第一章数值计算方法.ppt

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数值计算方法-与计算机相结合的数学曹党生学习目的学习目的现代计算机的出现，研究适用于计算机的数值现代计算机的出现，研究适用于计算机的数值计算方法。

计算方法。

数值计算方法揭示了包含在多种多样的数值方数值计算方法揭示了包含在多种多样的数值方法之间的结构和原理。

法之间的结构和原理。

数值计算方法成为进行科学计算必不可缺少的数值计算方法成为进行科学计算必不可缺少的起码常识。

起码常识。

如行列式解法的如行列式解法的Cramer法则可用来求解线性方法则可用来求解线性方程组程组,用这种方法解一个用这种方法解一个n元方程组元方程组,要算要算n+1个个阶行列式的值阶行列式的值,总共需要总共需要n!

（n-1）（n+1）次乘法；次乘法；当当n=20时时,其乘除法运算次数约其乘除法运算次数约1021次方次方,即使即使用每秒千亿次的计算机也得需要上百年用每秒千亿次的计算机也得需要上百年,而用而用高斯（高斯（Guass）消去法约需消去法约需2660次乘除法运算次乘除法运算,并且愈大并且愈大,相差就愈大。

相差就愈大。

研究和选择好的算法是非常重要的研究和选择好的算法是非常重要的p本课程的基本要求本课程的基本要求n掌握数值方法的基本原理掌握数值方法的基本原理n掌握常用的科学与工程计算的基本方法掌握常用的科学与工程计算的基本方法n能用所学方法在计算机上算出正确结果能用所学方法在计算机上算出正确结果本章内容本章内容1引言引言2误差的来源及分类误差的来源及分类3误差的度量误差的度量4误差的传播误差的传播5减少运算误差的原则减少运算误差的原则第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差要求掌握的内容要求掌握的内容第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差p概念概念包括有效数字、绝对误差包括有效数字、绝对误差、绝对误差绝对误差限限、相对误差、相对误差相对误差、相对误差限等限等p误差误差截断误差、舍入误差的详细内容，误差种截断误差、舍入误差的详细内容，误差种类等类等p分析运算误差的方法和减少运算误差的若分析运算误差的方法和减少运算误差的若干原则干原则1.1引言引言数值分析又称计算方法数值分析又称计算方法,它是研究各种数它是研究各种数学问题的数值解法及其理论的一门学科。

学问题的数值解法及其理论的一门学科。

p数值分析的任务实际问题实际问题数学模型数学模型数值计算方法数值计算方法程序设计程序设计上机计算上机计算数值结果数值结果任务根据数学模型提出求解的数值计算方法直到编出程序上机算出结果1.1.对于要解决的问题建立数学模型对于要解决的问题建立数学模型2.2.研究用于求解该数学问题近似解的算法研究用于求解该数学问题近似解的算法和过程和过程3.3.按照按照22进行计算，得到计算结果进行计算，得到计算结果建立数建立数学模型学模型转化为转化为数值公式数值公式进行计算进行计算数值方法解题的一般过程数值方法解题的一般过程数值计算以及计算机模拟，已经是数值计算以及计算机模拟，已经是在工程技术研究和经济、社会科学中广泛应在工程技术研究和经济、社会科学中广泛应用的方法。

用的方法。

天气预报与亿次计算机天气预报与亿次计算机波音波音777777的无纸设计的无纸设计、核磁共振核磁共振计算流体力学与爆炸工程计算流体力学与爆炸工程能源问题与大型计算能源问题与大型计算第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差计算作为计算作为工程技术工程技术研究方法研究方法p计算方法课程主要讨论如何构造求数学模计算方法课程主要讨论如何构造求数学模型近似解的算法，型近似解的算法，p算法的数学原理、算法的数学原理、p误差和复杂性，误差和复杂性，p配合程序设计进行计算试验配合程序设计进行计算试验p并分析试验结果。

并分析试验结果。

第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差与纯数学的理论方法不同，用数值计算方法所与纯数学的理论方法不同，用数值计算方法所求出的结果一般不是解的精确值或者准确的解求出的结果一般不是解的精确值或者准确的解析表达式，而是所求真解的某些近似值或近似析表达式，而是所求真解的某些近似值或近似曲线。

曲线。

例如方程例如方程xx22=2sinx=2sinx，在区间在区间（1,2）（1,2）内有唯一内有唯一根根,但找不出求根的解析式但找不出求根的解析式,只能用数值计算只能用数值计算方法求其近似解。

方法求其近似解。

第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差1.21.2误差的来源及分类误差的来源及分类在做热力学实验中，从温度计在做热力学实验中，从温度计上读出的温度是上读出的温度是23.423.4度，就不是一度，就不是一个精确的值，而是含有误差的近似个精确的值，而是含有误差的近似值。

