反比例函数面积问题(公开课).ppt

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反比例函数的应用反比例函数的应用与面积有关的问题与面积有关的问题P（m,n）如图如图,点点P（m，n）是反比例函数）是反比例函数图图象上的一点象上的一点,过点过点P分别向分别向x轴、轴、y轴作垂线轴作垂线,垂垂足分别是点足分别是点A、B，则，则S矩形矩形OAPB=_.xxyyOOAABB过双曲线上任意一点作过双曲线上任意一点作x轴、轴、y轴的垂线，所得矩形的面轴的垂线，所得矩形的面积积S为定值，即为定值，即S=|k|.探究探究1结论结论1：

|k|xyO图中的这些矩形面积相图中的这些矩形面积相等，都等于等，都等于|k|结论：

结论：

图中的这些矩形面积相等吗？

图中的这些矩形面积相等吗？

思考思考图中面积相等的图形有哪些？

练习练习1.如图如图,点点P是反比例函数是反比例函数图象上的图象上的一点一点,过点过点P分别向分别向x轴、轴、y轴作垂线轴作垂线,则阴影部则阴影部分面积为分面积为_.xxyyOOMMNNPP练习练习y=-3x3反比例函数与矩形的面积变式变式1：

如图如图,点点A、B是双曲线是双曲线上的点，过上的点，过点点A、B两点分别向两点分别向x轴、轴、y轴作垂线，若轴作垂线，若S阴影阴影=1，则，则S1+S2=__._.xxyyAABBOO422反比例函数与矩形的面积O变式变式2：

如图，如图，A在双曲线在双曲线上，点上，点B在双曲线在双曲线上，且上，且ABx轴，轴，C、D在在x轴上，若四边形轴上，若四边形ABCD的面积为矩形，则它的面积为的面积为矩形，则它的面积为.EE2反比例函数与矩形的面积C反比例函数与矩形的面积P（m,n）如图如图,点点P（m,n）是反比例函数是反比例函数图象上图象上的一点的一点,过点过点P向向x轴作垂线轴作垂线,垂足是点垂足是点A，则，则SPAO=_.xyOA探究探究2BB如果是向如果是向y轴作垂线轴作垂线,垂足是点垂足是点B，则则SPBO的面积是的面积是_.xyOB思考思考1结论结论2：

过双曲线上任意一点作过双曲线上任意一点作x轴轴（或或y轴）的垂线，所得直角轴）的垂线，所得直角三角形的面积三角形的面积S为定值，即为定值，即S=.|k|12P（m,n）AxyO图中的这些三角形面积图中的这些三角形面积相等，都等于相等，都等于结论：

结论：

图中的这些三角形面积相等吗？

图中的这些三角形面积相等吗？

|k|12思考思考2图中面积相等的图形有哪些？

练习练习2.如图如图,点点P是反比例函数是反比例函数图象上图象上的一点的一点,PDx轴于轴于D.则则POD的面积为的面积为_.PDoyx1反比例函数与三角形的面积练习练习变式变式变式变式1111：

如图，过反比例函数如图，过反比例函数如图，过反比例函数如图，过反比例函数图象上任意两图象上任意两图象上任意两图象上任意两点点点点AA、BB分别作分别作分别作分别作xxxx轴的垂线，垂足分别为轴的垂线，垂足分别为轴的垂线，垂足分别为轴的垂线，垂足分别为CC、DD，连结，连结，连结，连结OAOA、OBOB，设，设，设，设ACAC与与与与OBOB的交点为的交点为的交点为的交点为EE，若，若，若，若CCOEOE面积为面积为面积为面积为11，则，则，则，则梯形梯形梯形梯形ECDBECDB的面积与的面积与的面积与的面积与AAOEOE的面积和的面积和的面积和的面积和为为为为8反比例函数与三角形的面积PDOyx练习练习3：

如图：

如图,点点P是反比例函数图象上的一点是反比例函数图象上的一点,且且PDx轴于轴于D.如果如果POD面积为面积为3，则这个，则这个反比例函数的解析式为反比例函数的解析式为_.y=6x反比例函数与三角形的面积变式变式1：

点点P是反比例函数图象上的一点是反比例函数图象上的一点,且且PDx轴于轴于D.如果如果POD面积为面积为3，则这个反，则这个反比例函数的解析式为比例函数的解析式为_.y=6x或或y=-6x反比例函数与三角形的面积分类讨论分类讨论分类讨论分类讨论变式变式2：

