循环群.ppt
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循环群循环群n课时安排课时安排约2课时n教学内容教学内容q11循环群的思想，理想在循环群结构中的主要的结果（i）数量总数，（ii）构造问题，（iii）循环群的生成元；q22循环群的阶与生成元的阶的关系；q33两类循环群的本质区别及各自的同构象；q44循环群中元素之间的联系和性质；一、循环群一、循环群n研究一个对象可粗略地分为两种方法：
一种方法是研究此对象的内部关系，另一种是把此对象放在其它对象的相互联系中去研究。
当我们对一个群“孤立地”去研究时，掌握这个群的一个好的生成元（生成元集）常是非常有帮助的，循环群就是由一个生成元生成的一种特殊的群。
循环群是所有群中最简单的一种群。
它的结构到目前为止是可以完全刻划清楚的。
n本讲中，我们要了解这类群的特点，从本质上领会“循环群已经完全弄清楚了”的含义。
先看下面的例子.例例1整数加群中，每个元素都是的倍数（因为此群是加法运算，所以用“倍数”这个词）。
事实上，是的零倍：
；正数是的的倍：
，负数是的倍:
。
n上述两例都表明了同一个问题：
群中有一个特殊的元素，使群中每个元素都是这个特殊元素的倍数。
（因为是加法群，所以用倍数.如果是乘法群，则应是方幂）。
于是，下面有了循环群的定义（下面通常用乘法群为例）。
n11循环群的概念循环群的概念设是一个（乘法）群,而中有一个元素，使中每个元素都的乘方.即.那么称为循环群循环群.叫做的生成元生成元，习惯上记为记为.也就是说，是由生成元是由生成元生成的。
生成的。
n我们仔细观察下面两对群，它们元素之间存在着对应关系：
定理定理2设是由生成元生成的循环群。
如果，那么.如果，那么。
证明证明
（1）当时，作.由上述的对应关系易知,是双射.而
（2）当时，作,，由上述对应关系也易知,是双射.而且.即.注意注意用代数同构观点，循环群只有两个：
一个是整数加群；一个是模的剩余类加群。
33循环群的生成元循环群的生成元n（11）无限循环群的生成元）无限循环群的生成元当时，自然是的生成元，但除了外,其实也是的生成元。
即无限循环群中只有两个不同的生成元和。
证明证明因为思考思考1除和之外，还有其它生成元吗？
解解没有。
否则，如果也是一个生成元，于是必有.思考思考2求整数加群Z的所有生成元和元素的阶。
解解有且仅有两个元1和-1可以作为整数加群Z的生成元,且在Z中除零元外,每个元的阶都是无限的。
（2）有限循环群的生成元）有限循环群的生成元当时，有是的生成元。
证明证明若是的生成元，则，而，所以；反之，若，而，即有，但由知，不同的恰有n个，所以。
思考思考3当.除了自然是的生成元之外，还有其余生成元吗？
解解为了讨论的方便，现假设.这时，可以验证也是的生成元:
.这说明也能生成，即:
.最后可断言：
上例中的生成元只有和。
那么为什么说，只有和是阶循环群的生成元呢？
因为，同时例中也验证了.这就是说，中也含有个元素.与的一样多.也是生成元，而其他元素的阶都不是，所以它们都不能成为生成元。
n（33）寻找循环群的其他生成元的方法）寻找循环群的其他生成元的方法q上思考题告诫我们，寻找循环群的其他生成元的关键问寻找循环群的其他生成元的关键问题是要确定其阶数题是要确定其阶数。
q于是元素的阶数问题自然很重要了.n（44）循环群的一个性质）循环群的一个性质q循环群一定是交换群。
44循环群中元素的阶的性质循环群中元素的阶的性质对于无限循环群，我们自然清楚其中每个元素的阶都必是无限的（否则，便成为有限循环群了）。
下面主要讨论阶循环群中的元素的阶的问题。
性质性质1设是阶循环群中任一个元，若.那么。
证明证明因为是与的最大公因数。
并且有这里并且知（互质）。
首先,.若设其次，这说明，但.由和知,.即.由性质1知，若时，这时就是的生成元，所以有由性质1知，若时，这时就是的生成元，所以有性质性质2在阶循环群中，是生成元。
证明证明设.“”，若是生成元.但由性质1.“”也是生成元。
n22循环群的结构定理循环群的结构定理定理定理1设是一个群，而是的生成元，那么的阶与的阶一致，即。
证明证明事实上，
（1）当的阶是无限时，这说明任一个整数（除了）都不会有.于是我们有，当时，设，而恰有。
不妨设.那么，这说明与矛盾。
所以只要。
所以只要。
（2）当的阶是有限时，乘方“”就不可能无限“泛滥”，由钟表记算法知，“”就只能限制在一定范围内，我们有，当时，其中：
.首先,若时,。
若而,这与矛盾.由此知道:
是两两不等的.其次,都是中某个元素:
事实上,如果,自然在之中；如果由帯余除法知.于是.在之中。
如果，由帯余除法同理在之中。
例例3设阶循环群，求中的每个元素的阶和的全部生成元。
解解因为，的全部生成元有二个：
和.说明说明定义在自然数集上的函数叫做欧拉函数。
其中表示不超过且与互素的自然数个数。
例如：
性质性质3（生成元个数定理）（生成元个数定理）任一个阶循环群都有个生成元。
证明证明由性质2知，在阶循环群中，是生成元，于是有这样一个存在，就有一个生成元，再由的定义知，阶循环群共有个生成元。
55循环群的元素的性质循环群的元素的性质性质性质1设是循环群，那么
（1）若，则；
（2）若，则；证明证明
（1）“”显然成立；“”如果，不妨设，由，因与矛盾.。
（2）由元素的阶的性质知。
性质性质2设是阶循环群，那么
（1）若为素数，则中每个非单位元都是的生成元。
（2）若为合数，只要，则中必有阶元。
证明证明由元素的阶的性质和性质1直接可得。
性质性质3在模的剩余类中,有
（1）;
（2）是的生成元（）=1。
证明证明
（1）由k=k1和元素的阶的性质可得；
（2）若且（）=1，则。
再由
（1）与（）=1知,所以,.反之,设是的生成元,有所以,，由
（1）知（）=1。
此定理说明此定理说明时时,。
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