三角形内角和定理.ppt

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数学数学数学数学（北师大北师大北师大北师大.八年级八年级八年级八年级上册上册上册上册）你还记得上节课学过的常你还记得上节课学过的常见见公理及证明、证明的步公理及证明、证明的步骤骤吗？

吗？

2.2.线段公理：

线段公理：

两点之间线段最短两点之间线段最短。

公理公理：

人们在长期实践中总结出的大家公认为正：

人们在长期实践中总结出的大家公认为正确的道理确的道理,叫做公理。

叫做公理。

1.1.直线公理：

直线公理：

两点确定一条直线。

两点确定一条直线。

3.3.平行公理：

平行公理：

过直线外一点有且只有一条直过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

线与已知直线平行。

4.4.垂直公理：

垂直公理：

过一点有且只有一条直线与已知直过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

线垂直。

5.5.平行线的判定公理：

平行线的判定公理：

两条直线被第三条直线所截，两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

如果同位角相等，那么这两条直线平行。

6.6.三角形全等的判断公理三角形全等的判断公理：

SASASASASASASSSSSS。

9.9.全等三角形性质公理全等三角形性质公理：

对应角相等，：

对应角相等，对应边相等。

对应边相等。

10：

等式的有关性质和不等式的有关性质：

等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理都可以看作公理w在等式或不等式中在等式或不等式中,一个量可以一个量可以用它的等量来代替例如用它的等量来代替例如,如果如果a=b,b=c,那么那么a=c,这一性质也看这一性质也看作公理作公理,称为称为“等量代换等量代换”.证明的一般步骤：

证明的一般步骤：

第一步：

第一步：

分析条件、结论，画出图形分析条件、结论，画出图形第二步：

第二步：

根据条件、结论、结合图形，写根据条件、结论、结合图形，写出出已已知、求证。

知、求证。

第三步：

第三步：

经过分析，找出由已知推出求证经过分析，找出由已知推出求证的途径，的途径，第四步：

第四步：

结合图形，写出证明过程结合图形，写出证明过程证明：

证明：

运用学过的公理、定理、定义、性质运用学过的公理、定理、定义、性质,用推理的方法判定一个命题是真命题的过程叫证明用推理的方法判定一个命题是真命题的过程叫证明三三角角形形蓝蓝和和三三角角形形红红见见面面了了，蓝蓝炫炫耀耀的的说说：

“我我的的体体积积比比你你大大，所所以以我我的的内内角角和和也也比比你你大大！

”红红不不服服气气的的说说：

“那那可可不不好好说说噢噢，你你自己量量看！

自己量量看！

”蓝蓝用用量量角角器器量量了了量量自自己己的的内内角角和和，就就不不再说话了！

再说话了！

同学们，你们知道其中的道理吗？

同学们，你们知道其中的道理吗？

问题问题1命题命题：

三角形的三个内角和是三角形的三个内角和是180你能验证这个命题吗？

你能验证这个命题吗？

你还记得这个结论的探索过程吗?

ABC演示下一页123三角形的三个内角和是多少?

方法一方法一:

将各角沿着某一条直将各角沿着某一条直线折叠折叠验证：

三角形的三个内角和是验证：

三角形的三个内角和是180180图1图2图3ABCCBAABBCCBAB

（2）根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗?

你能用比较简捷的语言写出这一证明过程吗?

.结论：

三角形的内角和等于结论：

三角形的内角和等于1800.证明：

证明：

过点过点A作作EFBCB=2（两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等）同理同理C=12+1+BAC=1800（平角定义平角定义）B+C+BAC=1800（等量代换等量代换）已知：

如图，已知：

如图，ABC.ABCEF求证：

求证：

A+B+C=180EF如果一个图形是三角形那么这个三角形三个内角和是180EF这里EF称为辅助线,通常画成虚线.EFBCEFBC在这里，为了证明的需要，在原来的在这里，为了证明的需要，在原来的图形上图形上自己加上自己加上的线叫做的线叫做辅助线辅助线。

在平面。

在平面几何里，辅助线通常画成几何里，辅助线通常画成虚线虚线。

注意要说。

注意要说明所加辅助线的位置、名称和性质。

明所加辅助线的位置、名称和性质。

思路总结：

思路总结：

为了证明三角形三个内角的和为为了证明三角形三个内角的和为180180,通常应用通常应用转化思想。

转化思想。

转化为：

转化为：

平角或利用平角或利用两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补结论：

三角形的内角和等于结论：

三角形的内角和等于1800.B+BAC+C=180（等量代换）（等量代换）已知：

已知：

ABC.求证：

求证：

A+B+C=180ABCL证明：

证明：

过点过点A作作AEBC，则则B=1（两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等）1+BAC+C=180（两直线平行两直线平行,同旁内角互补同旁内角互补）w已知:

如图6-9,ABC.w求证:

A+B+C=1800.w证明:

作BC的延长线CD,过点C作CEAB,w你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?

