趣味概率和运筹.ppt

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第四讲趣味概率和运筹主讲：

林海如选修课：

趣味数学博彩中的概率生日巧合性别问题概率与决策智分金条过桥等问题1.1.什么叫概率？

什么叫概率？

事件发生的事件发生的可能性的大小可能性的大小叫这一事件发生的叫这一事件发生的概率概率2.2.概率的计算公式：

概率的计算公式：

若事件发生的所有可能结果总数为若事件发生的所有可能结果总数为nn，事件发，事件发生的可能结果数为生的可能结果数为mm，则（），则（）如果有人买了彩票，一定希望知道中奖的如果有人买了彩票，一定希望知道中奖的概率概率有多大那么怎么样来估计中奖的概率呢？

有多大那么怎么样来估计中奖的概率呢？

某单位工会组织内部抽奖活动，共准备了某单位工会组织内部抽奖活动，共准备了100100张奖张奖券，设特等奖券，设特等奖11个，一等奖个，一等奖1010个，二等奖个，二等奖2020个，三等奖个，三等奖3030个。

已知每张奖券获奖的可能性相同。

求：

个。

已知每张奖券获奖的可能性相同。

求：

P=1100P=1+10+20+3010061100=（22）一张奖券中奖的概率；）一张奖券中奖的概率；（11）一张奖券中特等奖的概率；）一张奖券中特等奖的概率；中奖概率中奖概率“双色球双色球”彩票彩票中奖概率中奖概率规则：

“双色球”彩票投注区分为红色球号码区和蓝色球号码区，每注投注号码由6个红色球号码和1个蓝色球号码组成。

红色球号码从1-33中选择；蓝色球号码从1-16中选择。

双色球彩票以投注者所选单注投注号码（复式投注按所覆盖的单注计）与当期开出中奖号码相符的球色和个数确定中奖等级。

中奖要求一等奖：

7个号码相符（6个红色球号码和1个蓝色球号码）二等奖：

6个红色球号码相符三等奖：

5个红色球号码和1个蓝色球号码相符四等奖：

5个红色球号码或4个红色球号码和1个蓝色球号码相符五等奖：

4个红色球号码或3个红色球号码和1个蓝色球号码相符六等奖：

1个蓝色球号码相符中奖概率一等奖（6+1）中奖概率为：

红球33选6乘以蓝球16选1=1/17721088=0.0000056%；二等奖（6+0）中奖概率为：

红球33选6乘以蓝球16选0=1/1107568=0.00009%；三等奖（5+1）中奖概率为：

红球33选5乘以蓝球16选1=1/3797376=0.000026%；四等奖（5+0）中奖概率为：

红球33选5乘以蓝球16选0=1/237336=0.00042%；四等奖（4+1）中奖概率为：

红球33选4乘以蓝球16选1=1/654720=0.015%；五等奖（4+0）中奖概率为：

红球33选4乘以蓝球16选0=1/40920=0.24%；五等奖（3+1）中奖概率为：

红球33选3乘以蓝球16选1=1/87296=0.11%；六等奖（2+1）中奖概率为：

红球33选2乘以蓝球16选1=1/8448=0.012%；六等奖（1+1）中奖概率为：

红球33选1乘以蓝球16选1=1/528=0.189%；六等奖（0+1）中奖概率为：

红球33选0乘以蓝球16选1=1/16=6.25%.总中奖率1188988/17721088=0.067094526024587203675079092209237=6.7%。

按照概率如果守一个号,可能中一等奖可能需要48550年彩票是一种概率游戏,中头奖的概率真的比“天上掉下一块馅饼正好砸在头上”的概率还小。

显然,在彩票上大投入是不明智的。

部分彩友把买彩当成投资,意图借助买彩发财,这种对彩票的误解导致了他们采用错误的投注方式。

彩票是以小博大的游戏,彩友把彩票当成娱乐生活的一个组成部分,用“玩”的心态买彩票,投注就比较理智,而把彩票看成是发财手段,以“炒”的心理购彩,投注就会产生盲目性，以至越陷越深。

总结分赌注分赌注梅莱向帕斯卡提过这样一个问题：

甲乙二人各下赌注8元，商定先胜3局者赢得全部赌金。

假定在每一局中二人获胜的机会相等，且各局胜负相互独立。

如果当甲胜两局而乙胜一局时赌博被迫中止，问赌注应该怎么分？

分析：

假设甲赢了，第四局时获胜的概率：

P1=1/2甲赢了，第五局时获胜的概率：

P2=1/21/2=1/4;所以甲赢的概率：

P=P1+P2=3/4于是我们按他们获胜的概率之比3:

1分配赌金。

400个同学中,一定有两个同学的生日相同（可以不同年）吗?

