二次根式新选.docx

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二次根式新选

16.1　二次根式

第

课时

　使学生理解并掌握二次根式的概念,掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围.

　经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.

　经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.

　【重点】　了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.

　【难点】　会求二次根式中字母的取值范围.

　【教师准备】　教学所需的习题资料.

　【学生准备】　复习平方根和立方根的有关知识.

导入一:

　唐僧师徒在万寿山五庄观做客.猪八戒来到后花园,看见人参果树上结满了人参果,嘴馋得直流口水.正准备伸手摘时,突然一道金光,在同一个枝头上一大一小的两个果子同时掉了下来,噗的一声同时着地.有爱好数学的电视迷算了人参果下落的时间t与h之间的关系式为t=,你觉得他算的正确吗?

　要解决这个问题,我们得从二次根式说起.

　[设计意图]　将数学问题融入到学生喜爱的神话故事中,激发学生学习的兴趣,拉近了数学与学生的距离,为探究本节课奠定了基础.

导入二:

　1.教师出示复习题:

（1）4的平方根是　　　　;0的平方根是　　　　;-16的平方根是　　　　. 

（2）5的平方根是　　　　;5的算术平方根是　　　　. 

　学生口答:

（1）4的平方根是±2;0的平方根是0;-16没有平方根.

（2）5的平方根是±;5的算术平方根是.

　2.教师出示教材第2页“思考”题:

　用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点:

（1）面积为3的正方形的边长为　　　　,面积为S的正方形的边长为　　　　. 

（2）一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130m2,则它的宽为　　　　m. 

　（3）一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t（单位:

s）与开始落下时离地面的高度h（单位:

m）满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t为　　　　. 

　学生思考后回答,教师补充得出答案:

（1）,;

（2）;（3）　.

　[设计意图]　以回顾练习和思考的形式引导学生回忆,巩固所学知识,并引入新课.

　1.二次根式的概念

　思路一

　　[过渡语]　（针对导入二）让我们一起来看下面的问题:

上面得到的式子,,,　分别表示什么意义?

它们有什么共同特征?

　教师引导学生说出各式的意义,概括它们的共同特征:

都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根.

　讨论:

你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗?

　学生小组讨论,全班交流.教师由此给出二次根式的定义:

　一般地,我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式,“”称为二次根号.

　追问:

在二次根式的概念中,为什么要强调“a≥0”?

　教师引导学生举出例子说明,经过讨论知道二次根式被开方数必须是非负数.

　[设计意图]　让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系,体会研究二次根式的必要性,再让学生体会由特殊到一般的过程,培养学生的概括能力,最后通过讨论二次根式中被开方数a≥0,进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解.

　思路二

　像,,,　这样的式子有什么共同特点呢?

　学生观察,交流发现:

一是从形式上看,都含有二次根号;二是被开方数的取值范围有限制:

被开方数必须是非负数.

　教师进一步明确:

形如（a≥0）的式子叫做二次根式.

　引导学生说一说对二次根式的认识:

（1）表示a的算术平方根;

（2）a可以是数,也可以是代数式;（3）从形式上看,含有二次根号;（4）a≥0,≥0.

　[设计意图]　加深对二次根式的理解,进一步明确二次根式的非负性.

　2.例题讲解

　　[过渡语]　二次根式的定义怎样理解?

让我们一起来学习几个例题.

　下列各式中,哪些是二次根式?

并指出二次根式中的被开方数.

,,（x≥3）,（y>-1）,,,　（xy>0）.

　引导学生观察根指数和被开方数分析发现:

显然不是二次根式（因为它的根指数是4,含有四次根号）,其余式子都含有二次根号,关键看根号下的被开方数是否为非负数.若根号下是负数,则二次根式没有意义.

　解:

（x≥3）,,　（xy>0）是二次根式.其中被开方数依次是7,x-3,（x+1）2,.

　[解题策略]　①当被开方数形式是含有字母的代数式时,可以把这个代数式看成一个整体.如的被开方数是x2+2015.②当被开方数形式比较复杂时,可以将这个被开方数适当化简.如,因为（-3）2-7=9-7=2,所以它的被开方数其实就是2.

　【变式训练】　下列各式中,一定是二次根式的是　　（　　）

　A.　　　　B.

　C.　　D.（其中a<0）

　〔解析〕　的被开方数-9<0,的被开方数m-1可能是负数,的根指数是3,所以选项A,B,C中的式子都不是二次根式.含有二次根号,并且无论a取什么负数,被开方数a2+8都是正数,所以一定是二次根式.故选D.

