1415，107，63%只是所有正数的一部分，所以数集圈里要写上“„”，另外注意数“0”不是正数，是整数。

-0.2既属于分数集合，也属于负数集合。

2．填空：

（1）有理数中，是整数而不是正数的是____；是负数而不是分数的是______．     

（2）零是_____，还是______，但不是_____，也不是_____．

四、家庭作业

书第六页练习1、2题

第二课时：

数轴

教学目标：

1．使学生正确理解数轴的意义，掌握数轴的三要素，能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知点所表示的数。

2．使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，逐步形成应用数学的意识，提高应用数学的能力，让学生渗透数形结合的思想方法．  

3、通过对实数进行分类的练习，让学生进一步领会分类的思想，鼓励学生要从不同角度入手，寻解决问题的多种途径，训练学生的多角度思维，为他们以后更好地工作作准备。

体会数学知识与现实世界的联系，体现数学充满着探索性，培养学生良好的数学兴趣；能够在师评、生评、自评的影响下，树立学习数学的自信心。

教学重点：

初步理解数形结合的思想方法，正确掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数．

教学难点：

有理数和数轴上的点的对应关系。

教学方法：

1．教学方法：

根据教师为主导，学生为主体的原则，始终贯穿“激发情趣—手脑并用—启发诱导—反馈矫正”的教学方法． 

2．学生学法：

动手画数轴，动脑概括数轴的三要素，动手、动脑做练习

教学内容：

（一）创设情境，引入新课 

1、复习以前学过的知识——有理数包括正数、负数和0，以及怎样来表示有理数，除了用数值来表示外，还可以用刻度来表示。

2、让同学们思考，在日常生活中，有那些例子是用刻度来表示数值的，从而引出温度计。

3、让同学们回忆，温度计有些什么特征，通过分析温度计的特征——刻度均匀、有零刻度等，引导学生思考，能不能把所有的有理数都表示在这样一条线上？

然后引出这节课的内容——数轴。

【教法说明】

从温度计用标有读数的刻度来表示温度的高低这个事实出发，引出本节课所要学的内容—数轴．再从温度计这个实物形象抽象出数轴来研究．既激发了学生的学习兴趣，又使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，培养了用数学的意识． 

（二）探索新知识，讲授新课   1．数轴的画法 

  与温度计类似，可以在一条直线上画出刻度，标上读数，用直线上的点表示正数、负数和零，具体做法如下：

（1） 画一条水平的直线（要表示出所有的有理数，就需要一条能够两段无限延伸的直线） 

（2）在数轴上取一个点，表示0，命名为原点。

原点讲直线分成了以原点为端点的两条射线，用这两条射线，分别来表示正数和负数，原点左边表示负数，右边表示正数。

（3）把从原点向右的方向标为正方向。

（4）选适当的长度作为单位长度，并标出„，－3，－2，－1，1，2，3„各点。

具体如下图。

【教法说明】教师边讲解边示范，学生跟着一起画图．培养学生动手、动脑和实际操作能力，同时，把类比作为一种重要方法贯穿于概念形成过程的始终，让学生在认知过程中领悟这种思想方法． 

3．数轴的定义 

让学生观察画好的直线，思考这条直线包括了哪些元素，让学生根据老师画图的步骤，学生思考在一条水平的直线上都画出什么？

然后归纳出数轴的定义．  

数轴的定义：

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 

向学生提出问题：

数轴上是不是都规定了原点、正方向和单位长度，引导学生结合温度计正确回答这个问题，从而知道数轴三要素的重要性，了解三者缺一不可，认识和掌握判断一条直线是不是数轴的依据． 

【教法说明】通过“观察—类比—思考—概括—表达”展现知识的形成是从感性认识上升到理性认识的过程，让学生在获取知识的过程中，领会数学思想和思维方法，并有意识地训练学生归纳概括和口头表达能力． 3．画数轴常见几种错误 

  请一位同学到黑板上画一条书走，其他同学在草稿本上面画。

发现同学们在画数轴时出现得错误，进行讲解，指出容易画错的地方：

4．有理数与数轴上点的关系

通过刚才的学习我们知道所有的有理数都可以用数轴上的点来表示．   

例1  画一条数轴，并画出表示下列各数的点：

  1，5，0，－2.5， ． 

学生练习：

同学们在练习本上画一条数轴，然后在数轴上标出各点，一名学生板演．教师巡回指导，发现问题及时纠正． 

  【教法说明】让学生动手自己画数轴，有助于培养学生实际操作能力．例1是把给定的有理数用数轴上的点来表示，完成由“数”到“形”的思维过程，有助于学生加深对数轴概念的理解．

