第六章拉格朗日动力学.ppt

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v本本章章介介绍绍分分析析力力学学的的基基础础知知识识,并并阐阐述述分分析析力力学学的的变变分分原原理理,即即微微分分变变分分原原理理（虚虚功功原原理理）和和积积分分变变分分原原理理（哈哈密密顿顿原原理理），并并由由哈哈密密顿原理导出拉格朗日方程顿原理导出拉格朗日方程.第六章第六章拉格朗日动力学拉格朗日动力学v本章要求本章要求:

掌握约束方程的不同分类掌握约束方程的不同分类,理解掌理解掌握虚位移和理想约束的概念握虚位移和理想约束的概念,并利用虚功原并利用虚功原理、哈密顿原理处理力学系统的问题，以及理、哈密顿原理处理力学系统的问题，以及用拉格朗日方法建立完整约束的有势系的运用拉格朗日方法建立完整约束的有势系的运动微分方程动微分方程.v主要内容主要内容:

分析力学的基础知分析力学的基础知虚功原理虚功原理哈密顿原理哈密顿原理拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程的广义动量积分和广义能量积分拉格朗日方程的广义动量积分和广义能量积分多自由度系统在稳定平衡位置附近的微振动多自由度系统在稳定平衡位置附近的微振动拉格朗日方法的特点和意义拉格朗日方法的特点和意义对称性与守恒律对称性与守恒律6.16.1分析力学的基础知识分析力学的基础知识一一.约束约束由约束物体预先给定对力学系统运动的限制由约束物体预先给定对力学系统运动的限制,称为称为约束约束.可表现为对系统各质点位置和速度限制可表现为对系统各质点位置和速度限制,其数学表达式其数学表达式为为:

-约束方程约束方程,即坐标和速度必需满足约束条件的即坐标和速度必需满足约束条件的数学方程数学方程.例如例如:

1.长为长为的刚性轻杆的刚性轻杆,一端被光滑铰链悬挂在天一端被光滑铰链悬挂在天花板，另一端与小球连接组成球面摆。

花板，另一端与小球连接组成球面摆。

2.半径为半径为的车轮沿小平直线轨道做无滑滚动的车轮沿小平直线轨道做无滑滚动,车轮受车轮受到轨道约束到轨道约束,约束方程为约束方程为:

3.一质点始终在球心固定的球面上运动一质点始终在球心固定的球面上运动,球的半径为球的半径为,质点的约束方程为质点的约束方程为二二.约束的分类约束的分类根据约束方程的不同特点对约束进行分类根据约束方程的不同特点对约束进行分类.1.完整约束和非完整约束完整约束和非完整约束约束方程仅含质点的坐标和时间的约束约束方程仅含质点的坐标和时间的约束,称为称为完整约束完整约束.对时间求导对时间求导完整约束的完整约束的微商形式微商形式是否完整约束没对质点是否完整约束没对质点的速度有限制的速度有限制?

非完整约束非完整约束:

约束方程含有质点的坐标、坐标对时间的约束方程含有质点的坐标、坐标对时间的导数或坐标的微分导数或坐标的微分,并且不能通过积分使之转化为仅包并且不能通过积分使之转化为仅包含坐标和时间的完整约束方程的约束含坐标和时间的完整约束方程的约束.不受非完整约束的系统为不受非完整约束的系统为完整系完整系，反之为，反之为非完整系非完整系；这里我们只研究这里我们只研究完整系完整系。

2.定常约束和非定常约束定常约束和非定常约束定常定常约束：

约束：

非定常约束：

非定常约束：

3.双侧约束和单侧约束双侧约束和单侧约束约束方程是等式表示为双侧约束；若约束方程含有不约束方程是等式表示为双侧约束；若约束方程含有不等式为单侧约束。

等式为单侧约束。

单侧约束只在某一侧限制系统的运动单侧约束只在某一侧限制系统的运动,至于向另一侧的至于向另一侧的运动则是完全自由的运动则是完全自由的.例如单摆的不可伸长的悬绳限制例如单摆的不可伸长的悬绳限制摆球不得向绳伸长的方向运动，但向绳缩短的方向运动摆球不得向绳伸长的方向运动，但向绳缩短的方向运动却是自由的却是自由的.4.理想约束和非理想约束理想约束和非理想约束根据约束力的性质可分为理想和非理想约束，这部分根据约束力的性质可分为理想和非理想约束，这部分内容在内容在6.1.2节中阐述。