　（教材例1）当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?

　引导学生从概念出发进行思考:

二次根式的被开方数为非负数,则x-2≥0.

　解:

由x-2≥0,得x≥2.

　当x≥2时,在实数范围内有意义.

　【变式训练】　若式子1+有意义,则x的取值范围是　　　　. 

　〔解析〕　根据二次根式的性质可知:

x+1≥0,即x≥-1;又因为分式的分母不能为0,所以x的取值范围是x≥-1且x≠0.故填x≥-1且x≠0.

　[易错分析]　容易产生只考虑到x+1≥0,而忽略了x≠0的错误.

　[设计意图]　通过变式训练,加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解,提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识.

　[知识拓展]　

（1）二次根式的定义是从代数式的结果和形式上界定的,必须含有二次根号“”,如,都是二次根式,而就不是二次根式了.

（2）在二次根式中,被开方数可以是具体的数,也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等代数式.（3）形如b（a≥0）的式子也是二次根式,其表示的是b与的乘积,如3表示3×,-表示-×,但是不能写成3的形式.（4）当a≥0时,表示a的算术平方根.也就是说,有意义的条件是a≥0.（5）当a是非负数时,（其中a≥0）本身也是一个非负数.

　师生共同回顾本节课所学主要内容:

知识要点

关键点

注意事项

二次根式的概念

形如≥0（a≥0）的式子叫做二次根式,其中被开方数是a

被开方数也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等

二次根式有意义的条件

被开方数必须是非负数

求解二次根式中字母的取值范围,要注意根号下的式子整体不小于零

　1.已知下列各式:

（a≥2）,,　,其中二次根式的个数是　　（　　）

　A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个

　解析:

的被开方数不是非负数,所以不是二次根式,其余3个都是二次根式.故选C.

　2.（2014·南通中考）若在实数范围内有意义,则x的取值范围是　　（　　）

　A.x≥　　B.x≥-

　C.x>　　D.x≠

　解析:

是二次根式,因此2x-1≥0,在分母上,因此≠0.则解得x>.故选C.

　3.当x=　　　　时,二次根式有最小值,其最小值是　　　　. 

　解析:

∵二次根式有意义,∴x+3≥0,即x+3的最小值是0,∴x+3=0,解得x=-3.

　答案:

-3　0

　4.求下列各式中字母a的取值范围:

（1）;

（2）　;（3）;（4）.　

　解:

（1）由a+1≥0,得a≥-1.∴字母a的取值范围是大于或等于-1的实数.　

（2）由>0,得1-2a>0,即a<.∴字母a的取值范围是小于的实数.　（3）因为无论a取何值,都有（a-3）2≥0,所以字母a的取值范围是全体实数.　（4）因为无论a取何值,都有|a|+1>0,所以字母a的取值范围是全体实数.

　第1课时

　1.二次根式的概念

　2.例题讲解

　例1　例2

教材作业

【必做题】

　教材第3页练习第1,2题;教材第5页习题16.1第1题.

【选做题】

　教材第5页习题16.1第7题.

　我们经常说过程比结果更重要.我对整节课的设计力求符合学生的认知特点,想方设法创设生动活泼的教学情境,使学生始终处在好奇、好学的高亢的学习情绪当中,同时,整节课努力做到先有框架,中有深化,后有突破.学生学有情趣,学有所获,并由衷感到:

学习是快乐的事,学会了更是幸福的事.

　在教学中,我适当增加了有拓展性的练习,层层递进,想使不同的学生得到不同程度的发展和提高,但受到教材中练习题的局限,就当a是非负数时,本身也是一个非负数的练习没有落实到位.

第

课时

　1.理解（）2=a（a≥0）和=a（a≥0）,并利用它们进行计算和化简.

　2.用具体数据结合算术平方根的意义推出（）2=a（a≥0）和探究=a（a≥0）,会用这个结论解决具体问题.

　3.了解代数式的概念.

　在明确（）2=a（a≥0）和=a（a≥0）的算理的过程中,感受数学的实用性.

　通过运用二次根式的性质化简的相关计算,解决一些实际问题,培养学生解决问题的能力.

　【重点】　掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.

　【难点】　能运用二次根式的性质化简.

　【教师准备】　教学所需的习题资料.

　【学生准备】　自学教材第3~4页的内容.

导入一:

　教师出示问题:

　先化简再求值:

当a=9时,求a+值,甲、乙两人的解答如下:

　甲的解答为:

原式=a+=a+（1-a）=a+1-a=1;乙的解答为:

原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17.两种解答中,谁的解答是错误的呢?

