第二十一章代数方程复习.ppt

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代数方程复习一次方程一次方程整式方程整式方程二次方程二次方程有理方程有理方程高次方程高次方程代数方程代数方程分式方程分式方程无理方程无理方程代数方程的分类代数方程的分类整式方程整式方程要点、考点聚焦要点、考点聚焦1.1.一元一次方程一元一次方程

（1）

（1）定义：

只含有一个未知数且所含未知数项的次数是定义：

只含有一个未知数且所含未知数项的次数是11的整式方程，叫做一元一次方程的整式方程，叫做一元一次方程.

（2）

（2）一般形式：

一般形式：

ax+b=0（a0）.ax+b=0（a0）.2.2.一元一次方程的解法的一般步骤是：

一元一次方程的解法的一般步骤是：

（1）

（1）去分母；去分母；

（2）

（2）去括号；去括号；（3）（3）移项；移项；（4）（4）合并同类项；合并同类项；（5）（5）系数化为系数化为1.1.分类讨论3.3.一元二次方程及其解法一元二次方程及其解法

（1）

（1）一般形式：

一般形式：

axax22+bx+c=0（a0）.+bx+c=0（a0）.

（2）

（2）一元二次方程的四种解法：

一元二次方程的四种解法：

直接开平方法：

形如直接开平方法：

形如xx22=k（k0）=k（k0）的形式均可用此法求的形式均可用此法求.配配方方法法：

要要先先化化二二次次项项系系数数为为11，然然后后方方程程两两边边同同加加上上一一次次项项系系数数的的一一半半的的平平方方，配配成成左左边边是是完完全全平平方方，右右边是常数的形式，然后用直接开平方法求解边是常数的形式，然后用直接开平方法求解.公公式式法法：

这这是是解解一一元元二二次次方方程程通通用用的的方方法法，只只要要化化成成axax22+bx+c=0（a0）+bx+c=0（a0），利用求根公式，利用求根公式因式分解法因式分解法.

（2）

（2）用配方法得：

用配方法得：

mm22-6m+9=616+9-6m+9=616+9（m-3）（m-3）22=625m-3=625m-3=2525mm=28,m=28,m22=-22.=-22.解方程：

解方程：

（1）x

（1）x22+4x-1=0+4x-1=0；

（2）m

（2）m22-6m-616=0.-6m-616=0.典型例题解析典型例题解析解：

解：

（1）

（1）用公式法得用公式法得xx11，22=【例例11】若实数若实数xx满足条件：

满足条件：

（x（x+4x-5）+4x-5）22+xx-x-30-x-30=0=0，求，求的值的值.典型例题解析典型例题解析解：

根据题意得解：

根据题意得xx+4x-5+4x-500，且，且xx-x-30=0-x-30=0xx-5-5或或x=1x=1，且，且x=6x=6或或x=-5x=-5xx-5-53.（2008年年甘肃甘肃）方程方程（m+2）xm+3mx+1=0是关于是关于x的一元二次方程，则的一元二次方程，则（）A.m=2B.m=2C.m=-2D.m2B【例例22】（2008（2008年年绍兴绍兴）若一个三角形的三边长均满若一个三角形的三边长均满足足xx22-6x+8=0-6x+8=0，则此三角形周长为，则此三角形周长为.6,10,121.解一元二次方程常见的思维误区是忽略几个关键：

解一元二次方程常见的思维误区是忽略几个关键：

因式分解法因式分解法解方程的关键是先使方程的解方程的关键是先使方程的右边为右边为0；公式法公式法解方程的关键是先把一元二次方程化为一般解方程的关键是先把一元二次方程化为一般形式，正确写出形式，正确写出aa、bb、cc的值；的值；直接开平方法直接开平方法解方程的关键是先把方程化为解方程的关键是先把方程化为（mx-n）（mx-n）22=h=h的形式；的形式；配方法配方法解方程的关键是先把二次项系数化为解方程的关键是先把二次项系数化为1，再把方程的两边都加上一次项系数一半的平方再把方程的两边都加上一次项系数一半的平方.2.一元二次方程解法的顺序：

