数学概念教学.ppt

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3.23.2数学概念的教学数学概念的教学11v一、数学概念概述一、数学概念概述v二、数学概念学习的心理过程二、数学概念学习的心理过程v三、数学概念教学的策略三、数学概念教学的策略v四、数学概念教学案例分析四、数学概念教学案例分析12一、数学概念概述一、数学概念概述1111、数学概念的意义、数学概念的意义、数学概念的意义、数学概念的意义数学概念是反映客观事物在数量关系和空间形式方面数学概念是反映客观事物在数量关系和空间形式方面数学概念是反映客观事物在数量关系和空间形式方面数学概念是反映客观事物在数量关系和空间形式方面的本质属性的思维形式。

因此它反映的是一类具有共同的本质属性的思维形式。

因此它反映的是一类具有共同的本质属性的思维形式。

因此它反映的是一类具有共同的本质属性的思维形式。

因此它反映的是一类具有共同属性的事物的全体。

属性的事物的全体。

属性的事物的全体。

属性的事物的全体。

2222、数学概念的特征、数学概念的特征、数学概念的特征、数学概念的特征

（1）

（1）

（1）

（1）抽象性抽象性抽象性抽象性数学概念排除具体的物质形式，抽象出内在的、本质数学概念排除具体的物质形式，抽象出内在的、本质数学概念排除具体的物质形式，抽象出内在的、本质数学概念排除具体的物质形式，抽象出内在的、本质的属性。

这种抽象可以脱离具体的实物模型，在已有的的属性。

这种抽象可以脱离具体的实物模型，在已有的的属性。

这种抽象可以脱离具体的实物模型，在已有的的属性。

这种抽象可以脱离具体的实物模型，在已有的数学概念基础上进行多级的抽象。

如从函数数学概念基础上进行多级的抽象。

如从函数数学概念基础上进行多级的抽象。

如从函数数学概念基础上进行多级的抽象。

如从函数连续函连续函连续函连续函数数数数可微函数，这是一个函数概念的多级的抽象。

随可微函数，这是一个函数概念的多级的抽象。

随可微函数，这是一个函数概念的多级的抽象。

随可微函数，这是一个函数概念的多级的抽象。

随着概念的多级抽象，所得到的概念的抽象程度会越来越着概念的多级抽象，所得到的概念的抽象程度会越来越着概念的多级抽象，所得到的概念的抽象程度会越来越着概念的多级抽象，所得到的概念的抽象程度会越来越高，充分表现出了数学概念的抽象化特征。

高，充分表现出了数学概念的抽象化特征。

高，充分表现出了数学概念的抽象化特征。

高，充分表现出了数学概念的抽象化特征。

13

（2）

（2）符号化符号化数学概念往往使用特定的数学符号来表示，数学概念往往使用特定的数学符号来表示，数学符号反映了概念的本质属性，这样数学概念数学符号反映了概念的本质属性，这样数学概念的表现形式简明、准确，而且使数学概念可以在的表现形式简明、准确，而且使数学概念可以在符号体系这种纯形式化中得以抽象和发展。

符号体系这种纯形式化中得以抽象和发展。

（3）3）系统性系统性在一个特定的数学体系中，数学概念之问往在一个特定的数学体系中，数学概念之问往往存在着某种逻辑关系。

数学概念的逻辑关系又往存在着某种逻辑关系。

数学概念的逻辑关系又使得数学概念系统化，进而公理化。

使得数学概念系统化，进而公理化。

14（4）（4）简明化简明化v数学概念具有具体与抽象的统一性，一些数学数学概念具有具体与抽象的统一性，一些数学概念借助于数学符号语言，就能够使得一类事概念借助于数学符号语言，就能够使得一类事物的本质特性可以用某些简明的形式展示出来。

物的本质特性可以用某些简明的形式展示出来。

v例如，例如，“水库的容量与水深之间的关系水库的容量与水深之间的关系”和和“物体在匀速直线运动中，路程与时间的关系物体在匀速直线运动中，路程与时间的关系”，这两个不同的问题都可以抽象为函数概念，这两个不同的问题都可以抽象为函数概念，统一用统一用y=y=f（xf（x）表示。

表示。

15二、数学概念学习的心理过程二、数学概念学习的心理过程v数学概念的获得数学概念的获得意味着要求学生掌握一类事物意味着要求学生掌握一类事物在数量关系和空间形式方面的共同本质属性，在数量关系和空间形式方面的共同本质属性，并能在不同的情境中辨别其本质和非本质属并能在不同的情境中辨别其本质和非本质属性，且能列举出该数学概念的例证。

