数学南通市届高三第一次调研测试数学试题.docx
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数学南通市届高三第一次调研测试数学试题
南通市2015届高三第一次调研测试
数学I
一、填空题
1.已知集合
，则
.
2.已知复数
满足
为虚数单位
，则
的模为.
3.某中学共有学生
人，其中高一年级
人，高二年级
人，高三年级
人，现采用分层抽样
的方法，抽取
人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为.
4.
函数
的定义域为.
5.有图是一个算法流程图，则输出的
的值是.
6.同时抛掷两枚质地均匀的骰子
一种各面上分别标有
个点的正方体玩具
，观察向上的点数，则两个点数之积不小于
的概率为.
7.底面边长为
，高为
的正四棱锥的侧面积为.
8.在平面直角坐标系
中，以直线
为渐近线，且经过抛物
线
焦点的双曲线的方程是
9.在平面直角坐标系
中，记曲线
处的切线为直线
.若直线
在
两坐标轴上的截距之和为
，则
的值为.
10.已知函数
.若
是偶函数，则
.
11.在等差数列
中，已知首项
，公差
.若
，则
的最大值为.
12.已知函数
的图像经过点
，如下图所示，则
的最小值为.
13.如上图，圆
内接∆
中，
是
的中点，
.若
，则
.
14.已知函数
是定义在
上的函数，且
则函数
在区间
上的零点个数为.
二、解答题
15.在∆
中，角
的对边分别为
已知
求角
的大小；
若
，求∆
的面积.
16.如图，在直三棱柱
中，
是棱
上的一点.
求证：
；
若
是
的中点，且
∥平面
.
．如图，在平面直角坐标系
中，
分别是椭圆
的左、右焦点，顶点
的坐标为
，且∆
是边长为
的等边三角形.
求椭圆的方程；
过右焦点
的直线
与椭圆交于
两点，记∆
，∆
的面积分别为
.若
，求直线
的斜率.
18.在长为
m，宽为
m的长方形展厅正中央有一圆盘形展台
圆心为点
，展厅入口位于长方形的长边的中间，在展厅一角
点处安装监控摄像头，使点
与圆
在同一水平面上，且展台与入口都在摄像头水平监控范围内
如图阴影所示
.
若圆盘半径为
m，求监控摄像头最小水平视角的正切值；
过监控摄像头最大水平视角为
，求圆盘半径的最大值.
注：
水平摄像视角指镜头中心点水平观察物体边缘的实现的夹角.
19.若函数
在
处取得极大值或极小值，则称
为函数
的极值点.
已知函数
当
时，求
的极值；
若
在区间
上有且只有一个极值点，求实数
的取值范围.
20.设数列
的前
项和为
.若
，则称
是“紧密数列”.
若数列
的前
项和为
，证明：
是“紧密数列”；
设数列
是公比为
的等比数列.若数列
与
都是“紧密数列”，求.
的取值范围.
数学Ⅱ附加题部分
注意事项
1．本试卷共2页，均为解答题（第21题～第23题，共4题）．本卷满分为40分，考试时间为30分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效．
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-１：
几何证明选讲
（本小题满分10分）如图，已知AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，分别延长AB，CD相交于点M，N为圆O上一点，AN＝AC，证明：
∠MDN＝2∠OCA
B．选修4-2：
矩阵与变换
（本小题满分10分）已知矩阵
的逆矩阵
，求实数m,n
C．选修4-4：
坐标系与参数方程
（本小题满分10分）在平面直角坐标xoy中，已知曲线C的参数方程为
，曲线与直线
相交于A，B两点，求线段AB的长。
D．选修4－5：
不等式选讲
（本小题满分10分）已知a，b，c均为正数，求证：
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为平行四边形，平面ABE⊥平面BCDE，AB＝AE，DB＝DE，∠BAE＝∠BDE＝90º。
（1）求异面直线AB与DE所成角的大小；
（2）求二面角B-AE-C的余弦值。
23、设
是满足下述条件的自然的个数：
各数位上的数字之和为n（
），且每数位上的数字只能是1或2。
（1）求
的值；
（2）求证：
是5的倍数。
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