二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题.ppt

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一、f（x）Pm（x）ex型二、f（x）exPl（x）cosxPn（x）sinx型12.9二阶常系数非齐次线性微分方程上页下页铃结束返回首页方程ypyqyf（x）称为二阶常系数非齐次线性微分方程其中p、q是常数二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解yY（x）与非齐次方程本身的一个特解yy*（x）之和yY（x）y*（x）上页下页铃结束返回首页提示Q（x）（2p）Q（x）（2pq）Q（x）exQ（x）+2Q（x）+2Q（x）expQ（x）+Q（x）ex+qQ（x）ex一、f（x）Pm（x）ex型y*Q（x）ex设方程ypyqyPm（x）ex特解形式为下页Q（x）（2p）Q（x）（2pq）Q（x）Pm（x）（）则得Q（x）exQ（x）exqQ（x）exy*py*qy*上页下页铃结束返回首页提示此时2pq0要使（）式成立Q（x）应设为m次多项式Qm（x）b0xmb1xm1bm1xbm

（1）如果不是特征方程r2prq0的根则y*Qm（x）ex下页一、f（x）Pm（x）ex型y*Q（x）ex设方程ypyqyPm（x）ex特解形式为Q（x）（2p）Q（x）（2pq）Q（x）Pm（x）（）则得上页下页铃结束返回首页提示此时2pq0但2p0要使（）式成立Q（x）应设为m1次多项式Q（x）xQm（x）其中Qm（x）b0xmb1xm1bm1xbm

（2）如果是特征方程r2prq0的单根则y*xQm（x）ex下页

（1）如果不是特征方程r2prq0的根则y*Qm（x）ex一、f（x）Pm（x）ex型y*Q（x）ex设方程ypyqyPm（x）ex特解形式为Q（x）（2p）Q（x）（2pq）Q（x）Pm（x）（）则得上页下页铃结束返回首页提示此时2pq02p0要使（）式成立Q（x）应设为m2次多项式Q（x）x2Qm（x）其中Qm（x）b0xmb1xm1bm1xbm（3）如果是特征方程r2prq0的重根则y*x2Qm（x）ex下页

（2）如果是特征方程r2prq0的单根则y*xQm（x）ex

（1）如果不是特征方程r2prq0的根则y*Qm（x）ex一、f（x）Pm（x）ex型y*Q（x）ex设方程ypyqyPm（x）ex特解形式为Q（x）（2p）Q（x）（2pq）Q（x）Pm（x）（）则得上页下页铃结束返回首页v结论二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqyPm（x）ex有形如y*xkQm（x）ex的特解其中Qm（x）是与Pm（x）同次的多项式而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2下页上页下页铃结束返回首页提示因为f（x）Pm（x）ex3x10不是特征方程的根所以非齐次方程的特解应设为y*b0xb1把它代入所给方程得例1求微分方程y2y3y3x1的一个特解解齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30b0xb12b0xb13b0xb13b0x2b03b12b03b0x3b13b0x2b03b13x1提示3b032b03b11特解形式上页下页铃结束返回首页例2求微分方程y5y6yxe2x的通解解齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r60其根为r12r23提示齐次方程y5y6y0的通解为YC1e2xC2e3x因为f（x）Pm（x）exxe2x2是特征方程的单根所以非齐次方程的特解应设为y*x（b0xb1）e2x把它代入所给方程得2b0x2b0b1x提示2b012b0b10特解形式上页下页铃结束返回首页首页例2求微分方程y5y6yxe2x的通解解齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r60其根为r12r232b0x2b0b1x因此所给方程的通解为因为f（x）Pm（x）exxe2x2是特征方程的单根所以非齐次方程的特解应设为y*x（b0xb1）e2x把它代入所给方程得特解形式上页下页铃结束返回首页二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqyexPl（x）cosxPn（x）sinx有形如y*xkexR

（1）m（x）cosxR

（2）m（x）sinx的特解其中R

（1）m（x）、R

（2）m（x）是m次多项式mmaxln而k按i（或i）不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1二、f（x）exPl（x）cosxPn（x）sinx型下页v结论上页下页铃结束返回首页解结束特解形式例3求微分方程yyxcos2x的一个特解因为f（x）exPl（x）cosxPn（x）sinxxcos2xi2i不是特征方程的根所以所给方程的特解应设为齐次方程yy0的特征方程为r210把它代入所给方程得y*（axb）cos2x（cxd）sin2x（3ax3b4c）cos2x（3cx4a3d）sin2xxcos2x