性，且能列举出该数学概念的例证。

v学生学生获得数学概念的三种方式：

获得数学概念的三种方式：

概念的形成、概念的形成、概念的同化、概念的顺应。

概念的同化、概念的顺应。

其中以概念形成其中以概念形成和概念同化两种方式最为常用。

和概念同化两种方式最为常用。

16

（一）数学概念的形成

（一）数学概念的形成11、概念形成概念形成是指是指从大量的具体例子出发，归纳概括出一从大量的具体例子出发，归纳概括出一类事物的共同本质属性的过程。

这是一种发现学习的过程。

类事物的共同本质属性的过程。

这是一种发现学习的过程。

22、概念的形成过程包括以下七个阶段：

、概念的形成过程包括以下七个阶段：

（1

（1）辨别各种刺激模式）辨别各种刺激模式这些刺激模式可以是学生自己在日常生活中的经验或这些刺激模式可以是学生自己在日常生活中的经验或事实，也可以是由教师提供的有代表性的典型事例。

无论事实，也可以是由教师提供的有代表性的典型事例。

无论哪种，都必须通过比较，在知觉水平上进行分析、辨认，哪种，都必须通过比较，在知觉水平上进行分析、辨认，根据事物的外部特征进行概括。

根据事物的外部特征进行概括。

例如，要形成平行线的概念，先让学生辨认实际生活例如，要形成平行线的概念，先让学生辨认实际生活中的一些实例，如铁轨、门框的左右两条边、黑板的上下中的一些实例，如铁轨、门框的左右两条边、黑板的上下两条边等。

两条边等。

17（22）分化出各种刺激模式的属性）分化出各种刺激模式的属性为了找出该类刺激模式的本质属性，就需要对具体刺为了找出该类刺激模式的本质属性，就需要对具体刺激模式的各种属性进行分化。

激模式的各种属性进行分化。

例如铁轨的材质是铁的，它可以看成两条直线，有向例如铁轨的材质是铁的，它可以看成两条直线，有向两边无限延伸的趋势，两边无限时不相交等属性。

门框的两边无限延伸的趋势，两边无限时不相交等属性。

门框的左右两条边、黑板的上下两条边也各有自己的属性。

左右两条边、黑板的上下两条边也各有自己的属性。

（33）类化共同属性）类化共同属性把从具体刺激模式中分化出来的各种属性进行比较，把从具体刺激模式中分化出来的各种属性进行比较，找出共同的属性。

找出共同的属性。

比如从铁轨、门框的左右两条边、黑板的上下两条边比如从铁轨、门框的左右两条边、黑板的上下两条边类化出来的属性有：

可以抽象地看成两条直线；两直线是类化出来的属性有：

可以抽象地看成两条直线；两直线是平行的；两直线之间的距离处处相等；两直线没有交点；平行的；两直线之间的距离处处相等；两直线没有交点；两直线可以向两边无限延伸等。

两直线可以向两边无限延伸等。

18（44）抽象本质属性）抽象本质属性提出共同本质属性的假设。

共同属性并不都是本质属性，提出共同本质属性的假设。

共同属性并不都是本质属性，因此，在找出各个刺激模式的共同本质属性的同时，提出它因此，在找出各个刺激模式的共同本质属性的同时，提出它们的共同本质属性的各种假设。

们的共同本质属性的各种假设。

两条彼此距离处处相等的直线是平行线。

两条彼此距离处处相等的直线是平行线。

没有交点的两条直线是平行线。

没有交点的两条直线是平行线。

同一平面内的两条不相交的直线是平行线。

同一平面内的两条不相交的直线是平行线。

（5）（5）检验假设，确认本质属性检验假设，确认本质属性在特定的情境中检验假设，确认本质属性。

经检验在特定的情境中检验假设，确认本质属性。

经检验不是，不是，不是，不是，是。

是。

在否定某些共同属性不是本质属性时，主要应用的是变式，在否定某些共同属性不是本质属性时，主要应用的是变式，也就是举反例。

也就是举反例。

19（6）（6）概括，形成概念概括，形成概念验证假设后，把本质属性从具体的刺激模式中抽象验证假设后，把本质属性从具体的刺激模式中抽象提炼出来，推广到一切同类事物，概括形成概念，并用提炼出来，推广到一切同类事物，概括形成概念，并用定义表示。