为什么?

67个同学中,就很有可能有两个同学的生日相同.”这话正确吗?

为什么?

生日巧合生日巧合67个人中有2人生日相同的理论概率计算公式为:

生日巧合二生日巧合二请设想一群人中至少多少人，才能使发生两人在同一天诞生的概率不低于1/2？

设至少n个人，先考虑n个人生日各不同的概率为：

，所以必须满足：

解得：

n=23有这么个人，他立意找到与自己同日诞生的人，为了使找到那个人的概率不低于1/2,他必须询问多少个素不相识的人？

寻找生日巧合的人寻找生日巧合的人利用对数表得：

n=253解：

性别问题性别问题11男人，男人男人，男人“有人来啦，请你出来一下？

”男人，女人男人，女人女人，女人女人，女人来了来了有三间屋子，其中某一个房间只进入两个男人，另外一个房间里只进入两个女人，剩下的一个房间进入夫妇二人.当然以什么样的组合进入哪个房间是不知道的.房子里面的人做什么也不知道，总之，在敲击一房间门的时候“有人来啦，请你出来一下？

”回答传出了女性的声音，那么男性出来的概率是多少呢？

回答的人出来的人

（1）女A女B

（2）女B女A（3）女C男X概率为概率为1/3性别问题性别问题2你隔壁刚刚搬来了新的邻居你隔壁刚刚搬来了新的邻居,透过墙透过墙壁壁,你可以清楚的听到有你可以清楚的听到有3个小孩的声音个小孩的声音,但是但是,因为这因为这3个小孩个小孩,年龄都很小年龄都很小,所以你所以你不确定不确定,他们是男是女他们是男是女?

基于好奇心基于好奇心,你决定到隔壁敲门你决定到隔壁敲门,看看看看他们是男是女他们是男是女,这个时候这个时候,一个男孩出来开一个男孩出来开门门,请问请问,这这3个小孩都是男孩的概率是多个小孩都是男孩的概率是多少少?

分析：

一个男孩开门，那么就会有两个小孩不知道性别，有四种可能，（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男）（男，女，女）所以全是男孩的概率1/4。

当然当然,你还是没有足够的讯息你还是没有足够的讯息,确定所确定所有有3个小孩的性别个小孩的性别.所以所以,你决定再找个理你决定再找个理由由,到隔壁敲了第二次门很幸运的是到隔壁敲了第二次门很幸运的是,这次这次来开门的是另外的一个男孩来开门的是另外的一个男孩,请问请问,这这3个个小孩都是男孩的概率是多少小孩都是男孩的概率是多少?

第二次敲门，又有一个男孩开门，就只有一个男孩不知道性别，有两种可能（男，男，男），（男，男，女），所以全是男孩的概率1/2。

如果如果,你第三次去敲了隔壁邻居的门你第三次去敲了隔壁邻居的门,请问请问,你可以百分之百确定这你可以百分之百确定这3个性别的个性别的概率是多少概率是多少?

第三次敲门，三个小孩都有可能开门，所以可以百分之百确定这3个性别的概率是1/3.十多年前，美国一家杂志刊出了下面一个问题：

十多年前，美国一家杂志刊出了下面一个问题：

有三扇门，其中一扇门的后面是一辆汽车，另两有三扇门，其中一扇门的后面是一辆汽车，另两扇门的后面则各有一只羊，你可以猜一次，猜中扇门的后面则各有一只羊，你可以猜一次，猜中羊可以牵走羊，猜中汽车则开走汽车。

