ch3一元函数积分学.ppt

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第三章微分法:

积分法:

互逆运算一元函数积分学目录上页下页返回结束二、二、基本积分表基本积分表三、不定积分的性质三、不定积分的性质一、一、原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念3.1不定积分的概念与性质第三三章目录上页下页返回结束一、一、原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念引例引例:

一个质量为m的质点,下沿直线运动,因此问题转化为:

已知求在变力试求质点的运动速度根据牛顿第二定律,加速度定义定义1.若在区间I上定义的两个函数F（x）及f（x）满足在区间I上的一个原函数.则称F（x）为f（x）如引例中,的原函数有目录上页下页返回结束问题问题:

1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?

2.若原函数存在,它如何表示?

定理定理1.存在原函数.初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数目录上页下页返回结束定理定理2.原函数都在函数族（C为任意常数）内.证证:

1）又知故它属于函数族即目录上页下页返回结束定义定义2.在区间I上的原函数全体称为上的不定积分,其中积分号积分号;被积函数被积函数;被积表达式被积表达式.积分变量积分变量;若则（C为任意常数）C称为积分常数积分常数,不可丢不可丢!

例如,记作目录上页下页返回结束不定积分的几何意义不定积分的几何意义:

的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线积分曲线.目录上页下页返回结束二、二、基本积分表基本积分表从不定积分定义可知:

或或利用逆向思维利用逆向思维（k为常数）目录上页下页返回结束或或目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束例例3.求求解解:

原式=例例4.求解解:

原式=目录上页下页返回结束三、不定积分的性质三、不定积分的性质推论推论:

若则目录上页下页返回结束例例5.求解解:

原式目录上页下页返回结束例例6.求求解解:

原式=目录上页下页返回结束内容小结内容小结1.不定积分的概念原函数与不定积分的定义不定积分的性质基本积分表2.直接积分法:

利用恒等变形恒等变形,及基本积分公式基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质积分性质目录上页下页返回结束若的导函数为则的一个原函数是（）.提示提示:

已知求即B?

或由题意其原函数为思考与练习思考与练习目录上页下页返回结束作业题作业题:

1

（2）2

（1）（3）（5）（7）（9）（11）（13）（15）（17）（19）P137目录上页下页返回结束二、第二类换元法二、第二类换元法3.2一、第一类换元法一、第一类换元法换元积分法第三三章目录上页下页返回结束第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法基本思路基本思路设可导,则有目录上页下页返回结束一、第一类换元法一、第一类换元法定理定理1.则有换元公式（也称配元法配元法即,凑微分法凑微分法）目录上页下页返回结束例例1.求解解:

令则故原式原式=注注:

当时注意换回原变量目录上页下页返回结束例例2.求解解:

令则想到公式目录上页下页返回结束例例4.求解解:

类似目录上页下页返回结束例例5.求解解:

原式原式=目录上页下页返回结束常用的几种配元形式常用的几种配元形式:

万能凑幂法目录上页下页返回结束例例6.求解解:

原式=目录上页下页返回结束小结小结常用简化技巧:

（1）分项积分:

（2）降低幂次:

（3）统一函数:

利用三角公式;配元方法（4）巧妙换元或配元万能凑幂法利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如目录上页下页返回结束思考与练习思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?

目录上页下页返回结束二、第二类换元法二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，目录上页下页返回结束定理定理2.设是单调可导函数,且具有原函数,证证:

令则则有换元公式目录上页下页返回结束例例16.求解解:

令则原式目录上页下页返回结束说明说明:

1.被积函数含有除采用三角采用双曲代换消去根式,所得结果一致.或代换外,还可利用公式2.再补充两个常用双曲函数积分公式目录上页下页返回结束原式例例19.求解解:

令则原式当x0时,类似可得同样结果.目录上页下页返回结束小结小结:

1.第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型:

令令令或令或令或目录上页下页返回结束2.常用基本积分公式的补充7）分母中因子次数较高时,可试用倒代换倒代换令目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束作业题作业题:

P1471.

（1）（3）（5）（7）（9）（11）（13）2.

（1）（3）（5）（7）（9）（11）（13）（15）（17）（19）（21）（23）（25）（27）目录上页下页返回结束3.3由导数公式积分得:

分部积分公式分部积分公式或1）v容易求得;容易计算.分部积分法第三三章目录上页下页返回结束例例1.求解解:

令则原式思考思考:

如何求提示提示:

令则原式目录上页下页返回结束例例2.求解解:

令则原式=目录上页下页返回结束例例3.求解解:

令则原式目录上页下页返回结束例例4.求解解:

令,则原式再令,则故原式=说明说明:

也可设为三角函数,但两次所设类型必须一致.目录上页下页返回结束解题技巧解题技巧:

把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三反对幂指三”的顺序,前者为后者为例例5.求解解:

令,则原式=反:

反三角函数对:

对数函数幂:

幂函数指:

指数函数三:

三角函数目录上页下页返回结束说明说明:

分部积分题目的类型:

1）直接分部化简积分;2）分部产生循环式,由此解出积分式;（注意:

两次分部选择的u,v函数类型不变,解出积分后加C）3）对含自然数n的积分,通过分部积分建立递推公式.例4目录上页下页返回结束内容小结内容小结分部积分公式1.使用原则:

易求出,易积分2.使用经验:

“反对幂指三反对幂指三”,前u后3.题目类型:

分部化简;循环解出;递推公式4.计算格式:

目录上页下页返回结束例例13.求解解:

令则可用表格法求多次分部积分目录上页下页返回结束思考与练习思考与练习1.下述运算错在哪里?

