常数变易法的实质以及为什么可以用常数变易法解微分方程.docx

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常数变易法的实质以及为什么可以用常数变易法解微分方程

常数变易法的实质以及为什么可以用常数变易法解微分方程

欲得到非齐次线性微分方程的通解，我们首先求出对应的齐次方程的通解，然后用待定系数法或常数变易法求出非齐次方程本身的一个特解，把它们相加，就是非齐次方程的通解。

同济版的实质就是变量代换u，然后变成可分离变量。

求出u，然后回代。

解出方程。

解微分方程的实质就是变量替换，然后化解为可分离变量。

然后回代。

待定系数法

考虑以下的微分方程：

对应的齐次方程是：

它的通解是：

由于非齐次的部分是（

），我们猜测特解的形式是：

把这个函数以及它的导数代入微分方程中，我们可以解出A：

因此，原微分方程的解是：

（

）

常数变易法

假设有以下的微分方程：

我们首先求出对应的齐次方程的通解

，其中C1、C2是常数，y1、y2是x的函数。

然后我们用常数变易法求出非齐次方程的一个特解，方法是把齐次方程的通解中的常数C1、C2换成x的未知函数u1、u2，也就是：

y=u1y1+u2y2。

（1）

两边求导数，可得：

y'=u1'y1+u2'y2+u1y1'+u2y2'。

我们把函数u1、u2加上一条限制：

u1'y1+u2'y2=0。

（4）

于是：

y'=u1y1'+u2y2'。

（2）

两边再求导数，可得：

y"=u1'y1'+u2'y2'+u1y1"+u2y2"。

（3）

把

（1）、

（2）、（3）代入原微分方程中，可得：

u1'y1'+u2'y2'+u1y1"+u2y2"+pu1y1'+pu2y2'+qu1y1+qu2y2=f（x）。

整理，得：

u1'y1'+u2'y2'+（u1y1"+pu1y1'+qu1y1）+（u2y2"+pu2y2'+qu2y2）=f（x）。

由于y1和y2都是齐次方程的通解，因此（u1y1"+pu1y1'+qu1y1）和（u2y2"+pu2y2'+qu2y2）都变为零，故方程化为：

u1'y1'+u2'y2'=f（x）。

（5）

（4）和（5）联立起来，便得到了一个u1'和u2'的方程组。

解这个方程组，便可得到u1'和u2'的表达式；再积分，便可得到u1和u2的表达式。

这个方法也可以用来解高于二阶的非齐次线性微分方程。

一般地，有：

…….

（2）

从中看出

不可能单独除到左边来，所以是分不了的。

这时想想以前解决“齐次方程”时用过的招数。

解法

设

，即

.将

代入

（1）式:

=>

=>

=>

………（3）

这时u又不能单独除到左边来，所以还是宣告失败。

不过，这里还是给了我们一点启示：

如果某一项的变量分离不出来，那使该项成为零是比较好的选择。

因为这样“变量分离不出”这个矛盾就消失了——整个一项都消失了，还需要分什么呢。

比如说，对于（3）式，如果

，那么那一项就消失了；再比如说，对于

（2）式，如果

，那么那一项也消失了。

当然这些假设都是不可能的，因为

和

等于几是你无法干预的。

不过我们可以这么想：

如果我们巧妙地构造出一个函数，使这一项等于零，那不就万事大吉了。

Ok，好戏开场了。

进一步：

变量代换法

筒子们可能觉得要构造这么一个函数会很难。

但结果会让你跌破眼镜。

就是这么符合要求的一个函数。

其中

和

都是关于

的函数。

这样求

对应于

的函数关系就转变成分别求

对应于

的函数关系和

对应于

的函数关系的问题。

你可能觉得把一个函数关系问题变成两个函数关系问题，这简直是脑残的表现——非也，

和

都非常有用，看到下面就知道了。

让我们看看讲代换

代入

（1）式会出现什么：

………（4）

如果现在利用分离变量法来求

对应于

的函数关系，那么

就是我们刚刚遇到的没法把

单独分离出来的那一项，既然分不出来，那么干脆把这一项变为零好了。

怎么变？

这是

的用处就有了。

令

，解出v对应x的函数关系，这本身就是一个可以分离变量的微分方程问题，可以将其解出来。

=>

………（5）

现在

解出来了，接下来该处理

了，实际上当

解出来后

就十分好处理了。

把（5）式代入（4）式，则

这一项便被消掉了。

剩下的是

而这也是一个可以分离变量的微分方程。

同样可以十分容易地解出来：

=>

=>

………（6）

现在

和

都已求出，那么

也迎刃而解：

=

=

………（7）（这里

）

这个方法看上去增加了复杂度，实际上却把一个不能直接分离变量的微分方程化成了两个可以直接分离变量的微分方程。

这个方法不是没有名字的，它叫“变量代换法”（挺大众的一名字），即用

代换了

。

这时在你脑中不得不油然生出这么一种感觉：

想了十一年想出来的法子，还真不是盖的。

2常数变易法

换个思路，求

的微分方程（即

）其实就是求

当

时的齐次方程。

所以，我们可以直接先把非齐次方程当作齐次方程来解。

即解出

的解来。

得：

………（8）

注意这里的

并非最终答案，从上一环节我们知道这其实是

而已。

而最终答案是

，

仅是其中一部分。

因此这里的

并不是我们要的y，因此还要继续。

把（8）式和上面提到的（7）式比较一下：

………（7）

………（8）

结论、

（7）式是最终的结论，（8）式是目前我们可以到达的地方。

那我们偷下懒好了：

把（8）式的那个

换成

，再把这个

解出来，不就ok了么。

所谓的“常数变易法”就是这么来的，即把常数

硬生生地变成了

。

接下来的事情就简单多了，和前面是一个思路，把代换

代入

（1）式，由于

是一个可以令那个分离不出变量的项被消掉的特解，因此即可知一定会解得

。

从中解出

，再带回

便可得到最终答案。