第二类曲面积分.ppt

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第二类曲面积分第五节第十章第十章一、第二类曲面积分的概念及性质一、第二类曲面积分的概念及性质二、两类曲面积分之间的联系二、两类曲面积分之间的联系三、第二类曲面积分的计算三、第二类曲面积分的计算一、一、第二类曲面积分的概念及性质第二类曲面积分的概念及性质观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧（假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的）曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧也随之也随之连续改变方向连续改变方向.若当点若当点P不越过不越过的边的边界回到出发的位置时，界回到出发的位置时，双侧曲面双侧曲面:

是是双侧曲面双侧曲面.典型双侧曲面典型双侧曲面单侧曲面单侧曲面.否则，否则，1.曲面的分类曲面的分类莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:

对于双侧曲面，其对于双侧曲面，其侧侧可用曲面可用曲面法向量的指向法向量的指向决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面.来来确定确定.2.曲面的侧与有向曲面曲面的侧与有向曲面yxzOyxzO（后后）（钝钝）3.有向曲面的投影有向曲面的投影在在有向曲面有向曲面上取一小块曲面上取一小块曲面S,的的夹角夹角.类似可以给出有向曲面在其它坐标面上的类似可以给出有向曲面在其它坐标面上的投影投影.注意注意:

投影有正负之分投影有正负之分.4.引例引例流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量设设稳定流动稳定流动的的不可压缩不可压缩流体的速度场为流体的速度场为求单位时间流过有向曲面求单位时间流过有向曲面的流量的流量.（假定密度为假定密度为1）

（1）若若是面积为是面积为S的平面域的平面域,单位法向量：

单位法向量：

流速为流速为常向量常向量则单位时间内流量为则单位时间内流量为注注.稳定流动；稳定流动；=常数：

常数：

不可压缩流体不可压缩流体.S斜柱体的体积：

斜柱体的体积：

（2）若若为为有向曲面有向曲面,流速：

流速：

“分割分割,近似近似,求和求和,取极限取极限”S5.定义定义10.5设设是分片光滑的有向曲面是分片光滑的有向曲面,向量值函数向量值函数在在上有界上有界,的单位法向量的单位法向量,如果积分如果积分存在存在,则称此则称此积分为积分为曲面上沿指定侧的第二类曲面积分曲面上沿指定侧的第二类曲面积分,记为记为注注1第二类曲面积分的其他表达形式第二类曲面积分的其他表达形式则则通常把上式三项分别通常把上式三项分别记作记作因此第二类曲面积分又记为因此第二类曲面积分又记为P（x,y,z）在在上对坐上对坐标标y,z的曲面积分的曲面积分Q（x,y,z）在在上对上对坐标坐标z,x的曲面积的曲面积分分R（x,y,z）在在上对上对坐标坐标x,y的曲面积的曲面积分分有向曲面元有向曲面元于是于是分别在分别在x轴、轴、y轴、轴、z轴上轴上的投影的投影有向曲面元有向曲面元2投影转换关系投影转换关系同理可得同理可得3第二类曲面积分中第二类曲面积分中dxdy,dydz,dzdx的意义的意义47存在性：

存在性：

连续，则连续，则流体的流量为流体的流量为:

566.性质性质侧侧一致一致,则则（3）有向性有向性:

用用表示表示与与取相反侧的取相反侧的有向曲面有向曲面,研究第二类曲面积分研究第二类曲面积分,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧.二、两类曲面积分之间的联系二、两类曲面积分之间的联系由由第二类曲面积分的定义可知，第二类曲面积分的定义可知，即即例例1解解上侧上侧+三、第二类曲面积分的计算三、第二类曲面积分的计算情形情形1上上侧，侧，投影区域为投影区域为上具有一阶上具有一阶在在xOy面上的面上的基本思路基本思路:

计算二重积分计算二重积分转转化化求曲面积分求曲面积分若若:

连续偏导数，连续偏导数，取曲面的取曲面的上上侧侧根据第一类曲面积分的计算方法，有根据第一类曲面积分的计算方法，有若若有向曲面有向曲面取取下下侧时，类似可得侧时，类似可得+上侧上侧为为正正，下侧下侧为为负负.（后后）注注1对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧.（左左）2（下下）-例例2其中其中是球面是球面解解xyzODxy112对对第二类曲面积分如何利用积分区域及被积函数第二类曲面积分如何利用积分区域及被积函数的对称性？

的对称性？

思考思考:

下述解法是否正确下述解法是否正确:

根据对称性根据对称性注注例例3解解（方法方法1）在在yOz坐标面上的投影均为坐标面上的投影均为分为前后两片曲面，分为前后两片曲面，被积函数对变被积函数对变量量x是偶函数是偶函数（方法方法2）投影转换法投影转换法的法向量：

的法向量：

向量点积法向量点积法例例4计算计算解解（方法方法1）246O513同理可得，同理可得，同理可得，同理可得，内容小结内容小结1.有向曲面有向曲面2.第二类曲面积分第二类曲面积分3.两类曲面积分之间的关系两类曲面积分之间的关系4.第二类曲面积分的计算方法第二类曲面积分的计算方法研究第二类曲面积分研究第二类曲面积分,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧.向量点积法向量点积法思考题思考题将将在在xOy面上面上投影投影解解（方法方法1）例例3-4备用题备用题O（方法方法2）O12O