当然大家羊可以牵走羊，猜中汽车则开走汽车。

当然大家都希望能开走汽车。

现在假如你猜了某扇门的后都希望能开走汽车。

现在假如你猜了某扇门的后面是车（例如面是车（例如1号门），然后主持人把无车的一扇号门），然后主持人把无车的一扇门（例如门（例如3号门）打开。

号门）打开。

此时，请问：

你是否要换此时，请问：

你是否要换2号门？

号门？

玛丽莲问题分析：

事实上，换不换取决于：

主持人是随机选的呢？

还是故意打开有羊的门呢？

如果主持人是随机选的，那么他和你的地位是等同的（都是随机选，先选后选无所谓），你们两个选到车的概率都是1/3，另一扇门后有车的概率也是1/3，所以换不换无所谓。

如果主持人是故意打开有羊的门，那么他选到车的概率当然是0，而你选到车的概率还是1/3，这样另一扇门后有车的概率就是2/3，所以应该换。

金币与银币在古印度，一位王子向一位聪明的公主求婚。

公主为了考研王子的智慧，就请人拿来两个盒子，其中一个装着10枚金币，另一个装着一样大小的10枚银币。

公主请人把王子的眼睛蒙上，并且将两个盒子的位置调换，然后请王子在两个盒子中任意挑选一枚银币，如果是金币的话，公主就嫁给王子，如果是银币的话，王子就娶不到公主。

王子说：

在蒙上眼睛前，能否调换盒子的银币组合？

公主说：

可以。

那么，为了更有把握拿到金币，王子应该如何调换盒子里的银币组合呢？

分析：

王子将装有金币的盒子里留一枚金币，把另外9枚金币装进装有银币的盒子，这样，若他选中那个放一枚金币的盒子，则选中金币的概率是100%，若选中19个钱币的盒子，则取得金币的概率是9/19.所以，总的选出金币的概率是1/2+1/29/19=14/19.远远大于调换之前的1/2.智分金条工人为你工作7天，给工人的回报是一根金条。

金条平分成相连的7段，你必须在每天结束时给他一段金条。

如果只许你两次把金条弄断（即分成三段），你如何给你的工人付费？

答案沙漠探险有一个探险家，准备用六天时间横穿沙漠，如果一人只能搬运一人四天的粮食和水，那么这个探险家需要雇用多少个搬运工呢？

分析：

2个第一天：

取用甲搬运工的供给第二天：

甲返回取用乙搬运工的供给第三天：

乙返回连续取用探险家的供给共4天农夫过河老农带一只狼，一只羊，一棵白菜过河，每次只能装一个。

老农不在的时候，狼吃羊，羊吃白菜。

为保证两边万无一失，大家帮农夫想个办法。

答案1.农夫和羊过河2.农夫回3.农夫和狼过河4.农夫和羊回5.农夫和白菜过河6.农夫回7.农夫和羊过河警察和小偷（policemenandthieves）三个警察押送三个小偷过河，船每次只能运两个人。

如果河的一边小偷的数目大于警察的数目，警察就会被小偷杀掉。

请大家帮忙想一个方案，确保押送任务顺利完成。

答案1.一警一偷过河6.一警一偷回2.一警回7.两警过河3.两偷过河8.一偷回4.一偷回9.两偷过河5.两警过河10.一偷回11.两偷过河在一个漆黑的夜晚，小明一家在野外要过在一个漆黑的夜晚，小明一家在野外要过一座桥一座桥，他们只带了一只手电筒，他们只带了一只手电筒，过桥有以下，过桥有以下要求：

要求：

必须必须借助手电筒借助手电筒。

每次此桥最多可过两人，每次此桥最多可过两人，走得快的要等走得慢的，走得快的要等走得慢的，问问如何设计一个方案，让小明一家尽快过河如何设计一个方案，让小明一家尽快过河？

分分5分分8分分2分分分析：

分析：

第一种办法是：

甲乙过去（2分钟），甲回来（1分钟），甲丙过去（5分钟），甲回来（1分钟），甲丁再过去（8分钟），总共需要17分钟就可以让四个人都过去。

而正确答案是第二种方法：

甲乙过去（2分钟），甲回来（1分钟），丙丁过去（8分钟），乙回来（2分钟），甲乙再过去（2分钟），总共需要15分钟就可以让四个人都过去。

这里的一个关键点，是让两个最慢的人这里的一个关键点，是让两个最慢的人同时过桥。

同时过桥。

如果把四人所需要的时间，改变一下分别，是1、4、5、8分钟。

第一种方法：

先甲乙过去（4分钟），甲回来（1分钟），甲丙过去（5分钟），甲回来（1分钟），甲丁再过去（8分钟），总共需要19分钟就可以让四个人都过去。

第二种方法：

先让甲乙过去（4分钟），甲回来（1分钟），丙丁过去（8分钟），乙回来（4分钟），甲乙再过去（4分钟），总共需要21分钟就可以让四个人都过去。

这一次，两个最慢的人一起过去反而更慢了。

总结：

假定四个人过河时间是T1,T2,T3,T4且T1T2T3T4，如何选择过桥方案。

第一种过河方法的总时间为：

T2T1T3T1T4第二种过河方法的总时间为：

T2T1T4T2T2二者之差为：

（T1T3）-2T2。

结论是：

如果（T1T3）大于2T2，第二种方法优；如果（T1T3）小于2T2，第一种方法优；如果（T1T3）等于2T2，两种方法无差异。