考点三 动量和能量的综合
1.（2018河南八市第一次测评,13）质量为M=4kg的长木板A静止放在光滑水平地面上,质量为m1=4kg的物块B位于木板A的左端,质量为m2=4kg的物块C位于木板A的右端,物块B与木板A间的动摩擦因数为μ=0.5,C物块下表面光滑。
某时刻,使物块B以速度v1=2m/s从左向右运动,同时使物块C以速度v2=2m/s从右向左运动,已知当A、B速度相等时,B、C发生碰撞,碰后粘在一起运动,重力加速度为g=10m/s2,B、C均看做质点,则:
（1）木板A的最大速度为多少?
（2）A、B间摩擦产生的热量为多少?
答案
（1）1m/s
（2）7J
2.（2020届青海西宁三校联考,14）一轻质弹簧水平放置,一端固定在A点,另一端与质量为m的小物块P接触但不连接。
AB是水平轨道,质量也为m的小物块Q静止在B点,B端与半径为R的光滑半圆轨道BCD相切,半圆的直径BD竖直,如图所示。
物块P与AB间的动摩擦因数μ=0.5。
初始时PB间距为4R,弹簧处于压缩状态。
释放P,P开始运动,脱离弹簧后在B点与Q碰撞后粘在一起沿轨道运动,恰能经过最高点D,已知重力加速度g,求:
（1）粘合体在B点的速度大小;
（2）初始时弹簧的弹性势能。
答案
（1）
（2）12mgR
3.（2020届陕西西安中学期中,16）如图所示,在光滑水平地面上放置质量M=2kg的长木板,木板上表面与固定的竖直弧形轨道相切。
一质量m=1kg的小滑块自A点沿弧面由静止滑下,A点距离长木板上表面高度h=0.6m。
滑块在木板上滑行t=1s后,和木板以共同速度v=1m/s匀速运动,取g=10m/s2。
求:
（1）滑块与木板间的摩擦力大小。
（2）滑块沿弧面下滑过程中克服摩擦力做的功。
（3）滑块相对木板滑行的距离。
答案
（1）2N
（2）1.5J （3）1.5m
炼技法提能力
【方法集训】
方法1 有关连续体冲击力的解题方法
1.（2018北京海淀期中,4）用豆子模拟气体分子,可以模拟气体压强产生的原理。
如图所示,从距秤盘80cm高度把1000粒的豆子连续均匀地倒在秤盘上,持续作用时间为1s,豆子弹起时竖直方向的速度变为碰前的一半。
若每粒豆子只与秤盘碰撞一次,且碰撞时间极短（在豆子与秤盘碰撞极短时间内,碰撞力远大于豆子受到的重力）,已知1000粒的豆子的总质量为100g。
则在碰撞过程中秤盘受到的压力大小约为（ ）
A.0.2NB.0.6NC.1.0ND.1.6N
答案 B
2.（2020届中原五校联考,6）如图所示,自动称米机已在许多大粮店广泛使用。
买者认为:
因为米流落到容器中时对容器有向下的冲力而不划算;卖者则认为:
当预定米的质量达到要求后时,自动装置即刻切断米流,此刻有一些米仍在空中,这些米是多给买者的,因而双方争执起来。
用你学过的物理知识,通过计算分析说明是买者说的对,还是卖者说的对,还是公平交易。
答案 公平交易
3.[2016课标Ⅰ,35
（2）,10分]某游乐园入口旁有一喷泉,喷出的水柱将一质量为M的卡通玩具稳定地悬停在空中。
为计算方便起见,假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向上喷出;玩具底部为平板（面积略大于S）;水柱冲击到玩具底板后,在竖直方向水的速度变为零,在水平方向朝四周均匀散开。
忽略空气阻力。
已知水的密度为ρ,重力加速度大小为g。
求
（ⅰ）喷泉单位时间内喷出的水的质量;
（ⅱ）玩具在空中悬停时,其底面相对于喷口的高度。
答案 （ⅰ）ρv0S （ⅱ）
-
方法2 两个典型模型的处理方法
1.（2018山西名校联考,14）如图所示,一质量m1=0.45kg的平顶小车静止在光滑的水平轨道上。
质量m2=0.5kg的小物块（可视为质点）静止在车顶的右端。
一质量为m0=0.05kg的子弹、以水平速度v0=100m/s射中小车左端并留在车中,最终小物块相对地面以2m/s的速度滑离小车。
已知子弹与车的作用时间极短,物块与车顶面的动摩擦因数μ=0.8,认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
取g=10m/s2,求:
（ⅰ）子弹相对小车静止时小车速度的大小;
（ⅱ）小车的长度L。
答案 （ⅰ）10m/s （ⅱ）2m
2.（2018黑龙江大庆联考,12）如图所示,在光滑水平面上有一辆质量M=8kg的平板小车,车上有一个质量m=1.9kg的木块（木块可视为质点）,车与木块均处于静止状态。
一颗质量m0=0.1kg的子弹以v0=200m/s的初速度水平向左飞,瞬间击中木块并留在其中。
已知木块与平板之间的动摩擦因数μ=0.5。
（g取10m/s2）
（1）求子弹射入木块后瞬间子弹和木块的共同速度;
（2）若木块不会从小车上落下,求三者的共同速度;
（3）若是木块刚好不会从车上掉下,则小车的平板至少多长?
