系统的稳定性分析.ppt

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第4章章Lyapunov稳定性理论稳定性理论Lyapunov意义下的稳定性Lyapunov第二方法线性系统的稳定性分析离散时间系统稳定性分析Lyapunov稳定性方法在控制系统分析中的应用实际工程中的（闭环）系统必须平稳运行,比如希望系统状态能保持在一个确定的工作点附近.用状态空间的说法是（闭环）系统运行渐进到一个状态渐进到一个状态1892年,俄国数学家Lyapunov在其博士论文运动稳定性的一般问题,给出了稳定性概念的严格数学定义解决稳定性问题的一般方法奠定了现代稳定性理论的基础.Lyapunov提出了两类解决稳定性问题的方法,即Lyapunov第一方法和Lyapunov第二方法.第一方法是通过微分方程的解来分析运动稳定性要求解系统的解而在实际应用中受到很大的限制.但对某些微分方程来说是比较便利的,比如线性定常微分方程.（未来可能比较重要）第二方法构造一个正定的Lyapunov函数一般所说的Lyapunov方法常常就是指Lyapunov第二方法.目前仍是控制理论研究的主要方法本章重点4.1Lyapunov意义下的稳定性稳定到平衡状态问题的简化能量函数Lyapunov意义下的稳定性定义4.1.1平衡状态非线性系统式中x为n维状态向量,f（x,t）是变量x1,x2,xn和t的n维向量函数.如果在上式所描述的系统中,对所有时间t,都有则xe称为系统的平衡状态或平衡点平衡状态或平衡点系统平衡状态的几点说明:

如果系统是线性定常的,即f（x,t）=Ax,则当A为非奇异矩阵时,系统存在一个唯一的平衡状态;当A为奇异矩阵时,系统将存在无穷多个平衡状态.非线性系统则可以有一个或多个平衡状态或者没有平衡状态,这些状态对应于系统的常值解.稳定性问题的一种简化:

任意一个孤立的平衡状态（即彼此孤立的平衡状态）或给定运动都可通过适当的坐标变换,转化为另一个方程的坐标原点.本课程仅讨论扰动方程关于原点这个平衡状态的稳定性问题,这种所谓原点稳定性问题.4.1.2能量函数稳定性相关相关广义系统能量广义系统能量Lyapunov函数函数广义的系统能量函数广义的系统能量函数图4.1RLC串联电路例4.1.1图图4.1所示的电路中所示的电路中,设电感和电容设电感和电容都是线性的都是线性的,并且并且.以电感磁通以电感磁通和和电容电荷电容电荷q为状态变量为状态变量,可写出状态方程可写出状态方程,电路无外界的能量输入,同时电路中没有耗能元件,所以电路总能量W恒定不变.从上述式子的最后一个等号看出系统的轨迹是一个椭圆,见图4.2.图4.2例4.1.1状态方程相图从原点很小的领域出发的轨迹能保持在原点附近,但也不能逐渐趋向于原点,或者说是稳定的.例4.1.2图4.1所示的电路中,设电感和电容都是线性的,并且R0,则状态方程是此电路中电阻是耗能元件,所以电路总能量是不断减少的.为简单起见,设C=2,R=3,L=1,再令初始状态为.利用拉普拉斯反变换求解上述方程,先求预解矩阵从方程的解，可以得出系统能量的衰减图4.3例4.1.2状态方程相图图4.3表明,从原点很小的领域出发的轨迹能保持在原点附近,并能逐渐趋向于原点,或者说是渐近稳定的.例4.2.3图4.1所示的电路中,设电感是线性的,电阻,而电容具有非线性的库伏特性,则状态方程是电路无外界的能量输入,同时电路中没有耗能元件,所以电路总能量W恒定不变,从上述式子的最后一个等号容易求出图4.4例4.1.3状态方程相图图4.4表明,从原点任意小的领域出发的轨迹不能保持在原点附近,或者说是不稳定的.对于一些纯数学系统，毕竟还没有一个定义“能量函数”的简便方法。