归纳小结 

①数轴是非常重要的数学工具，它使数和直线上的点建立了对应关系，它揭示数与形之间的内在联系，是帮助学生理解数学、学习数学的重要思想方法．本章有理数的有关性质和运算都是结合数轴进行的． 

②掌握数轴三要素，正确地画出数轴，提醒同学们，所有的有理数都可用数轴上的各点来表示，但是反过来不成立，即数轴上的各点，并不是都表示有理数．以后再研究．

课后思考 

1．一个点从原点开始，按下列条件移动两次后到达终点，说出它是表示什么数的点？

（1）向右移动2个单位长度，再向左移动2个单位。

（2）向左移动3个单位长度，再向左移动2个单位长度。

2．数轴上表示3和-3的点离开原点的距离是多少？

这两个点的位置有什么不同？

3．数轴上到原点的距离是5的点有几个？

它们分别表示什么数？

4．某数轴的单位长度是1cm，若在这个数轴上随意画一条长100cm的线段AB，则线段AB盖住的整数点有（  ） 

A．99个或100个 B．100个或101个 

C．99个或101个 D．99个、100个或101个 

第三课时：

相反数

教学目标：

1、使学生理解相反数的意义。

2、使学生掌握求一个已知数的相反数。

3、让学生体验数形结合。

认知互为相反数概念 会根据相反数的意义简化一个有理数的符号

教学重点：

要让学生能写出一个数的相反数。

能理解在一个数前面添上“＋”号仍等于这个数，在一个数前面添上“－”号，表示这个数的相反数。

教学难点：

化简一个数的符号（多重符号）

教学过程：

一、复习引入：

1．在数轴上分别找出表示各数的点。

4与―4，―3与3，―1.5与1.5  

想一想：

在数轴上，表示每对数的点有什么相同?

有什么不同?

2．观察数4与―4，―3与3，―1.5与1.5有何特点？

，观察每组数所对应的两个点到原点的距离相等吗?

 再提思考问題:

1，数轴上与原点的距离是2的点有＿＿个?

这些点表示的数是＿＿   

2，数轴上与原点的距离是5的点有＿＿个?

这些点表示的数是＿＿ 

学生归纳：

每组中的两个数只有符号不同，他们所对应的两点分别在原点的两侧，到原点的距离相等。

二、讲授新课：

1、提出问题：

根据刚才大家的分析，我们考虑一下，什么叫相反数？

看谁说得准确完整？

（提问学生） 

2、板书：

只有符号不同的两个数称为互为相反数。

强调：

只有、两个、互为 

3，举例说明：

6与－6是互为相反数，0.5与－0.5是互为相反数等。

同学们两人一组互相提问说说相反数。

4、辩析题：

（1）符号不同的两个数叫做互为相反数。

（2）3.5是相反数。

（3）+10和－10是相反数。

（4）－8是8的相反数。

5，提出问题． 

数轴上与原点的距离是a的点有＿＿＿个?

这些点表示的数是＿＿＿ 问:

 a的相反数是什么？

根据相反数的特点在数轴上找一找看谁说得出來？

（提问学生） 

［板书］a的相反数是－a． 

a的相反数是－a, a可表示任意数――正数、负数、0，求任意一个数的相反数就可以在这个数前加一个“－”号． 

提出问题：

若把分别换成＋5，－7，0时，这些数的相反数怎样表示？

6、提出问题：

是否有相反数等于它本身的数 

 让学生根据相反数的特点在数轴上找一找，是否找到这样的数？

是什么数？

为什么？

（学生讨论） 板书，0的相反数仍是0 

7、举例说出下列各数的相反数，并在数轴上表示它们的相反数：

－2.5、2、－3 

8、练习：

“对号入座”游戏（用小黑板挂出下列问题）

下列各数：

0、π、100、－3、－8.2、5.2、1.1，应对号入座在什么位置？

（请学生回答）。

（1） 3的相反数是____       

（2） _____是－100的相反数 （3） －5.2的相反数是____   （4）  0的相反数是____ （5）  8.2和____互为相反数  （6） －π的相反数是____ （7）  ____的相反数是－1.1 

9，我们通常把在一个数前面添上“―”号，表示这个数的相反数。

例如：

－6表示6的相反数，－（－6）表示的－6的相反数，则－（－6）＝6  同样有―（―4）=4, ―（+5.5）=―5.5， 

而在一个数前面添上“+”号，表示这个数本身。

例如 +（―4）=―4，+（+12）=12。

 10、化简符号：

（用小黑板挂出下列问题）  

+（+5）= _____   ,+（－2）= _____,  +（+0）= _____.     －（+5）= ____ ,   －（-1.5）= ____, －（+0）= ____ . 11、设置抢答题：