答案
（1）10m/s
（2）2m/s （3）8m
3.如图所示,半径为R的四分之一光滑圆弧轨道竖直固定在水平地面上,下端与水平地面在P点相切,一个质量为2m的物块B（可视为质点）静止在水平地面上,左端固定有轻弹簧,Q点为弹簧处于原长时的左端点,P、Q间的距离为R,PQ段地面粗糙、动摩擦因数为μ=0.5,Q点右侧水平地面光滑。
现将质量为m的物块A（可视为质点）从圆弧轨道的最高点由静止开始下滑,重力加速度为g。
求:
（1）物块A沿圆弧轨道滑至P点时对轨道的压力大小;
（2）弹簧被压缩的最大弹性势能（未超过弹性限度）;
（3）物块A最终停止位置到Q点的距离。
答案
（1）3mg
（2）
mgR （3）
R
【5年高考】
A组 基础题组
1.（2019课标Ⅰ,16,6分）最近,我国为“长征九号”研制的大推力新型火箭发动机联试成功,这标志着我国重型运载火箭的研发取得突破性进展。
若某次实验中该发动机向后喷射的气体速度约为3km/s,产生的推力约为4.8×106N,则它在1s时间内喷射的气体质量约为（ ）
A.1.6×102kgB.1.6×103kg
C.1.6×105kgD.1.6×106kg
答案 B
2.（2018课标Ⅰ,14,6分）高铁列车在启动阶段的运动可看作初速度为零的匀加速直线运动。
在启动阶段,列车的动能（ ）
A.与它所经历的时间成正比
B.与它的位移成正比
C.与它的速度成正比
D.与它的动量成正比
答案 B
3.（2017天津理综,4,6分）“天津之眼”是一座跨河建设、桥轮合一的摩天轮,是天津市的地标之一。
摩天轮悬挂透明座舱,乘客随座舱在竖直面内做匀速圆周运动。
下列叙述正确的是（ ）
A.摩天轮转动过程中,乘客的机械能保持不变
B.在最高点时,乘客重力大于座椅对他的支持力
C.摩天轮转动一周的过程中,乘客重力的冲量为零
D.摩天轮转动过程中,乘客重力的瞬时功率保持不变
答案 B
4.（2017课标Ⅰ,14,6分）将质量为1.00kg的模型火箭点火升空,50g燃烧的燃气以大小为600m/s的速度从火箭喷口在很短时间内喷出。
在燃气喷出后的瞬间,火箭的动量大小为（喷出过程中重力和空气阻力可忽略）（ ）
A.30kg·m/sB.5.7×102kg·m/s
C.6.0×102kg·m/sD.6.3×102kg·m/s
答案 A
5.[2016课标Ⅱ,35
（2）,10分]如图,光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体,斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上。
某时刻小孩将冰块以相对冰面3m/s的速度向斜面体推出,冰块平滑地滑上斜面体,在斜面体上上升的最大高度为h=0.3m（h小于斜面体的高度）。
已知小孩与滑板的总质量为m1=30kg,冰块的质量为m2=10kg,小孩与滑板始终无相对运动。
取重力加速度的大小g=10m/s2。
（ⅰ）求斜面体的质量;
（ⅱ）通过计算判断,冰块与斜面体分离后能否追上小孩?