　本节课,我们一起来学习二次根式的性质,然后就可以解决上面的问题了.

　[设计意图]　以问题设疑,发挥问题导向作用,激发学生的求知欲,为本节课学习打下基础.

导入二:

　1.什么叫二次根式?

　2.当a≥0时,叫什么?

当a<0时,有意义吗?

　学生口答,老师点评.

　通过前面的学习,我们知道了二次根式具有双重非负性.今天我们主要学习一些二次根式的其他性质.

　[设计意图]　复习旧知导入新知,让本节课自然过渡,为本节课学习奠定了基础.

　思路一

　1.二次根式的性质1:

（）2=a（a≥0）

　　[过渡语]　我们先来探究性质1:

（）2=a（a≥0）.

　提问:

你能解释下列式子的含义吗?

　（）2,（）2,,（）2.

　学生口述,教师根据情况评价.

　（）2表示4的算术平方根的平方;（）2表示2的算术平方根的平方;表示的算术平方根的平方;（）2表示0的算术平方根的平方.

　追问:

根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.

　（）2=　　　　;（）2=　　　　;=　　　　;（）2=　　　　. 

　学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据.

　教师引导学生说出每一个式子的含义.

是4的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于4的非负数,因此有（）2=4.是2的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于2的非负数,因此有（）2=2.　是的算术平方根,根据算术平方根的意义,　是一个平方等于的非负数,因此有=.表示0的算术平方根,因此有（）2=0.

　讨论:

从以上的结论中你能发现什么规律?

你能用一个式子表示这个规律吗?

　引导学生归纳得出二次根式的性质:

一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数,即（）2=a（a≥0）.

　（教材例2）计算:

（1）（）2;

（2）

（2）2.

　学生独立完成,两名学生板演,再集体订正.

　〔解析〕　

（1）直接运用（）2=a（a≥0）化简即可.

（2）运用幂的性质（ab）2=a2b2.

　解:

（1）（）2=1.5.

（2）

（2）2=22×（）2=4×5=20.

　[解题策略]　把底数看成根号外因数与二次根式的积,按照积的乘方计算即可.

　【变式训练】　计算:

（-2）2.

　〔解析〕　把原式的底数看成是-2与的积,先利用（mn）2=m2n2,再根据（）2=a（a≥0）化简.

　解:

（-2）2=（-2）2（）2=4×3=12.

　[知识拓展]　形如（x）2的关于二次根式的运算可结合（ab）2=a2b2得到（x）2=x2a.

　[设计意图]　让学生经历从特殊到一般的过程,概括出二次根式的性质1,培养学生抽象概括的能力,并通过例题和变式训练及时巩固二次根式的性质1,学会灵活运用.

　2.二次根式的性质2:

=a（a≥0）

　　[过渡语]　我们再来探究一下性质2:

=a（a≥0）.

　提问:

你能解释下列式子的含义吗?

,　,.

　教师引导学生说出每一个式子的含义.

表示2的平方的算术平方根;表示0.1的平方的算术平方根;　表示的平方的算术平方根;表示0的平方的算术平方根.

　追问:

根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.

=　　　　;=　　　　;　=　　　　;=　　　　. 

　学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据.

　∵4=22,∴=2,因此=2;∵0.01=0.12,∴=0.1,因此=0.1;∵=,∴　=,因此　=;∵0=02,∴=0,因此=0.

　讨论:

从以上的结论中你能发现什么规律?

你能用一个式子表示这个规律吗?

　引导学生归纳得出:

一个非负数的平方的算术平方根等于这个数.即=a（a≥0）.

　（教材例3）化简:

（1）;　　　　　

（2）.

　引导学生根据=a（a≥0）进行分析:

（1）因为16=42,所以=,再计算即可得出结果.

（2）因为（-5）2=52,所以=.

　学生独立完成,集体订正.

　解:

（1）==4.

（2）==5.

　[知识拓展]　

（1）中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义.

（2）化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即=a（a≥0）;若a是负数,则等于a的相反数-a,即=-a（a<0）.

　小组讨论:

（）2和有什么关系?

　学生自由讨论,教师根据情况引导学生从式子的意义和结果两个方面去分析,得出:

　（）2表示a的算术平方根的平方,（）2=a（a≥0）;表示a的平方的算术平方根,=|a|=

　[设计意图]　让学生经历从特殊到一般的过程,概括出二次根式的性质2,培养学生抽象概括的能力,并通过例题练习及时巩固二次根式的性质2.

