重庆大学研究生数值分析试题解析.ppt

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一、填空题（每空3分,共30分）考试题解析考试题解析解解由于得特征值:

又A-1=2.设矩阵A=,当a取_值时,A可以唯一分解为GGT,其中G为下三角矩阵.1.设矩阵A=,则（A）=_,Cond（A）1=_.,所以A1=5,A-11=5/7.解解令解只要取（x）=x3-a,或（x）=1-x3/a.5.设（x）=x3+x2-3,则差商3,32,33,34=_.3.向量xx=（x1,x2,x3）T,试问|x1|+|2x2|+|x3|是不是一种向量范数_,而|x1|+|2x2+x3|是不是一种向量范数_.是不是4.求的Newton迭代格式为_.16.设l0（x）,l1（x）,l2（x）,l3（x）是以x0,x1,x2,x3为互异节点的三次插值基函数,则=_.（x-2）37.设S（x）=是以0,1,2为节解解

（1）因为0x1时,（x）0,所以（x）仅在（1,2）内有零点,而当1x0,故（x）单调.因此方程（x）=0有唯一正根,且在区间（1,2）内.点的三次样条函数,则b=_c=_.解解由2=b+c+1,5=6+2b+c,8=12+2b,可得二、（13分）设函数（x）=x2-sinx-1

（1）试证方程（x）=0有唯一正根;

（2）构造一种收敛的迭代格式xk=（xk）,k=0,1,2,计算精度为=10-2的近似根;（3）此迭代法的收敛阶是多少?

说明之.-23

（2）构造迭代格式:

由于|（x）|=|1,故此迭代法收敛.（3）因为0/2,所以（）取初值x0=1.5,计算得x1=1.41333,x2=1.40983,由于|x2-x1|=0.003510-2,故可取根的近似值x2=1.40983.0故,此迭代法线性收敛（收敛阶为1）.三、（14分）设线性方程组

（1）写出Jacobi法和SOR法的迭代格式（分量形式）;

（2）讨论这两种迭代法的收敛性.（3）取初值x（0）=（0,0,0）T,若用Jacobi迭代法计算时,预估误差x*-x（10）（取三位有效数字）.

（2）因为A是严格对角占优矩阵,但不是正定矩阵,故Jacobi法收敛,SOR法当01时收敛.解解

（1）

（1）Jacobi法和SOR法的迭代格式分别为（3）由

（1）可见B=3/4,且取x（0）=（0,0,0）T,经计算可得x

（1）=（1/4,-2/5,1/2）T,于是x

（1）-x（0）=1/2,所以有四、（13分）已知（0）=2,

（1）=3,

（2）=5,

（1）=0.5,解解

（1）由y0=2,y1=3,y2=5,y1=0.5,得H3（x）=20（x）+31（x）+52（x）+0.51（x）令0（x）=c（x-1）2（x-2）,可得0（x）=-0.5（x-1）2（x-2）,于是H3（x）=-（x-1）2（x-2）-3x（x-2）+2.5x（x-1）20.5x（x-1）（x-2）

（1）试建立一个三次插值多项式H3（x）,使满足插值条件:

H3（0）=2,H3

（1）=3,H3

（2）=5,H3

（1）=0.5;

（2）设y=（x）在0,2上四次连续可微,试确定插值余项R（x）=（x）-H3（x）.令2（x）=cx（x-1）2,可得2（x）=0.5x（x-1）2;令1（x）=x（x-2）（ax+b）,可得1（x）=-x（x-2）,令1（x）=cx（x-1）（x-2）,可得1（x）=-x（x-1）（x-2）,=x3-2.5x2+2.5x+2由于,R（0）=R

（1）=R

（2）=R

（1）=0,故可设五、（12分）试确定参数A,B,C及,使数值积分公式4=A+B+C,0=A-C,16/3=A2+C2,0=A3-C3有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少?

它是否是Gauss公式?

解解令公式对（x）=1,x,x2,x3,x4都精确成立,则有R（x）=C（x）x（x-1）2（x-2）构造函数（t）=（t）-H3（t）-C（x）t（t-1）2（t-2）于是,存在x,使（4）（x）=0,即（4）（x）-4!

C（x）=064/5=A4+C4,解得:

A=C=10/9,B=16/9,=（12/5）1/2容易验证公式对（x）=x5仍精确成立，故其代数精度为5，是Gauss公式。

六、（12分）设初值问题

（1）试证单步法解解

（1）由于是二阶方法.

（2）以此法求解y=-10y,y（0）=1时,取步长h=0.25,所得数值解yn是否稳定?

为什么?

于是有而所以有当h=0.25时,有所以此单步方法为二阶方法.

（2）此单步方法用于方程y=-10y,则有所以,所得数值解是不稳定的.七、（6分）设n阶矩阵AA=（aij）nn,试证实数为矩阵AA的一种范数.证明证明对任意n阶方阵A,BA,B和常数,有所以,实数AA是矩阵AA的范数.