《数学史》从刘徽到祖冲之.ppt

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中国古代数学的发展中国古代数学的发展魏、晋时期出现的玄学，不为汉儒经学束缚，思想比较活魏、晋时期出现的玄学，不为汉儒经学束缚，思想比较活跃；它诘辩求胜，又能运用逻辑思维，分析义理，这些都跃；它诘辩求胜，又能运用逻辑思维，分析义理，这些都有利于数学从理论上加以提高。

吴国有利于数学从理论上加以提高。

吴国赵爽赵爽注注周髀算经周髀算经，汉末魏初汉末魏初徐岳徐岳撰撰九章算术九章算术注，魏末晋初注，魏末晋初刘徽刘徽撰撰九章九章算术算术注、注、九章重差图九章重差图都是出现在这个时期。

赵爽与都是出现在这个时期。

赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础。

刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础。

刘刘徽徽中国古代数学的发展中国古代数学的发展赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一。

他在最早的数学家之一。

他在周髀算经周髀算经书中补充的书中补充的“勾股勾股圆方图及注圆方图及注”和和“日高图及注日高图及注”是十分重要的数学文献。

是十分重要的数学文献。

在在“勾股圆方图及注勾股圆方图及注”中他提出用中他提出用弦图弦图证明勾股定理和解证明勾股定理和解勾股形的五个公式；在勾股形的五个公式；在“日高图及注日高图及注”中，他用中，他用图形面积图形面积证明汉代普遍应用的重差公式，赵爽的工作是带有开创性证明汉代普遍应用的重差公式，赵爽的工作是带有开创性的，在中国古代数学发展中占有重要地位。

的，在中国古代数学发展中占有重要地位。

中国古代数学的发展中国古代数学的发展刘徽约与赵爽同时，他继承和发展了战国时期名家和墨刘徽约与赵爽同时，他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想，主张对一些数学名词特别是重要的数学概念给家的思想，主张对一些数学名词特别是重要的数学概念给以严格的定义，认为对数学知识必须进行以严格的定义，认为对数学知识必须进行“析理析理”，才能，才能使数学著作简明严密，利于读者。

使数学著作简明严密，利于读者。

他的他的九章算术九章算术注不仅是对注不仅是对九章算术九章算术的方法、公式的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且在论述的过程中有很和定理进行一般的解释和推导，而且在论述的过程中有很大的发展。

刘徽创造割圆术，利用极限的思想证明圆的面大的发展。

刘徽创造割圆术，利用极限的思想证明圆的面积公式，并首次用理论的方法算得圆周率为积公式，并首次用理论的方法算得圆周率为157/50和和3927/1250。

中国古代数学的发展中国古代数学的发展刘徽用无穷分割的方法证明了直角方锥与直角四面体的体刘徽用无穷分割的方法证明了直角方锥与直角四面体的体积比恒为积比恒为2:

1，解决了一般立体体积的关键问题。

在证明，解决了一般立体体积的关键问题。

在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时，刘徽为彻底解决球的方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时，刘徽为彻底解决球的体积提出了正确途径。

体积提出了正确途径。

中国古代数学的发展中国古代数学的发展东晋以后，中国长期处于战争和南北分裂的状态。

祖冲之东晋以后，中国长期处于战争和南北分裂的状态。

祖冲之父子父子的工作就是经济文化南移以后，南方数学发展的具有的工作就是经济文化南移以后，南方数学发展的具有代表性的工作，他们在刘徽注代表性的工作，他们在刘徽注九章算术九章算术的基础上，把的基础上，把传统数学大大向前推进了一步。

他们的数学工作主要有：

传统数学大大向前推进了一步。

他们的数学工作主要有：

计算出圆周率在计算出圆周率在3.14159263.1415927之间；提出之间；提出祖暅祖暅原理；提出二次与三次方程的解法等。

原理；提出二次与三次方程的解法等。

中国古代数学的发展中国古代数学的发展据推测，祖冲之在刘徽割圆术的基础上，算出圆内接正据推测，祖冲之在刘徽割圆术的基础上，算出圆内接正6144边形和正边形和正12288边形的面积，从而得到了这个结果。