如图，如图，A是反比例函数图象上一点，过是反比例函数图象上一点，过点点A作作ABy轴于点轴于点B,点点P在在x轴上，轴上，ABP的的面积为面积为3，则这个反比例函数的解析式为则这个反比例函数的解析式为.y=6xOOAAxxyBBPP同底等高的两个三角形同底等高的两个三角形的面积相等的面积相等.反比例函数与三角形的面积变式变式3：

如图，已知点如图，已知点A在反比例函数的图象上，在反比例函数的图象上，ABx轴于点轴于点B，点，点C为为y轴上的一点，若轴上的一点，若ABC的面积是的面积是3，则反比例函数的解析式为，则反比例函数的解析式为_OAAxxyBBCCy=6x反比例函数与三角形的面积反比例函数与三角形的面积变式变式变式变式44：

32面积不变性面积不变性注意：

注意：

（1）面积与面积与P的位置无关的位置无关

（2）在没图的前提下，）在没图的前提下，须分类讨论须分类讨论QQPP00xxyyPP00xxyyAABB课中总结课中总结即即AA、OO、BB三点在一条直三点在一条直线上且上且OAOAOBOB点点AA与点与点BB的横、的横、纵坐坐标互互为相反数。

相反数。

探究探究3BOCBOC的面的面积ODBODB的面的面积AOCAOC的面的面积。

引申出：

ACBACB的面的面积BDCBDC的面的面积。

|k|任意正比例函数与反比例函数任意正比例函数与反比例函数图象的两个交点象的两个交点AA、BB一定关于原点（中心）一定关于原点（中心）对称称P（m,n）AoyxP/反比例函数与正比例函数围成的图形面积变式：

变式：

任意正比例函数与反比例函数任意正比例函数与反比例函数y图像相交，图像相交，请分别说出以下图形的面积请分别说出以下图形的面积S=2K5（2010牡丹江）如图，反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，过点A作ACx轴于点C若ABC的面积是4，则这个反比例函数的解析式为（）ABCD考点：

反比例函数系数k的几何意义。

分析：

首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，故BOC的面积等于AOC的面积，都等于2，然后由反比例函数y=的比例系数k的几何意义，可知AOC的面积等于|k|，从而求出k的值，即得到这个反比例函数的解析式解答：

解：

反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，A、B两点关于原点对称，OA=OB，BOC的面积=AOC的面积=42=2，又A是反比例函数y=图象上的点，且ACx轴于点C，AOC的面积=|k|，|k|=2，k0，k=4故这个反比例函数的解析式为A.S=1B.1S2D.S=2yyxxOOAABBDDCCD当堂检测当堂检测6.如图，在反比例函数的图象如图，在反比例函数的图象上，有点上，有点P1,P2,P3,P4,它们的横坐标依次为它们的横坐标依次为1,2,3,4，分别过，分别过这些点作这些点作x轴，轴，y轴的轴的垂线，图中所构成的阴垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右影部分的面积从左到右依次为依次为S1，S2，S3，则则S1+S2+S3=_.xyOP1P2P3P41234（x0）当堂检测当堂检测（x0）1.5当堂检测当堂检测7.如图，双曲线如图，双曲线（x0）的图象经过矩形的图象经过矩形OABC对角线的交点对角线的交点D，则矩形，则矩形OABC的面积的面积为为。

8EEFF当堂检测当堂检测8.如图，已知双曲线如图，已知双曲线（x0）经过矩形经过矩形OABC边边AB的中点的中点F，交，交BC于点于点E，且四边形，且四边形OEBF的面积为的面积为2，则，则k_.2变式一：

变式一：

如图，双曲线如图，双曲线经过矩形经过矩形OABC的边的边BC的中点的中点E，交，交AB交于点交于点D，若梯形，若梯形ODBC的面积为的面积为3，则双曲线的解析式为（，则双曲线的解析式为（）ABCDB当堂检测当堂检测变式二：

变式二：

如图，双曲线如图，双曲线经过四边形经过四边形OABC的顶点的顶点A、C，ABC9090，OC平分平分OA与与x轴正半轴的夹角，轴正半轴的夹角，ABx轴，将轴，将ABC沿沿AC翻折后得到翻折后得到ABC，B点落在点落在OA上，则四边上，则四边形形OABC的面积是的面积是.当堂检测当堂检测DDEE2S=KS=2KP0xyPQ0xy反比例函数中的面积问题以形助数以形助数用数解形用数解形一个性质：

反比例函数的面积不变性一个性质：

反比例函数的面积不变性两种思想：

分类讨论和数形结合两种思想：

分类讨论和数形结合