先特殊，后一般；即先一元二次方程解法的顺序：

先特殊，后一般；即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，否则再用公考虑能否用直接开平方法和因式分解法，否则再用公式法，配方法一般不用式法，配方法一般不用.分式方程分式方程解分式方程的基本思想（转化）解分式方程的基本思想（转化）分式方程分式方程整式方程整式方程.分式方程的解法分式方程的解法2.2.解分式方程的一般步骤解分式方程的一般步骤

（1）

（1）把把方方程程两两边边都都乘乘以以最最简简公公分分母母，化化成成整整式式方程；方程；

（2）

（2）解这个整式方程；解这个整式方程；（3）（3）检检验验：

把把整整式式方方程程的的根根代代入入最最简简公公分分母母，若若使使最最简简公公分分母母值值为为00，则则这这个个根根是是原原方方程程的的增根，必须舍去增根，必须舍去.例例1.解方程解方程此方程两边此方程两边分子中的分子中的X能约去吗？

能约去吗？

解：

通分得解：

通分得说明：

说明：

解方程时若等式两边解方程时若等式两边含有未知数的含有未知数的相同因式相同因式，不能约去，否则将会产生，不能约去，否则将会产生失根失根。

此方程无解此方程无解解：

解：

例例2：

解方程：

解方程点拨点拨：

此方程的特点是：

各分式的分子与分母的次数相同，此方程的特点是：

各分式的分子与分母的次数相同，且相差且相差1，这样一般可将各分式拆成：

这样一般可将各分式拆成：

整式整式+分式分式的形式。

的形式。

解法二：

拆成两项拆成两项通分解分式方程的注意点：

解分式方程的注意点：

（1）去分母时，原方程的整式部分去分母时，原方程的整式部分不要漏乘不要漏乘

（2）约去分母后，分子是多项式约去分母后，分子是多项式时，时，要注意添括号要注意添括号（3）增根舍掉增根舍掉.（4）不能产生失根不能产生失根无理方程无理方程1.无理方程的概念无理方程的概念无理方程：

根号下含有未知数的方程叫无理方程。

例如：

2.解无理方程的基本思想：

解无理方程的基本思想是“转化”，将无理方程转化为有理方程。

即：

无理方程有理方程转化4.检验把解得的无理方程的根代入原方程检验，既把解得的无理方程的根代入原方程检验，既要看每一个根式是否有意义，同时还要看方程的要看每一个根式是否有意义，同时还要看方程的左右两边是否相等，只有同时满足以上两点的根左右两边是否相等，只有同时满足以上两点的根才是原方程的根，否则是增根。

才是原方程的根，否则是增根。

（1）两边平方法）两边平方法

（2）换元法）换元法根号外与根号内含未知数项的系数根号外与根号内含未知数项的系数对应相等或成比例（成倍数）时对应相等或成比例（成倍数）时两个根式互为倒数时两个根式互为倒数时3.解无理方程的基本方法1.解方程解方程两边平方法换元法2.已知点G在坐标轴上，且与点P（4，4）的距离等于8，则点G的坐标是.答案:

3.方程的增根是.答案：

x=-1二元二次方程组二元二次方程组复习目标复习目标：

1.我们学习的方程组有哪几类？

我们学习的方程组有哪几类？

2.什么是方程组的解？

什么是方程组的解？

3.解方程组的数学思想解方程组的数学思想_；消元的；消元的方法有方法有_降次方法降次方法_。

4.二元一次方程组和二元二次方程组的解二元一次方程组和二元二次方程组的解法法消元、降次加减、代入因式分解理解理解掌握掌握举例说明解方程组解方程组解：

由解：

由

（2）得得（x-2y）（x-3y）=0所以，所以，x-2y=0，或，或x-3y=0因此，原方程组可化为两个因此，原方程组可化为两个方程组方程组用代入法解这两个方程组，用代入法解这两个方程组，得原方程组的解为：

得原方程组的解为：

练习练习列方程（组）列方程（组）解应用题解应用题11、利用基本公式、利用基本公式利用基本公式寻找量与量之间的相等关系，利用基本公式寻找量与量之间的相等关系，是解决这类问题的一种基本方法。

因为公式本是解决这类问题的一种基本方法。

因为公式本身就是一个等量关系，在遇到诸如行程问题、身就是一个等量关系，在遇到诸如行程问题、工程问题、增长率问题、商品销售问题、存款工程问题、增长率问题、商品销售问题、存款问题问题、几何问题几何问题等时，应等时，应首先首先考虑利用基本公式考虑利用基本公式解决问题的可能性。