应如何改正?

得0=1答答:

不定积分是原函数族,相减不应为0.求此积分的正确作法是用换元法.目录上页下页返回结束作业题作业题:

P1531、3、5、7、9、11、13、15、17目录上页下页返回结束3.4一、一、定积分问题举例定积分问题举例二、二、定积分的定义定积分的定义三、三、定积分的近似计算定积分的近似计算定积分四、四、微积分基本公式微积分基本公式目录上页下页返回结束一、定积分问题举例一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.矩形面积梯形面积目录上页下页返回结束解决步骤解决步骤:

1）大化小大化小.在区间a,b中任意插入n1个分点用直线将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2）常代变常代变.在第i个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得目录上页下页返回结束3）近似和近似和.4）取极限取极限.令则曲边梯形面积目录上页下页返回结束二、定积分定义二、定积分定义任一种分法任取总趋于确定的极限I,则称此极限I为函数在区间上的定积分定积分,即此时称f（x）在a,b上可积可积.记作目录上页下页返回结束积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即目录上页下页返回结束定积分的几何意义定积分的几何意义:

曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和目录上页下页返回结束可积的充分条件可积的充分条件:

定理定理1.定理定理2.且只有有限个间断点（证明略）目录上页下页返回结束例例2.用定积分表示下列极限:

解解:

目录上页下页返回结束三、定积分的性质三、定积分的性质（设所列定积分都存在）（k为常数）线性区间可加目录上页下页返回结束6.若在a,b上则推论推论1.若在a,b上则保号推论推论2.7.设则目录上页下页返回结束说明说明:

可把故它是有限个数的平均值概念的推广.积分中值定理对8.积分中值定理积分中值定理则至少存在一点使目录上页下页返回结束内容小结内容小结1.定积分的定义乘积和式的极限2.定积分的性质3.积分中值定理矩形公式梯形公式连续函数在区间上的平均值公式近似计算抛物线法公式目录上页下页返回结束作业题作业题:

P1634.

（1）、（3）目录上页下页返回结束二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式一、引例一、引例3.5微积分基本公式目录上页下页返回结束一、引例一、引例在变速直线运动中,已知位置函数与速度函数之间有关系:

物体在时间间隔内经过的路程为这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.目录上页下页返回结束二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数变上限积分函数定理定理1.若目录上页下页返回结束说明说明:

1）定理1证明了连续函数的原函数是存在的.2）其他变限积分求导:

同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.目录上页下页返回结束三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式（牛顿-莱布尼茨公式）定理定理2.函数,则目录上页下页返回结束例例4.计算解解:

例例5.计算正弦曲线的面积.解解:

目录上页下页返回结束内容小结内容小结则有1.微积分基本公式积分中值定理微分中值定理牛顿莱布尼茨公式目录上页下页返回结束作业题作业题:

P1691

（1）2

（1）（3）（5）（7）（9）3

（1）（3）目录上页下页返回结束二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法3.6不定积分一、定积分的换元法一、定积分的换元法换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法定积分的换元法和分部积分法目录上页下页返回结束一、定积分的换元法一、定积分的换元法定理定理1.设函数单值函数满足:

1）2）在上则目录上页下页返回结束说明说明:

1）当,即区间换为定理1仍成立.2）必需注意换元必换限换元必换限,原函数中的变量不必代回.3）换元公式也可反过来使用,即或配元配元不换限目录上页下页返回结束例例1.计算解解:

令则原式=且目录上页下页返回结束例例2.计算解解:

令则原式=且目录上页下页返回结束例例3.证证:

（1）若

（2）若偶倍奇零偶倍奇零目录上页下页返回结束设f（x）是连续的周期函数,周期为T：

并由此计算目录上页下页返回结束二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法定理定理2.则目录上页下页返回结束例例5.计算解解:

原式=目录上页下页返回结束内容小结内容小结基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限边积边代限目录上页下页返回结束作业题作业题:

P1771

（1）（3）（5）（7）（9）（11）（13）（15）2

（1）（3）（5）（7）3

（1）（3）目录上页下页返回结束3.7利用元素法解决利用元素法解决:

定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分的应用目录上页下页返回结束表示为什么问