节中阐述。

举例分析以上四种不同角度对举例分析以上四种不同角度对约束方程的分类。

约束方程的分类。

非完整约束举例分析非完整约束举例分析：

考虑一个冰面上滑行的冰鞋上装有的冰刀考虑一个冰面上滑行的冰鞋上装有的冰刀.，冰面限，冰面限制使得冰刀只有纵向速度，则以冰刀质心坐标和转角制使得冰刀只有纵向速度，则以冰刀质心坐标和转角为位置坐标，其冰刀的约束方程为为位置坐标，其冰刀的约束方程为三三.自由度自由度对于完整系，确定系统位置所需要的独立坐标的数目，对于完整系，确定系统位置所需要的独立坐标的数目，称为该系统的自由度。

称为该系统的自由度。

n个质点，k个约束的系统的自由度：

例例1:

细杆细杆AB一端被约束在水平面上一端被约束在水平面上,长为长为,确定其自由度。

确定其自由度。

四四.广义坐标广义坐标广义坐标广义坐标可以是长度、面积、体积、分子内能、熵、可以是长度、面积、体积、分子内能、熵、热量和电极化强度等热量和电极化强度等广延量广延量,摆脱了牛顿力学对坐标限制摆脱了牛顿力学对坐标限制.坐标变换方程坐标变换方程:

在给定的约束条件下确定力学系统在给定的约束条件下确定力学系统空间位置空间位置的一组的一组独立变量，称为广义坐标，用独立变量，称为广义坐标，用表示表示,其对时其对时间的导数为广义速度间的导数为广义速度:

6.1.26.1.2虚位移和虚功虚位移和虚功理想约束理想约束一一.虚位移虚位移质点在质点在满足当时约束条件满足当时约束条件下一切可能的无限小位移下一切可能的无限小位移,称称为为该时刻该时刻质点的质点的虚位移虚位移.用用表示表示.虚位移只决定于质虚位移只决定于质点在此时的位置和加在它上面的约束点在此时的位置和加在它上面的约束,而不是由于时间而不是由于时间变化所引起的变化所引起的.质点由于运动实际发生的位移质点由于运动实际发生的位移,叫做叫做实位移实位移.用用表示表示在在时间内质点真实发生的位移时间内质点真实发生的位移.虚位移和实位移的区别虚位移和实位移的区别:

实位移不仅要满足约束实位移不仅要满足约束方程方程,还要满足运动方程还要满足运动方程,而虚位移只需要满足约而虚位移只需要满足约束束.在定常约束下在定常约束下,实位移是无限多虚位移中的一实位移是无限多虚位移中的一个个.而在非定常约束时而在非定常约束时,二者一般不一致二者一般不一致.二二.虚功和广义力虚功和广义力作用在质点上的力与质点任一虚位移作用在质点上的力与质点任一虚位移r中所作得功中所作得功,叫做虚功叫做虚功:

系统所有主动力的虚功之和系统所有主动力的虚功之和:

主动力均为有势力的力学体系主动力均为有势力的力学体系（有势系有势系）三三.理想约束理想约束作用于力学系统的所有约束力在任意虚位移作用于力学系统的所有约束力在任意虚位移上的虚功之上的虚功之和为零和为零,则这种约束为则这种约束为理想约束理想约束,即即举例分析举例分析:

例例1:

质点质点（研究对象）研究对象）沿运动的沿运动的光滑光滑曲面曲面或曲线或曲线运动运动,约束方程约束方程：

质点的虚位移应满足质点的虚位移应满足:

即虚位移即虚位移仍仍垂直于曲面的法向垂直于曲面的法向.而而约束力沿曲面的法向约束力沿曲面的法向,所以虚功也仍为零所以虚功也仍为零.例例2:

刚性约束刚性约束:

两质点（研究对象）被刚性杆连接两质点（研究对象）被刚性杆连接.刚体中两质点的径矢分别为刚体中两质点的径矢分别为ri和和rj,则约束方程为则约束方程为因此约束力的虚功之和为零因此约束力的虚功之和为零因因约束力是一对内力约束力是一对内力,大小相等方向相反大小相等方向相反,即即.由约束方程可知虚位移满足由约束方程可知虚位移满足总结几种常见的理想约束的实例总结几种常见的理想约束的实例1）1）质点质点（研究对象研究对象）被约束在被约束在光滑光滑的曲线或曲面上的曲线或曲面上.2）2）刚体刚体（研究对象研究对象）在另一固定刚体上做无滑滚动在另一固定刚体上做无滑滚动.3）3）物体用光滑铰链连接的约束物体用光滑铰链连接的约束.4）4）互相接触的表面光滑的两个刚体互相接触的表面光滑的两个刚体（研究对象研究对象）所受所受到的约束等到的约束等.5）两个刚体两个刚体（研究对象研究对象）无滑相互接触无滑相互接触.6.26.2虚功原理虚功原理一一.虚功原理虚功原理虚功虚功原理内容原理内容:

受有受有理想约束、定常约束理想约束、定常约束的力学系统的力学系统,保保持持静平衡静平衡的必要充分条件是作用在该系统的全部的必要充分条件是作用在该系统的全部主动力主动力的虚功之和为零的虚功之和为零,即即证明证明:

1）必要性必要性力学系统相对惯性系处于平衡状态时力学系统相对惯性系处于平衡状态时,系统每一质点都系统每一质点都是处于平衡是处于平衡,则则作用于第作用于第i质点所有各力的虚功之和为零质点所有各力的虚功之和为零对于理想约束对于理想约束2）充分性充分性若系统的主动力虚功之和为零若系统的主动力虚功之和为零,对于受理想约束的系统有对于受理想约束的系统有:

若系统受的约束是若系统受的约束是稳定稳定（定常定常）约束约束,各各质点的无限小实位质点的无限小实位移移必与其中一组虚位移重合必与其中一组虚位移重合,则系统的主动力与约束力的实则系统的主动力与约束力的实功之和为零功之和为零.根据质点系的动能定理根据质点系的动能定理,说明若系统刚开始处于静止说明若系统刚开始处于静止,则一直保持静止则一直保持静止,从而得证从而得证.关于虚功原理几点说明关于虚功原理几点说明:

1）虚功原理是一条运用统一观点和方法处理各类力学虚功原理是一条运用统一观点和方法处理各类力学系统系统（质点、质点系、刚体等）静力学问题的基本原质点、质点系、刚体等）静力学问题的基本原理，有很大普适性。

理，有很大普适性。

2）虚功原理不是用静止观点解决静力学问题虚功原理不是用静止观点解决静力学问题,而是采用而是采用变动观点来寻找平衡的条件变动观点来寻找平衡的条件.3）虚功原理只涉及到主动力虚功原理只涉及到主动力,包括外力和内力中的主动力包括外力和内力中的主动力,而而未涉及未知的约束力未涉及未知的约束力,从而给解决受有理想约束的多从而给解决受有理想约束的多约束力学系统的静力学问题带来极大的简化约束力学系统的静力学问题带来极大的简化.4）虚功原理中的主动力所做的虚功之和为零虚功原理中的主动力所做的虚功之和为零,是对任意的是对任意的虚位移而言虚位移而言,而不是特殊的虚位移而不是特殊的虚位移.二二.广义平衡方程广义平衡方程运用虚功原理运用虚功原理,导出广义平衡方程导出广义平衡方程,即得到力学系统的即得到力学系统的平衡位置或静平衡时各个主动力间的关系平衡位置或静平衡时各个主动力间的关系.对于完整系中对于完整系中,个广义坐标个广义坐标的变分相互的变分相互独立独立,则则-系统静平衡的广义平衡方系统静平衡的广义平衡方程程虚功原理另一种表述虚功原理另一种表述:

对于受完整的、定常的、理想约束对于受完整的、定常的、理想约束的力学系统，的力学系统，保持静平衡保持静平衡的必要充分条件是所有的广义的必要充分条件是所有的广义力都为零。

力都为零。

对于主动力均为保守力的有势系，广义平衡方程为：

对于主动力均为保守力的有势系，广义平衡方程为：

-表明处于静平衡的系统的势能取极小值、极大值、表明处于静平衡的系统的势能取极小值、极大值、或是稳定值。

且对有势系或是稳定值。

且对有势系,势能取极值是系统势能取极值是系统静平衡静平衡的的充要条件充要条件.例例2两两刚刚杆杆用用光光滑滑铰铰链链交交结结如如图图.上上杆杆长长l1质质量量为为m1,下下杆杆长长l2,质质量量为为m2,在在下下杆杆的的下下端端施施加加不不变变的的水水平平力力F,试试求平衡时两杆各自同水平线的夹角求平衡时两杆各自同水平线的夹角和和.解：

解：

分析系统是受完整的、定常的、理想的约束，则分析系统是受完整的、定常的、理想的约束，则确定它的自由度确定它的自由度22个，广义坐标个，广义坐标根据虚功原理有根据虚功原理有代入代入

（1）:

（1）:

的系数为零，有的系数为零，有由于由于相互独立相互独立,则则虚功原理主要用于求解