.w1=A（两直线平行,内错角相等）,w2=B（两直线平行,同位角相等）.w又1+2+3=1800（平角的定义）,wA+B+ACB=1800（等量代换）.w分析:

延长BC到D,过点C作射线CEAB,这样,就相当于把A移到了1的位置,把B移到了2的位置.这里的这里的CD,CE称称为辅助线为辅助线,辅助线通辅助线通常画成虚常画成虚线线.ABCE213DABCL结论结论:

三角形的内角和是三角形的内角和是180.CEAB,开启智慧你还有其他方法来证明三你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗？

角形内角和定理吗？

添加辅助线思路：

添加辅助线思路：

1、构造平角、构造平角2、构造同旁内角、构造同旁内角EABCDF图1ANBCTS图3PQRMANBCTS图4PQRM（ABCEDF（1234（图2三角形内角和定理三角形内角和定理w三角形内角和定理三角形内角和定理三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于18018000.wABC中中,A+B+C=A+B+C=1800.wA+B+C=A+B+C=1800的几种变形的几种变形:

wA=A=1800（B+C）.（B+C）.wB=B=1800（A+C）.（A+C）.wC=C=1800（A+B）.（A+B）.wA+B=A+B=1800-C.C.wB+C=B+C=1800-A.A.wA+C=A+C=1800-B.B.w这里的结论这里的结论,以后可以直接运用以后可以直接运用.三种语言三种语言ABC已知：

三角形三个内角的度数之比为已知：

三角形三个内角的度数之比为1:

3:

51:

3:

5，求这三个内角的度数。

，求这三个内角的度数。

解：

设三个内角度数分别为：

解：

设三个内角度数分别为：

xx、3x3x、5x,5x,x+3x+5x=180x+3x+5x=180解得解得x=20x=20所以三个内角度数分别为所以三个内角度数分别为2020,60,60,100,100。

由三角形内角和为由三角形内角和为180得得33、如图，直线、如图，直线ABABCD,CD,在在ABAB、CDCD外有一点外有一点PP，连结，连结PBPB、PDPD，交，交CDCD于于EE点。

则点。

则BB、DD、PP之间是否存在之间是否存在一定的大小关系？

一定的大小关系？

随堂练习随堂练习AABBCCPPDDEE他们是怎样的，并加以证明他们是怎样的，并加以证明？

证明：

证明：

因为因为ABCD（1（2所以所以1+B=1800（两直线平行，同旁内角互补）两直线平行，同旁内角互补）因为因为2+P+D=1800（三角形内角和定理）（三角形内角和定理）1=2（对顶角相等）（对顶角相等）所以所以B=P+D（等量代换）等量代换）证明：

证明：

因为因为ABCD因为因为2+P+D=1800（三角形内角和定理）（三角形内角和定理）3、如图所示，AD、BC相交于O点，若A35，B56，D46，则C的度数是（）A、31B、45C、41D、76ABOCD这种图形称、这种图形称、“又又”字型字型结论：

结论：

A+B=C+DBB闯关规则：

闯关规则：

每一关设置一道题，听到教每一关设置一道题，听到教师师口令口令后再后再举手抢答举手抢答（答对有奖哦）！

（答对有奖哦）！

准备好了吗？

准备好了吗？

下面将请出下面将请出快乐男生王栎鑫快乐男生王栎鑫与我们一起与我们一起进入今天的闯关练习。

进入今天的闯关练习。

练习练习2.如图，求如图，求A1+A2+A3+A4+A5的度数。

的度数。

A2A1A5A3A421拓广探究拓广探究第一关第一关如图，求A+B+C+D+E+F的度数。

ABCDEF第二关第二关113322思维拓展：

思维拓展：

n1、（、

（1）如图）如图（甲甲），在五角星图形中，求，在五角星图形中，求A+B+C+D+E的度数。

的度数。

（2）把图（乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问它们的五角之）把图（乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问它们的五角之和与五角星图形的五角之和仍相等吗？

为什么？

和与五角星图形的五角之和仍相等吗？

为什么？

AEABCDAE（甲甲）EBCDDCB（乙乙）（丙丙）第三关第三关相等相等w在ABC中,如果BC不动,把点A“压”向BC,那么当点A越来越接近BC时,A就越来越大（越来越接近1800）,而B和C,越来越小（越来越接近00）.由此你能想到什么?

w如果BC不动,把点A“拉离”BC,那么当A越来越远离BC时,A就越来越小（越来越接近00）,而B和C则越来越大,它们的和越来越接近1800,当把点A拉到无穷远时,便有ABAC,B和C成为同旁内角,它们的和等于1800.由此你能想到什么?

CBACBA第四关第四关回顾回顾与与小结小结本节课里你学到了什么？

本节课里你学到了什么？

1、三角形内角和的定理：

、三角形内角和的定理：

三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于1801802、通过思考、探究、去总结三角形内角和的定理，并、通过思考、探究、去总结三角形内角和的定理，并且发现要证明三角形三个内角的和等于且发现要证明三角形三个内角的和等于180需需转化为：

转化为：

平角或两直线平行同旁内角和等于平角或两直线平行同旁内角和等于180180。

3、三角形内角和的定理证明中，、三角形内角和的定理证明中，添加辅助线的实质添加辅助线的实质是通过是通过平行线来移动角平行线来移动角。

教科书教科书P180习题习题7.6第第1、2、3、4题题布置作业布置作业