答案 （ⅰ）规定向右为速度正方向。
冰块在斜面体上运动到最大高度时两者达到共同速度,设此共同速度为v,斜面体的质量为m3。
由水平方向动量守恒和机械能守恒定律得
m2v20=（m2+m3）v①
m2
=
（m2+m3）v2+m2gh②
式中v20=-3m/s为冰块推出时的速度。
联立①②式并代入题给数据得
m3=20kg③
（ⅱ）设小孩推出冰块后的速度为v1,由动量守恒定律有
m1v1+m2v20=0④
代入数据得
v1=1m/s⑤
设冰块与斜面体分离后的速度分别为v2和v3,由动量守恒和机械能守恒定律有
m2v20=m2v2+m3v3⑥
m2
=
m2
+
m3
⑦
联立③⑥⑦式并代入数据得
v2=1m/s⑧
由于冰块与斜面体分离后的速度与小孩推出冰块后的速度相同且处在后方,故冰块不能追上小孩。
6.[2016课标Ⅲ,35
（2）,10分]如图,水平地面上有两个静止的小物块a和b,其连线与墙垂直;a和b相距l,b与墙之间也相距l;a的质量为m,b的质量为
m。
两物块与地面间的动摩擦因数均相同。
现使a以初速度v0向右滑动。
此后a与b发生弹性碰撞,但b没有与墙发生碰撞。
重力加速度大小为g。
求物块与地面间的动摩擦因数满足的条件。
答案
≤μ<
7.（2015安徽理综,22,14分）一质量为0.5kg的小物块放在水平地面上的A点,距离A点5m的位置B处是一面墙,如图所示。
物块以v0=9m/s的初速度从A点沿AB方向运动,在与墙壁碰撞前瞬间的速度为7m/s,碰后以6m/s的速度反向运动直至静止。
g取10m/s2。
（1）求物块与地面间的动摩擦因数μ;
（2）若碰撞时间为0.05s,求碰撞过程中墙面对物块平均作用力的大小F;
（3）求物块在反向运动过程中克服摩擦力所做的功W。
答案
（1）0.32
（2）130N （3）9J
8.（2019课标Ⅲ,25,20分）静止在水平地面上的两小物块A、B,质量分别为mA=1.0kg,mB=4.0kg;两者之间有一被压缩的微型弹簧,A与其右侧的竖直墙壁距离l=1.0m,如图所示。
某时刻,将压缩的微型弹簧释放,使A、B瞬间分离,两物块获得的动能之和为Ek=10.0J。
释放后,A沿着与墙壁垂直的方向向右运动。
A、B与地面之间的动摩擦因数均为μ=0.20。
重力加速度取g=10m/s2。
A、B运动过程中所涉及的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。
（1）求弹簧释放后瞬间A、B速度的大小;
（2）物块A、B中的哪一个先停止?
该物块刚停止时A与B之间的距离是多少?
（3）A和B都停止后,A与B之间的距离是多少?
答案
（1）4.0m/s 1.0m/s
（2）B先停 0.50m （3）0.91m
9.（2019北京理综,24,20分）雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒,这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关。
雨滴间无相互作用且雨滴质量不变,重力加速度为g。
（1）质量为m的雨滴由静止开始,下落高度h时速度为u,求这一过程中克服空气阻力所做的功W。
（2）将雨滴看做半径为r的球体,设其竖直落向地面的过程中所受空气阻力f=kr2v2,其中v是雨滴的速度,k是比例系数。
a.设雨滴的密度为ρ,推导雨滴下落趋近的最大速度vm与半径r的关系式;
b.示意图中画出了半径为r1、r2（r1>r2）的雨滴在空气中无初速下落的v-t图线,其中 对应半径为r1的雨滴（选填①、②）;若不计空气阻力,请在图中画出雨滴无初速下落的v-t图线。
（3）由于大量气体分子在各方向运动的几率相等,其对静止雨滴的作用力为零。
将雨滴简化为垂直于运动方向面积为S的圆盘,证明:
圆盘以速度v下落时受到的空气阻力f∝v2（提示:
设单位体积内空气分子数为n,空气分子质量为m0）。
答案
（1）mgh-
mu2
（2）a.
b.由vm=
可知,①对应半径为r1的雨滴。
所作v-t图线如图1。
图1
（3）根据题设条件:
大量气体分子在各方向运动的几率相等,其对静止雨滴的作用力为零。
以下只考虑雨滴下落的定向运动。
简化的圆盘模型如图2。
设空气分子与圆盘碰撞前后相对速度大小不变。
在Δt时间内,与圆盘碰撞的空气分子质量为Δm=SvΔtnm0
图2
以F表示圆盘对气体分子的作用力,根据动量定理,
有FΔt∝Δm×v
得F∝nm0Sv2
由牛顿第三定律,可知圆盘所受空气阻力
f∝v2
采用不同的碰撞模型,也可得到相同结论。
10.（2018课标Ⅰ,24,12分）一质量为m的烟花弹获得动能E后,从地面竖直升空。
当烟花弹上升的速度为零时,弹中火药爆炸将烟花弹炸为质量相等的两部分,两部分获得的动能之和也为E,且均沿竖直方向运动。
爆炸时间极短,重力加速度大小为g,不计空气阻力和火药的质量。
求
（1）烟花弹从地面开始上升到弹中火药爆炸所经过的时间;
（2）爆炸后烟花弹向上运动的部分距地面的最大高度。
答案
（1）
（2）
B组 提升题组
1.[2019江苏单科,12
（1）]质量为M的小孩站在质量为m的滑板上,小孩和滑板均处于静止状态,忽略滑板与地面间的摩擦。
小孩沿水平方向跃离滑板,离开滑板时的速度大小为v,此时滑板的速度大小为（ ）
A.
v B.
v C.
v D.