　思路二

　请同学们阅读和自学课本第3~4页的内容,并思考下面的问题:

　1.

（1）填空:

（）2=　　　　;（）2=　　　　;=　　　　;（）2=　　　　;=　　　　;（）2=　　　　. 

（2）猜想当a≥0时,（）2=　　　　. 

　2.

（1）观察下列各式的特点,找出各式的共同规律,并用表达式表示你发现的规律.

==　　　　;==　　　　;==　　　　;==　　　　;…. 

　通过观察,你得到的结论是什么?

试着说一说.

（2）发现:

当a≥0时,=　　　　,当a<0时,=　　　　. 

　学生用充足的时间学习后,交流学习情况,教师分析并讲解.

　1.

（1）根据算术平方根与乘方运算的关系,得=2,所以（）2=22=4;=4,所以（）2=42=16;　=,所以==.根据以上规律,可以得出（）2=2;=;（）2=0.

（2）从第

（1）问可以发现,一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数,即（）2=a（a≥0）.

　2.先计算==2;==2;==3;==3;….可以看出:

一个正数的平方的算术平方根等于这个数,一个负数的平方的算术平方根等于这个数的相反数.于是当a≥0时,=a,当a<0时,=-a.

　归纳并板书:

　二次根式的性质:

1.（）2=a（a≥0）;2.=a（a≥0）.

　提问:

（）2和有什么关系?

　学生自由讨论,教师根据情况引导学生从式子的意义和结果两个方面去分析,得出:

　（）2表示a的算术平方根的平方,（）2=a（a≥0）;表示a的平方的算术平方根,=|a|=

　[设计意图]　在计算的基础上,引导学生观察、猜想、归纳得出二次根式的两个性质,并从式子的意义和结果进行比较,得出二者之间的关系.

　3.代数式

　提问:

回顾我们学过的式子,如a+b,-ab,,-x3,,（a≥0）,这些式子有哪些共同特征?

　学生概括式子的共同特征,得出代数式的概念.

　这些式子都是用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式.

　学生举出一些例子,并书写,教师针对学生书写出现问题的地方进行指导.

　[设计意图]　学生通过观察式子的共同特征,形成代数式的概念,培养学生的概括能力.

　4.例题讲解

　（补充）计算:

（-5）2,　,-　.

　〔解析〕　利用（）2=a（a≥0）和=a（a≥0）化简,注意被开方数的符号.

　解:

（-5）2=（-5）2×（）2=25×2=50.

=　=.

　-　=-　=-.

　（补充）比较2与3的大小.

　〔解析〕　直接比较这两个二次根式的大小不太容易,由于这两个二次根式平方后得到两个有理数,因此可以通过比较这两个二次根式平方的大小来比较它们的大小.

　解:

∵

（2）2=22×（）2=44,（3）2=32×（）2=45,

　又∵44<45,且2>0,3>0,

　∴2<3.

　师生共同回顾本节课所学主要内容:

知识要点

关键点

注意事项

（）2=a（a≥0）

任何非负数的算术平方根的平方,其结果仍然是它本身

被开方数a是非负数

=|a|=

任何实数的平方的算术平方根是它的绝对值

底数a可以是任何实数

代数式

用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式

①式子中不能出现“=,≠,≥,≤,<,>”;②单个的数字或单个的字母也是代数式

　1.计算的结果是　　（　　）

　A.-3　　　B.3　　　C.-9　　　D.9

　解析:

==3.故选B.

　2.下列各式:

①m2-3;②　（a>0）;③a-1=6;④3x-5>0;⑤;⑥66.其中代数式的个数是　　（　　）

　A.2个　　B.3个　　C.4个　　D.5个

　解析:

③a-1=6是方程,不是代数式;④3x-5>0是一元一次不等式,也不是代数式;其余都是代数式.故选C.

　3.　+　的值是　　　　. 

　解析:

　+　=2+2=4.故填4.

　4.

（1）当x　　　　时,=2-x成立; 

（2）计算=　　　　. 

　解析:

（1）当x-2≤0时,=2-x,所以x≤2;

（2）因为3<π,所以3-π<0,因此=π-3.

　答案:

（1）≤2　

（2）π-3

　5.计算:

（1）;

（2）

（2）2;（3）;（4）（-）2.

　解:

（1）=0.9.　

（2）

（2）2=22×（）2=12.　（3）=（-2）2×=2.

（4）（-）2=（-1）2×（）2=15.