为了克服这个困难，Lyapunov定义了一个虚构的能量函数，称为Lyapunov函数。

这个函数无疑比能量更为一般，其应用也更广泛。

4.1.3Lyapunov意义下的稳定性定义系统的平衡状态xe的球域S（r）,r0,是所有满足下式的状态的集合为向量的2范数或两点的距离，即Lyapunov意义下的稳定.定义4.2.1系统的平衡状态xe,如果对应于每一个0,存在一个0（与和t0有关）,使得对tt0,初速状态在S（）内的轨迹不脱离S（）,此平衡状态称为在Lyapunov意义下是稳定的.Lyapunov意义下的渐近稳定定义4.2.2系统的平衡状态xe,如果对应于每一个0,存在一个0（与和t0有关）,使得初始状态在S（）内的轨迹始终在S（）内,并且当t时x（t）xe,此平衡状态称为在Lyapunov意义下是渐近稳定的.定义4.2.3对系统的所有状态，如果由这些状态出发的轨迹都保持渐近稳定性，则平衡状态xe=0称为大范围渐近稳定。

或者说，如果系统的平衡状态渐近稳定的吸引域为整个状态空间，则称系统的平衡状态为大范围渐近稳定的。

大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间中只有一个平衡状态。

Lyapunov意义下的不稳定平衡状态不稳定不能说明轨迹将趋于无穷远处,这是因为轨迹还可能趋于某个极限环.定义4.2.4系统的平衡状态xe,如果存在0,对不管多么小的0,在球域S（）内始终存在状态x0,使得以x0为初始状态的轨迹x（t）,tt0,不能完全在S（）内,此平衡状态称为在Lyapunov意义下是不稳定的.稳定性概念的几点说明:

稳定和渐近稳定的定义均是针对平衡点附近的局部性质.对于线性系统,渐近稳定等价于大范围渐近稳定.4.2Lyapunov稳定性第二方法正定和负定函数Lyapunov稳定性定理Lyapunov稳定性定理的应用标量函数的正定性标量函数的正定性对域（域包含状态空间的原点）上定义的标量函数V（x），如果对所有域中的非零状态x0，有V（x）0，且在x=0处有V（0）=0，则V（x）称为正定函数。

对域（域包含状态空间的原点）上定义的时变函数V（x,t），如果V（x,t）有一个定常的正定函数作为下限，即存在一个正定函数W（x），使得V（x,t）W（x）,对所有tt0，x0V（0,t）=0,对所有tt0则称时变函数V（x,t）是正定的。

标量函数的负定性标量函数的负定性如果V（x）是正定函数，则标量函数V（x）称为负定函数。

正半定函数正半定函数对域（域包含状态空间的原点）上定义的标量函数V（x），如果V（x）0，则V（x）称为正半定函数。

负半定函数负半定函数如果V（x）是正半定函数，则标量函数V（x）称为负半定函数。

标量函数的不定性标量函数的不定性如果在域内，不论域多么小，V（x）既可为正值，也可为负值，则标量函数V（x）称为不定的标量函数。

例Lyapunov第二方法用或者来表示Lyapunov函数，Lyapunov函数关于时间的导数是Lyapunov定理考虑如下非线性系统原点是该系统的平衡状态。

如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数，且满足以下条件：

1、正定；2、沿系统的任意轨线，关于时间t的导数是负定的；则系统在原点处的平衡状态是（一致）渐近稳定的。

满足以上条件1和2的标量函数称为是系统的一个Lyapunov函数。

充分条件充要条件例考虑如下非线性系统显然原点是唯一的平衡状态，试分析其稳定性。

1.考虑标量函数：

显然，V（x）是正定的。

2.沿系统的任意轨线V（x）对时间的导数是负定的。

Lyapunov大范围渐近稳定定理考虑系统原点是系统的平衡状态。

若存在具有连续一阶偏导数的标量函数V（x,t），满足以下条件：

1、V（x,t）是正定的；2、沿系统的任意轨线，V（x,t）,关于时间t的导数V是负半定的；3、在系统的任意轨线上,V不恒等于零；4当|x|时，V（x,t）。

则系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。

例：

混沌系统的镇定例给定连续时间的定常系统试判定其稳定性。

系统的平衡状态为。

取（i）为正定；（ii）显然V是负半定的；（iii）可以看出，只有当（a）：

x1任意，x2=0和（b）：

x1任意，x2=-1时，V（x）=0。

而根据系统的状态方程，在系统的任意轨线上，x2=0，则必然有x1=0；x2=-1时，由状态方程中的第二个方程可得x1=0，进而由第一个方程又得到x2=0，这说明x2=-1不可能在系统轨线上。