v
答案 B
2.[2015福建理综,30
（2）,6分]如图,两滑块A、B在光滑水平面上沿同一直线相向运动,滑块A的质量为m,速度大小为2v0,方向向右,滑块B的质量为2m,速度大小为v0,方向向左,两滑块发生弹性碰撞后的运动状态是（ ）
A.A和B都向左运动
B.A和B都向右运动
C.A静止,B向右运动
D.A向左运动,B向右运动
答案 D
3.[2018江苏单科,12C（3）]如图所示,悬挂于竖直弹簧下端的小球质量为m,运动速度的大小为v,方向向下。
经过时间t,小球的速度大小为v,方向变为向上。
忽略空气阻力,重力加速度为g,求该运动过程中,小球所受弹簧弹力冲量的大小。
答案 2mv+mgt
4.（2018课标Ⅱ,24,12分）汽车A在水平冰雪路面上行驶。
驾驶员发现其正前方停有汽车B,立即采取制动措施,但仍然撞上了汽车B。
两车碰撞时和两车都完全停止后的位置如图所示,碰撞后B车向前滑动了4.5m,A车向前滑动了2.0m。
已知A和B的质量分别为2.0×103kg和1.5×103kg,两车与该冰雪路面间的动摩擦因数均为0.10,两车碰撞时间极短,在碰撞后车轮均没有滚动,重力加速度大小g=10m/s2。
求
（1）碰撞后的瞬间B车速度的大小;
（2）碰撞前的瞬间A车速度的大小。
答案
（1）3.0m/s
（2）4.25m/s
5.（2017天津理综,10,16分）如图所示,物块A和B通过一根轻质不可伸长的细绳相连,跨放在质量不计的光滑定滑轮两侧,质量分别为mA=2kg、mB=1kg。
初始时A静止于水平地面上,B悬于空中。
现将B竖直向上再举高h=1.8m（未触及滑轮）,然后由静止释放。
一段时间后细绳绷直,A、B以大小相等的速度一起运动,之后B恰好可以和地面接触。
取g=10m/s2,空气阻力不计。
求:
（1）B从释放到细绳刚绷直时的运动时间t;
（2）A的最大速度v的大小;
（3）初始时B离地面的高度H。
答案
（1）0.6s
（2）2m/s （3）0.6m
6.（2015广东理综,36,18分）如图所示,一条带有圆轨道的长轨道水平固定,圆轨道竖直,底端分别与两侧的直轨道相切,半径R=0.5m。
物块A以v0=6m/s的速度滑入圆轨道,滑过最高点Q,再沿圆轨道滑出后,与直轨上P处静止的物块B碰撞,碰后粘在一起运动。
P点左侧轨道光滑,右侧轨道呈粗糙段、光滑段交替排列,每段长度都为L=0.1m。
物块与各粗糙段间的动摩擦因数都为μ=0.1,A、B的质量均为m=1kg（重力加速度g取10m/s2;A、B视为质点,碰撞时间极短）。
（1）求A滑过Q点时的速度大小v和受到的弹力大小F;
（2）若碰后AB最终停止在第k个粗糙段上,求k的数值;
（3）求碰后AB滑至第n个（n答案
（1）4m/s 22N
（2）45
（3）vn=
m/s（n<45）
7.（2019课标Ⅰ,25,20分）竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接,小物块B静止于水平轨道的最左端,如图（a）所示。
t=0时刻,小物块A在倾斜轨道上从静止开始下滑,一段时间后与B发生弹性碰撞（碰撞时间极短）;当A返回到倾斜轨道上的P点（图中未标出）时,速度减为0,此时对其施加一外力,使其在倾斜轨道上保持静止。
物块A运动的v-t图像如图（b）所示,图中的v1和t1均为未知量。
已知A的质量为m,初始时A与B的高度差为H,重力加速度大小为g,不计空气阻力。
图（a）
图（b）
（1）求物块B的质量;
（2）在图（b）所描述的整个运动过程中,求物块A克服摩擦力所做的功;
（3）已知两物块与轨道间的动摩擦因数均相等。
在物块B停止运动后,改变物块与轨道间的动摩擦因数,然后将A从P点释放,一段时间后A刚好能与B再次碰上。
求改变前后动摩擦因数的比值。
答案
（1）3m
（2）
mgH （3）
C组 教师专用题组
1.（2014重庆理综,4,6分）一弹丸在飞行到距离地面5m高时仅有水平速度v=2m/s,爆炸成为甲、乙两块水平飞出,甲、乙的质量比为3∶1。
不计质量损失,取重力加速度g=10m/s2,则下列图中两块弹片飞行的轨迹可能正确的是（ ）
答案 B
2.[2015天津理综,9
（1）]如图所示,在光滑水平面的左侧固定一竖直挡板,A球在水平面上静止放置,B球向左运动与A球发生正
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