定义表示。

两直线平行的本质属性是两直线平行的本质属性是“同一平面内两直线不相交同一平面内两直线不相交”，这时就可以给平行线下准确的定义：

同一平面内两条，这时就可以给平行线下准确的定义：

同一平面内两条不相交的直线叫平行线。

不相交的直线叫平行线。

（7）（7）用形式化的符号表示新概念用形式化的符号表示新概念直线直线aa与直线与直线bb平行表示为平行表示为abab11033、概念形成的心理过程、概念形成的心理过程111

（二）数学概念的同化

（二）数学概念的同化11、概念同化、概念同化概念同化是美国心理学家奥苏伯尔提出的概念同化是美国心理学家奥苏伯尔提出的概念同化是美国心理学家奥苏伯尔提出的概念同化是美国心理学家奥苏伯尔提出的一种概念学习形式。

一种概念学习形式。

一种概念学习形式。

一种概念学习形式。

是指利用学生认知结构中的原有概念，以是指利用学生认知结构中的原有概念，以定义的方式直接向学生揭示概念的本质属性的定义的方式直接向学生揭示概念的本质属性的过程。

过程。

这是一个接受学习的过程。

这是一个接受学习的过程。

1122222、概念的同化方式学习新概念必须具备三个条件、概念的同化方式学习新概念必须具备三个条件、概念的同化方式学习新概念必须具备三个条件、概念的同化方式学习新概念必须具备三个条件（1111）学习者必须具备）学习者必须具备）学习者必须具备）学习者必须具备“我要学我要学我要学我要学”的动力；的动力；的动力；的动力；（2222）新概念必须有逻辑意义；）新概念必须有逻辑意义；）新概念必须有逻辑意义；）新概念必须有逻辑意义；（3333）学生原有的认知结构中必须具备同化新概念所）学生原有的认知结构中必须具备同化新概念所）学生原有的认知结构中必须具备同化新概念所）学生原有的认知结构中必须具备同化新概念所需要的基础。

需要的基础。

需要的基础。

需要的基础。

这种学习的关键是要把握好新概念与原有概念这种学习的关键是要把握好新概念与原有概念这种学习的关键是要把握好新概念与原有概念这种学习的关键是要把握好新概念与原有概念之间的关系。

要求教师必须了解学生对原有概念掌之间的关系。

要求教师必须了解学生对原有概念掌之间的关系。

要求教师必须了解学生对原有概念掌之间的关系。

要求教师必须了解学生对原有概念掌握的情况。

原有概念越牢固、越清晰，新概念的同握的情况。

原有概念越牢固、越清晰，新概念的同握的情况。

原有概念越牢固、越清晰，新概念的同握的情况。

原有概念越牢固、越清晰，新概念的同化也就越容易。

化也就越容易。

化也就越容易。

化也就越容易。

11333、概念同化的五个阶段、概念同化的五个阶段（11）揭示概念的关键属性，给出定义、名称和符号）揭示概念的关键属性，给出定义、名称和符号。

“一次函数一次函数”的定义：

函数的定义：

函数y=y=kx+bkx+b,其中其中kk、bRbR,k0,k0（22）对概念进行特殊的分类，讨论这个概念所包含的各种）对概念进行特殊的分类，讨论这个概念所包含的各种特例，突出概念的本质特征。

特例，突出概念的本质特征。

可讨论的一次函数特例是：

可讨论的一次函数特例是：

y=y=kxkx，y=xy=x，y=y=xx等。

要等。

要突出函数表达式中，自变量突出函数表达式中，自变量xx的次数为一次这个关键特征。

的次数为一次这个关键特征。

（33）使新概念与已有认知结构中的有关观念建立联系，把）使新概念与已有认知结构中的有关观念建立联系，把新观念纳入到已有概念体系中，同化新概念。

新观念纳入到已有概念体系中，同化新概念。

把一次函数与函数概念、一次多项式概念等作比较，把一次函数与函数概念、一次多项式概念等作比较，认识一次函数与这些相关概念的联系与区别。

认识一次函数与这些相关概念的联系与区别。

114（44）用肯定例证和否定例证让学生辨认，使新概念与）用肯定例证和否定例证让学生辨认，使新概念与已有认知结构中的相关概念分