（用小黑板挂出下列问题） 

（1）  +（－5）= ____  ，

（2）  +（+8）= ____  （3）  －（+3）=   ，   （4）  －（－2）=       （5）  －（－a）=     （6）  －[－（－3）]= 观察简化符号的规律：

“－”号个数与结果“正”“负”的关系 12，课堂练习：

课本：

P11的填空题；P12的练习题第一题。

 三、小结本节主要知识点（学生自己总结） 

1．只有符号不同的两个数互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0，从数轴上看，求一个数的相反数就是找一个点关于原点的对称点；  

2．相反数是表示具有特定关系（只有符号不同）的两个数，单独一个数不

能被称为相反数，相反数是成对出现的； 

3．正号“+”的功能是对一个数的符号予以确认；而负号“―”的功能是对一个数的符号予以改变。

知识点复习

相反数的定义 

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零。

2.概念的理解：

（1）互为相反数的两个数分别在原点的两旁，且到原点的距离相等。

（2）一般地，数a的相反数是a,a不一定是负数。

（3）在一个数的前面添上“-”号，就表示这个数的相反数，如：

-3是3的相反数，-a是a的相反数，因此，

当a是负数时，-a是一个正数 

-（-3）是（-3）的相反数，所以-（-3）=3，于是 

（4）相反数是指两个数之间的一种特殊的关系，而不是指一个种类。

如：

“-3是一个相反数”这句话是不对的。

规律：

一般地，数a的相反数可以表示为－a 

练习题

1．下列说法正确的是（   ） 

A．带“＋号”和带“－”号的数互为相反数 B．数轴上原点两侧的两个点表示的数是相反数 C．和一个点距离相等的两个点所表示的数一定互为相反数 D．一个数前面添上“－”号即为原数的相反数 

2．如图所示，表示互为相反数的点是（   ） 

A．点A和点D  B．点B和点C; C．点A和点C    D．点B和点D 

3．下列说法错误的是（   ） 

 A．+（-3）的相反数是3； B．-（+3）的相反数是3 

C．-（-8）的相反数是-8； D．-（+18）的相反数是8 

4．若a的相反数是b，则下列结论错误的是（   ） 

  A．a=-b    B．a+b=0；  C．a和b都是正数  D．无法确定a，b的值 

5．一个数的相反数大于它本身，这个数是（   ） 

  A．有理数     B．正数     C．负数      D．非负数  

家庭作业

二三课时一起上的，作业书10页练习题1-4题，14页复习巩固1-3题

8月8号作业全部完成具体情况如下：

全对：

6人

错一题；3人

错两题：

3人

已经全部评讲

第四时：

绝对值

教学目标：

1、通过现实模型使学生能从代数几何两个角度正确理解绝对值的意义，能够做到知数即可知其绝对值并正确表出.  

2、在把绝对值的代数定义转化成数学式子的过程中，培养学生运用数学转化思想指导思维活动的能力. 

3、求一个数的绝对值；绝对值代数、几何意义的理解和应用；比较大小，从相反数到绝对值，使学生感知数学知识具有普遍的联系性。

教学重点：

绝对值含义的理解、求已知数的绝对值，利用数轴比较有理数的大小．

教学难点：

绝对值的几何意义，代数定义的导出，两个负数比较大小．

教学过程：

一、问题引入：

问题：

两辆汽车，第一辆沿公路向东行驶了5千米，第二辆向西行驶了4千米．为了表示行驶的方向（规定向东为正）和所在位置，分别记作+5千米和-4千米．这样，利用有理数就可以明确表示每辆汽车在公路上的位置了

 我们知道，出租汽车是计程收费的，这时我们只需要考虑汽车行驶的距离，不需要考虑方向．当不考虑方向时，两辆汽车行驶的距离就可以记为5千米和4千米（在图上标出距离）．这里的5叫做+5的绝对值，4叫做-4的绝对值．

二、讲授新课 

1．绝对值的定义：

我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值.记作|a|. 

例如，在数轴上表示数―6与表示数6的点与原点的距离都是6，所以―6和6的绝对值都是6，记作|―6|=|6|=6.同样可知|―4|=4，|+1.7|=1.7. 

2．试一试：

你能从中发现什么规律?

 由绝对值的意义，我们可以知道：

（1）|+2|=    ，51=    ，|+8.2|=   ；   

（2）|0|=    ； 

（3）|―3|=    ，|―0.2|=    ，|―8.2|=    . 

概括：

通过对具体数的绝对值的讨论，并注意观察在原点右边的点表示的数（正数）的绝对值有什么特点？

在原点左边的点表示的数（负数）的绝对值又有什么特点？

由学生分类讨论，归纳出数a的绝对值的一般规律：

（1）一个正数的绝对值是它本身； 

（2） 0的绝对值是0； 

（3）