边形的面积，从而得到了这个结果。

他又用新的方法得到圆周率两个分数值，即约率他又用新的方法得到圆周率两个分数值，即约率22/7和密和密率率355/113。

祖冲之这一工作，使中国在圆周率计算方面，。

祖冲之这一工作，使中国在圆周率计算方面，比西方领先约一千年之久；比西方领先约一千年之久；中国古代数学的发展中国古代数学的发展祖冲之之子祖暅总结了刘徽的有关工作，提出祖冲之之子祖暅总结了刘徽的有关工作，提出“幂势幂势既同则积不容异既同则积不容异”，即等高的两立体，若其任意高处的水，即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等，这就是著名的祖暅平截面积相等，则这两立体体积相等，这就是著名的祖暅公理。

祖暅应用这个公理，解决了刘徽尚未解决的球体积公理。

祖暅应用这个公理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。

公式。

中国古代数学的发展隋炀帝隋炀帝大兴土木，客观上促进了数学的发展。

唐初王孝通大兴土木，客观上促进了数学的发展。

唐初王孝通的的缉古算经缉古算经，主要讨论土木工程中计算土方、工程分，主要讨论土木工程中计算土方、工程分工、验收以及仓库和地窖的计算问题，反映了这个时期数工、验收以及仓库和地窖的计算问题，反映了这个时期数学的情况。

王孝通在不用数学符号的情况下，立出数字三学的情况。

王孝通在不用数学符号的情况下，立出数字三次方程，不仅解决了当时社会的需要，也为后来天元术的次方程，不仅解决了当时社会的需要，也为后来天元术的建立打下基础。

此外，对传统的勾股形解法，王孝通也是建立打下基础。

此外，对传统的勾股形解法，王孝通也是用数字三次方程解决的。

用数字三次方程解决的。

中国古代数学的发展唐初唐初统治者统治者继承隋制，继承隋制，656年在国子监设立年在国子监设立算学算学馆，设有馆，设有算学博士和助教，学生算学博士和助教，学生30人。

由太史令人。

由太史令李淳风李淳风等编纂注等编纂注释释算经十书算经十书，作为算学馆学生用的课本，明算科考试，作为算学馆学生用的课本，明算科考试亦以这些算书为准。

李淳风等编纂的亦以这些算书为准。

李淳风等编纂的算经十书算经十书，对保，对保存数学经典著作、为数学研究提供文献资料方面是很有意存数学经典著作、为数学研究提供文献资料方面是很有意义的。

他们给义的。

他们给周髀算经周髀算经、九章算术九章算术以及以及海岛算海岛算经经所作的注解，对读者是有帮助的。

隋唐时期，由于所作的注解，对读者是有帮助的。

隋唐时期，由于历历法法的需要，天算学家创立了二次函数的内插法，丰富了中的需要，天算学家创立了二次函数的内插法，丰富了中国古代数学的内容。

国古代数学的内容。

中国古代数学的发展算筹算筹是中国古代的主要计算工具，它具有简单、形象、具体等优点，是中国古代的主要计算工具，它具有简单、形象、具体等优点，但也存在布筹占用面积大，运筹速度加快时容易摆弄不正而造成错误但也存在布筹占用面积大，运筹速度加快时容易摆弄不正而造成错误等缺点，因此很早就开始进行改革。

其中太乙算、两仪算、三才算和等缺点，因此很早就开始进行改革。

其中太乙算、两仪算、三才算和珠算都是用珠的槽算盘，在技术上是重要的改革。

珠算都是用珠的槽算盘，在技术上是重要的改革。

尤其是尤其是“珠算珠算”，它继承了筹算五升十进与位值制的优点，又克服了，它继承了筹算五升十进与位值制的优点，又克服了筹算纵横记数与置筹不便的缺点，优越性十分明显。

但由于当时乘除筹算纵横记数与置筹不便的缺点，优越性十分明显。

但由于当时乘除算法仍然不能在一个横列中进行。

算珠还没有穿档，携带不方便，因算法仍然不能在一个横列中进行。

算珠还没有穿档，携带不方便，因此仍没有普遍应用。

此仍没有普遍应用。

中国古代数学的发展唐中期以后，商业繁荣，数字计算增多，迫切要求改革计唐中期以后，商业繁荣，数字计算增多，迫切要求改革计算方法，从算方法，从新唐书新唐书等文献留下来的算书书目，可以看等文献留下来的算书书目，可以看出这次算法改革主要是简化乘、除算法，唐代的算法改革出这次算法改革主要是简化乘、除算法，唐代的算法改革使乘除法可以在一个横列中进行运算，它既适用于筹算，使乘除法可以在一个横列中进行运算，它既适用于筹算，也适用于珠算。