因此，除了原点以外，在系统的任意轨线上均有V（x）0。

（iv）当，显然有例：

稳定但不渐近稳定无摩擦单摆系统：

X1是摆角例：

渐近稳定的单摆有摩擦单摆系统：

k正比于线速度x2不能恒为0，系统渐近稳定。

例：

复杂的Lyapunov函数Lyapunov稳定性：

1。

平衡点；2。

通过系统能量来分析稳定性；3。

李雅普诺夫函数。

关键：

选取适当的李雅普诺夫函数，判别其定号性。

一个二次型函数正定的判据：

矩阵P的顺序主子式大于零；矩阵P的特征值大于零。

优点：

1）用于分析；2）用于设计。

定理4.2.1对非线性系统，原点是系统的平衡状态，若存在具有连续一阶偏导数的标量函数1。

是正定的；2。

沿系统的任意轨线，关于时间的导数负定；则系统在原点这个平衡状态处是渐近稳定的。

进而，当，若，则系统是大范围渐近稳定的。

满足条件

（1）和

（2）的函数称为是系统的李雅普诺夫函数。

问题：

定理没有给出李雅普诺夫函数的寻找方法；给出的只是一个充分条件。

例分析以下系统在原点处的稳定性解原点是系统的唯一平衡状态。

选取它是正定的。

沿系统的任意轨线，上式是负定的。

因此是系统的李雅普诺夫函数，且是径向无界的。

几何解释：

由确定的图形V（x）表示状态x到原点的距离，则表示状态x沿系统轨线曲线趋向于原点的速度。

定理条件的降低：

定理条件的负定性可以降低。

定理4.2.2对非线性系统，原点是系统的平衡状态，若存在具有连续一阶偏导数的标量函数1。

是正定的；2。

沿系统任意轨线，关于时间导数半负定3。

在系统任意轨线上，不恒等于零4。

当，则系统在原点这个平衡状态处是大范围渐近稳定的。

好处：

可以简化稳定性分析。

例分析系统的稳定性解系统的平衡状态为，选取是半负定的。

因此，根据定理4.2.2，系统是渐近稳定的。

针对以上例子，对由于故该函数是系统的一个李雅普诺夫函数。

表明：

可以有多个李雅普诺夫函数。

定理4.2.3设原点是系统的平衡状态，若存在标量函数，满足

（1）在原点附近某个邻域内是正定的；

（2）在同样邻域内也是正定的。

则系统在原点处是不稳定的。

例分析系统的稳定性选取正定函数系统是不稳定的。

4.3线性系统的稳定性分析稳定性判别的充分条件；没有给出具体李雅普诺夫函数的构造方法。

那么对特殊的系统，是否有更好的结论呢？

线性时不变系统：

候选的李雅普诺夫函数：

沿系统轨线的时间导数系统渐近稳定的一个充分条件：

即：

系统稳定的一个充分条件是存在一个对称正定矩阵P，使得以上矩阵不等式成立。

定理4.3.1线性时不变系统渐近稳定的的充分必要条件是存在一个对称正定矩阵P，使得特点：

条件是充分必要的；给出了李雅普诺夫函数的具体构造方法。

关键的问题：

如何求解矩阵不等式：

4.3.1李雅普诺夫方程处理方法转化成方程来处理。

对任意选定的对称正定矩阵Q，若有一个对称正定解P，则这样的矩阵P满足矩阵不等式定理4.3.2线性系统渐近稳定的充分必要条件是李雅普诺夫方程存在对称正定解矩阵。

说明：

李雅普诺夫方程的可解性不依赖矩阵Q的选取；李雅普诺夫方程是一个线性方程组；若李雅普诺夫方程可解，则其中矩阵Q的含义是例4.3.1应用李雅普诺夫方法分析系统稳定性。

解原点是系统的惟一平衡点。

解方程系统是二阶的，故验证矩阵P的正定性。

根据矩阵正定性判别的塞尔维斯特方法矩阵P是正定的，故系统是渐近稳定的。

系统的李雅普诺夫函数是例4.3.2确定增益K范围，以使得系统是渐近稳定的。

状态空间实现：

课堂、课后参考练习。

4.4李雅普诺夫稳定性方法在控制系统分析中的应用4.4.1参数优化问题系统模型：

选择参数，使得系统是渐近稳定的，且性能指标最小化。

Q是对称加权矩阵。

性能指标的意义：

阴影部分面积可以体现调节时间、振荡等动态性能指标参数使得系统稳定对任意给定的对称正