解决问题的可能性。

常见类型的应用题的基本数量关系常见类型的应用题的基本数量关系行程问题行程问题:

1、基本数量关系：

速度、基本数量关系：

速度时间时间路程路程2、相遇问题：

速度和、相遇问题：

速度和时间时间相遇路程相遇路程3、追及问题：

速度差、追及问题：

速度差时间时间追及路程追及路程4、顺逆流问题：

顺速、顺逆流问题：

顺速静速静速水速水速逆速静速逆速静速-水速水速工程问题工程问题:

工作效率工作效率工作时间工作时间工作总量工作总量增长率问题：

增长率问题：

初值初值（1+1+增长率）增长率）增长次数增长次数终值终值握手问题握手问题握手人数握手人数（握手人数握手人数-1）-1）（1/2）=握手次数握手次数例例1:

1:

某商品的标价是某商品的标价是1100元，打八折元，打八折（按标价的按标价的80%）出售，仍可获利出售，仍可获利10%，则此商品的进价是多少元则此商品的进价是多少元?

分析：

根据分析：

根据“利润销售价利润销售价-进货价，进货价，利润率利润率-100%”，假设商品的进价为假设商品的进价为a元，则商品的售价为元，则商品的售价为（a10%）元时，就意味着获利元时，就意味着获利10%。

利润利润进货价进货价例例22：

某超市一月份的营业额为某超市一月份的营业额为200万元，一、万元，一、二、三月份的营业额共二、三月份的营业额共1000万元，如果平均每万元，如果平均每月增长率为月增长率为x，则由题意可列方程为，则由题意可列方程为（）A.200（1+x）2=1000B.200+2002x=1000C.200+2003x=1000D.2001+（1+x）+（1+x）2=1000DD例例3:

小明把压岁钱按定期一年存入银行，当时一小明把压岁钱按定期一年存入银行，当时一年期定期存款的年利率为年期定期存款的年利率为1.98%,利息税的税率为利息税的税率为20%,到期支取时到期支取时,扣除利息税后小明实得本利和为扣除利息税后小明实得本利和为507.92元元,问小明存入银行的压岁钱为多少元问小明存入银行的压岁钱为多少元?

分析分析:

本金、利息、年利率、利息税、税率本金、利息、年利率、利息税、税率、实得本利和，实得本利和，它们之间有如下的相等关系：

它们之间有如下的相等关系：

本金本金利率利率期数期数=税前利息税前利息利息利息税率税率=利息税利息税税前利息税前利息-利息税利息税=税后利息税后利息本金本金+利息利息-利息税利息税=实得本利和实得本利和解：

设小明存入银行的压岁钱为解：

设小明存入银行的压岁钱为x元元.X+1.98%x-1.98%20%x=507.9222、理解关键词、理解关键词数学应用问题中有许多量并不是直接以数据的形式给出，而数学应用问题中有许多量并不是直接以数据的形式给出，而是隐含在题目的语言内，这些能帮助确定各对象所涉及的量是隐含在题目的语言内，这些能帮助确定各对象所涉及的量相互关系的词，就是所说的关键词。

相互关系的词，就是所说的关键词。

这些词都有一个共同的特点，就是全用来表示各量之间的差别这些词都有一个共同的特点，就是全用来表示各量之间的差别的，常用的如：

的，常用的如：

多、少、和、差、倍、分、增、减、早、迟多、少、和、差、倍、分、增、减、早、迟等等，通过对关键等等，通过对关键词的正确理解，就能找出量之间的相互关系，并最终找出其中词的正确理解，就能找出量之间的相互关系，并最终找出其中的相等关系。

的相等关系。

例例44：

在抗击在抗击“非典非典”的过程中，某厂甲、乙的过程中，某厂甲、乙两名工人按上级指示同时做一批等数量的防护两名工人按上级指示同时做一批等数量的防护服，开始时，乙比甲每天少做服，开始时，乙比甲每天少做3件，到甲乙两人件，到甲乙两人都剩下都剩下90件时，乙比甲多做了件时，乙比甲多做了1天，这时甲的天，这时甲的工