也适用于珠算。

3.2.13.2.1刘徽的数学成就刘徽的数学成就隋书隋书“律历志律历志”中提到中提到“魏陈留王景元四年刘徽魏陈留王景元四年刘徽注九章注九章”，由此知道刘徽是公元，由此知道刘徽是公元3世纪魏晋时人，并于公世纪魏晋时人，并于公元元263年撰年撰九章算术注九章算术注。

九章算术注九章算术注包含了刘徽包含了刘徽本人的许多创造，完全可以看成是独立的著作，奠定了这本人的许多创造，完全可以看成是独立的著作，奠定了这位数学家在中国数学史上的不朽地位。

位数学家在中国数学史上的不朽地位。

刘徽数学成就中最突出的是刘徽数学成就中最突出的是“割圆术割圆术”和体积理论和体积理论。

中国数学家刘徽中国数学家刘徽刘徽（约公元刘徽（约公元225年年295年），汉族，山东临淄人，魏晋期年），汉族，山东临淄人，魏晋期间伟大的数学家，著有间伟大的数学家，著有九章算术注九章算术注和和海岛算经海岛算经等。

刘徽的一等。

刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生他虽然地位低下，但人格高尚他不是生是为数学刻苦探求的一生他虽然地位低下，但人格高尚他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。

贵的财富。

九章算术注九章算术注对数学方法的贡献对数学方法的贡献开始了其独特的推理论证的尝试。

开始了其独特的推理论证的尝试。

“析理以辞，解析理以辞，解体用图。

体用图。

”创立了创立了“出入相补出入相补”的方法，提出了的方法，提出了“割圆割圆术术”，上首次将极限概念用于近似计算；引入十进制小，上首次将极限概念用于近似计算；引入十进制小数的记法和负整数的知识；他试图建立球体积公式，虽数的记法和负整数的知识；他试图建立球体积公式，虽然没有成功，但为后人提供了科学的方法；他对勾股测然没有成功，但为后人提供了科学的方法；他对勾股测量问题的深入研究，在几何研究中，从少数几个原理出量问题的深入研究，在几何研究中，从少数几个原理出发，运用逻辑手段推导出结果的方法发，运用逻辑手段推导出结果的方法。

提出。

提出“审辨名分审辨名分”，不但对自己提出的每一个新概念都给出界定，不但对自己提出的每一个新概念都给出界定九章九章算术注算术注丰富了丰富了九章算术九章算术的数学成果，主要表现在的数学成果，主要表现在算术、代数和几何诸方面。

算术、代数和几何诸方面。

诸如，诸如，割圆术与徽率割圆术与徽率“割之割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。

体而无所失矣。

”中国数学家刘徽中国数学家刘徽九章算术九章算术约成书于约成书于东汉东汉之初，共有之初，共有246个问题的个问题的解法解法在许多方在许多方面：

如解联立方程，面：

如解联立方程，分数分数四则运算，正负数运算，几何图形的四则运算，正负数运算，几何图形的体积体积面面积计算等，都属于世界先进之列，积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要的但因解法比较原始，缺乏必要的证明证明，而刘徽则对此均作了补充，而刘徽则对此均作了补充证明在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献他是世界证明在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根立方根在在代数代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了改进了线性方程组线性方程组的解法在几何方面，提出了的解法在几何方面，提出了割圆术割圆术，古典数学的形成与发展时期古典数学的形成与发展时期

（1）割圆术刘徽注九章算术方田章“圆田术”：

“半周半径相乘得积步”，求圆面积时用圆周率为3。

“又按：

为图，以六觚之一面乘半径，因而三之，得十二觚之幂。

若又割之，次以十二觚之一面乘半径，因而六之，则得二十四觚之幂。

割之弥细，所失弥少。

割之又割，