　第2课时

　1.二次根式的性质1:

（）2=a（a≥0）

　例1

　2.二次根式的性质2:

=a（a≥0）

　例2

　3.代数式

　4.例题讲解

　例3　例4

教材作业

【必做题】

　教材第4页练习第1,2题;教材第5页习题16.1第2,3,4,5,6题.

【选做题】

　教材第5页习题16.1第7,8,9,10题.

　本节课通过“观察——归纳——运用”的模式,让学生对知识的形成与掌握变得简单起来,将一个一个知识点落实到位,适当增加了拓展性的练习,层层递进,使不同的学生得到了不同的发展和提高.

　在探究二次根式的性质时,通过“提问——追问——讨论”的形式展开,保证了活动有一定的针对性,但是学生发挥主体作用不够.

16.2　二次根式的乘除

第

课时

　1.理解=·（a≥0,b≥0）,使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的计算和化简.

　2.掌握二次根式的乘法法则,会进行二次根式的乘法运算.

　1.经历“探索——发现——猜想——验证”的过程,使学生进一步了解数学知识之间是互相联系的.

　2.培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.

　鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲,体验数学活动中的探索和创新,感受数学的严谨性.

　【重点】　会利用积的算术平方根的性质化简二次根式,会进行二次根式的乘法运算.

　【难点】　二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用.

　【教师准备】　教学中出示的教学插图和例题.

　【学生准备】　复习二次根式的定义和代数式的定义.

导入一:

　古希腊的几何家海伦的邻居家有一块三角形的菜地,测得三边的长分别为7m,5m,8m,海伦很快就算出了这块菜地的面积,邻居想了很久也算不出来,你知道海伦是如何将这块地的面积计算出来的吗?

　原来海伦先算出三角形的周长的一半为10m,再根据计算三角形的面积公式得=（m2）,可是后面这个式子该如何化简呢?

这节课我们一起来进行探讨.

　[设计意图]　创设情境导入新课,激发学生学习的兴趣,为本节课学习打下基础.

导入二:

　我们知道长方形的面积等于长乘宽,一个一组邻边长为2和3的长方形,你能算出它的面积吗?

其实这个长方形的面积是2×3,你能算出这个结果,求出长方形的面积吗?

　[设计意图]　联系生活实际导入新课,让学生感受到数学来源于生活,唤起学生探究新知的欲望.

　1.二次根式的乘法

　思路一

　计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?

（1）×=　　　　,=　　　　; 

（2）×=　　　　,=　　　　;　 

　（3）×=　　　　,=　　　　. 

　参考上面的结果,用“>,<或=”填空.

×　　　 ,×　　　 ,×　　　 .

　老师纠正学生练习中的错误后,引导学生观察运算结果,发现和总结式子有什么规律,指出几名学生回答,其余学生补充.

　老师点评:

（1）被开方数都是正数;

（2）两个二次根式的乘法等于一个二次根式,并且把这两个二次根式中的数相乘,作为等号另一边二次根式中的被开方数.

　提问:

二次根式的乘法法则是什么?

字母表达式是怎样的?

　学生总结二次根式的法则:

·=（a≥0,b≥0）,即二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.

　[设计意图]　培养学生细心观察问题,并合作完成问题的习惯.

　[知识拓展]　

（1）·=成立的条件是a≥0且b≥0,千万不能忽略.

（2）此法则可以推广到多个二次根式的乘法运算中,如··=（a≥0,b≥0,c≥0）.在·=（a≥0,b≥0）中,a,b既可以是具体的数,也可以是含有字母的代数式.（3）当二次根式前面有系数时,可以类比单项式乘单项式的法则进行运算,即系数之积作为系数,被开方数之积作为被开方数,如m·n=mn（a≥0,b≥0）.

　思路二

　出示教材第6页“探究”.

　计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?

（1）×=　　　　,=　　　　; 

（2）×=　　　　,　　　　;　 

　（3）×=　　　　,=　　　　.　 

　学生自己计算,并力争独立发现规律:

×=,×=,×=.

　教师演算:

　×=×5=,　=　=,则　×=　.

　由上面的特殊例子引导学生总结:

·=（a≥0,b≥0）,即二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.

　　[过渡语]　你会应用二次根式的乘法法则吗?

　尝试练习（教材例1）:

　计算:

（1）×;

（2）　×.

　学生独立做完后,同桌内确定答案,并记录下自己的错误之处,以便后面交流.

　[设计意图]　由特殊到一般,由特殊例子推导得出二次根式乘法的法则,通过尝试练习使学生先学会初步掌握如何进行二次根式的乘法.

　2