微分几何曲面的第一基本形式.ppt

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第二节第二节曲面的第一基本形式曲面的第一基本形式1、给出曲面S：

r=r（u,v），曲面曲线（c）：

u=u（t）,v=v（t）,或r=ru（t）,v（t）=r（t），若s表示弧长有所以称为曲面的第一基本形式。

其中称为第一类基本量。

3、用显函数样z=z（x,y）表示的曲面的第一基本形式4、第一基本形式是正定的。

事实上，也可从直接得到。

1、把两个向量和间的交角称为方向（）和（）间的角。

2、设两方向的夹角为，则3、特别

（1）

（2）对于坐标曲线的交角，有故坐标曲线正交的充要条件为F=0。

2、3正交曲线簇和正交轨线设有两曲线如果它们正交，则或即若另给出一簇曲线则另一族与它正交的曲线称为这曲线的正交轨线，它的微分方程是即2、4曲面域的面积如图,用坐标曲线把曲面分成若干小块,每块的面积为其中D为相对应的u,v平面上的区域，从前面的讲解中知道弧长、夹角、曲面域的面积都弧长、夹角、曲面域的面积都与与第一类基本量有关，都可以用第一类基本向量E、F、G来表示，这类量非常重要，要知道曲面的第一曲面的第一基本形式，可以不管曲面的形状就可以计算基本形式，可以不管曲面的形状就可以计算定定义曲面上仅由第一类基本量表示的量称为曲面的内蕴量内蕴量,曲面上仅由第一类基本量有关的性质称为曲面的内蕴性质内蕴性质一个问题是什么样的曲面具有相同的第一基本形曲面具有相同的第一基本形式，显然不同曲面的表示不同就无法比较其第一式，显然不同曲面的表示不同就无法比较其第一基本形式，为了研究这个基本形式，为了研究这个问题必须使不同的曲面曲面有相同的参数表示。

也即下节的有相同的参数表示。

也即下节的等距变换。

等距变换。

2、5等距变换等距变换1）曲面S到S1的变换给定两曲面：

S：

S1：

如果其对应点的参数之间存在一一对应关系：

，其中连续，有连续的偏导数，且这种一一对应关系称为曲面S到S1的变换。

由于这样两个曲面在对应点就有相同的参数。

并且在以后的讨论中我们总假定在对应点有相同的参数。

2）等距变换：

曲面间的一个变换，如果保持曲面上任意对应曲线的长度不变，则这个变换称为等距变换（保长变换）。

定理：

两个曲面之间的一个变换是等距的充要条件是经过适当的参数选择后，他们具有相同的第一基本形式。

推论推论推论推论仅由第一基本形式所确定的曲面的性质仅由第一基本形式所确定的曲面的性质（内蕴性质）在等距变换下是不变的在等距变换下是不变的.注注曲面上曲线的弧长、夹角、曲面域的面积等都是曲面上曲线的弧长、夹角、曲面域的面积等都是等距不变的等距不变的例：

证明平面和圆柱面等距分析只要找到一个参数变换使第一基本形式相同即可第一基本形式相同即可证：

平面和圆柱面的第一基本形式分别为第一基本形式分别为作其雅可比行列式不为零有2.6保角变换定义曲面之间的一个变换，如果使曲面上对应曲线的交角相等，则这个变换称为保角变换（保形变换）与等距变换一样，下面假定曲面在对应点有相同参数。

什么样的两曲面保角呢？

有下定理：

定理：

两个曲面之间变换是保角变换的充要条件是第一基本形式成比例。

充分性：

设两个曲面的第一基本形式为：

由此可知即第一基本量成比例：

所以保角特别：

等距变换是它的特例。

定理：

在局部范围内，任何曲面总可以和平面间建立等角对应。

任何曲面总可适当选取参数，使这种参数称为等温参数，相应的参数曲线网称为等温网。

推论：

任何两个曲面之间总可以建立等角对应。

等距一定等角，但等角不一定等距。