如量体裁衣，量与裁的结果都值。

如量体裁衣，量与裁的结果都不是精确无误的，都含有误差。

不是精确无误的，都含有误差。

p在用数值方法解题过程中可能产生的误差归在用数值方法解题过程中可能产生的误差归纳起来有如下几类：

纳起来有如下几类：

n1.1.模型误差模型误差n2.2.观测误差观测误差n3.3.截断误差截断误差n4.4.舍入误差舍入误差第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差p用数学方法解决一个具体的实际问题，首用数学方法解决一个具体的实际问题，首先要建立数学模型，这就要对实际问题进先要建立数学模型，这就要对实际问题进行行抽象抽象、简化简化，因而数学模型本身总含有，因而数学模型本身总含有误差，这种误差叫做模型误差误差，这种误差叫做模型误差p数学模型是指那些利用数学语言模拟现实数学模型是指那些利用数学语言模拟现实而建立起来的有关量的描述而建立起来的有关量的描述p数学模型的准确解与实际问题的真解不同数学模型的准确解与实际问题的真解不同1.模型误差模型误差区别区别实际问题的真实际问题的真解解数学模型的真数学模型的真解解为减化模型忽略次要因素为减化模型忽略次要因素定理在特定条件下建立与实际条定理在特定条件下建立与实际条件有别件有别p在数学模型中通常包含各种参变量，如温度、在数学模型中通常包含各种参变量，如温度、长度、电压等，这些参数是通过观测得到的，长度、电压等，这些参数是通过观测得到的，因此带来了误差，这种误差叫观测误差因此带来了误差，这种误差叫观测误差p模型中的参数和数据，是由观测和试验得到；模型中的参数和数据，是由观测和试验得到；p由于测量工具的精度、观测方法或客观条件的由于测量工具的精度、观测方法或客观条件的限制限制,使数据含有误差使数据含有误差,这类误差叫做这类误差叫做观测误差；观测误差；p根据实际情况可以得到误差上下界；根据实际情况可以得到误差上下界；p需了解观测误差需了解观测误差,以便选择合理的数值方法以便选择合理的数值方法2.观测误差观测误差p精确公式用近似公式代替时精确公式用近似公式代替时,所产生的误差叫所产生的误差叫截断截断误差误差例如例如,函数函数f（x）用泰勒用泰勒（Taylor）多项式多项式3.截断误差截断误差（介于0与x之间）近似代替，则数值方法的截断误差是近似代替，则数值方法的截断误差是p截断误差的大小直接影响计算结果的精度和计算截断误差的大小直接影响计算结果的精度和计算工作量，是数值计算中必须考虑的一类误差工作量，是数值计算中必须考虑的一类误差p在数值计算中只能对有限位字长的数值进行运算在数值计算中只能对有限位字长的数值进行运算p需要对参数、中间结果、最终结果作有限位字长需要对参数、中间结果、最终结果作有限位字长的处理工作，这种处理工作称作舍入处理的处理工作，这种处理工作称作舍入处理p用有限位数字代替精确数，这种误差叫做用有限位数字代替精确数，这种误差叫做舍入误舍入误差差，是数值计算中必须考虑的一类误差，是数值计算中必须考虑的一类误差4.舍入误差舍入误差第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差例例如在计算时用如在计算时用3.141593.14159近似代替近似代替，产生的误差产生的误差R=R=-3.14159=0.0000026-3.14159=0.0000026就是舍入误差。

就是舍入误差。

上述种种误差都会影响计算结果的准确上述种种误差都会影响计算结果的准确性，因此需要了解与研究误差，在数值计算性，因此需要了解与研究误差，在数值计算中将着重研究截断误差、舍入误差，并对它中将着重研究截断误差、舍入误差，并对它们的传播与积累作出分析们的传播与积累作出分析误差的度量误差的度量绝对误差和绝对误差限绝对误差和绝对误差限定定义义1.11.1设设精精确确值值xx的的近近似似值值x*x*，称称差差ee（x（x*）=x-xx-x*近近似似值值xx*的的绝绝对对误误差差，简简称称误差误差。

e（xe（x*）又记为又记为ee*当当ee*00时时，xx*称称为为弱弱近近似似值值，当当ee*00时时，xx*称称为强近似值为强近似值|ee*|越小，越小，xx*的精度越高的精度越高误差限由于精确值一般是未知的,因而e*不能求出来,但可以根据测量误差或计算情况设法估计出它的取值范围，即误差绝对值的一个上界或称误差限。

二、误差的度量二、误差的度量定义定义1.2设存在一个正数，使设存在一个正数，使则称为近似值的绝对误差限，简称误差限或精度。

则称为近似值的绝对误差限，简称误差限或精度。

实际应用中经常使用这个量来衡量误差限实际应用中经常使用这个量来衡量误差限,这这就是说就是说,如果近似数如果近似数的误差限为的误差限为,则则表明准确值表明准确值x必落在必落在上上,常采用下面的常采用下面的写法写法来表示近似值的精度或准确值来表示近似值的精度或准确值x所在的范围。

所在的范围。

（电压、电流表示）（电压、电流表示）四舍五入的误差限是多少？

四舍五入的误差限是多少？

a-a-a+a+aaA例例11设x=3.1415926近似值x*=3.14,它的绝对误差是0.0015926，有x-x*=0.00159260.002=0.210-2例例2又近似值x*=3.1416，它的绝对误差是0.0000074，有x-x*=0.00000740.000008=0.810-5例例33而近似值x*=3.1415，它的绝对误差是0.0000926，有x-x*=0.00009260.0001=0.110-3可见，可见，绝对误差限绝对误差限*不是唯一的，但不是唯一的，但*越小越好越小越好相对误差和相对误差限相对误差和相对误差限只用绝对误差还不能说明数的近似程度只用绝对误差还不能说明数的近似程度,例如甲打字每例如甲打字每100100个错一个个错一个,乙打字每乙打字每10001000个个错一个错一个,他们的误差都是错一个他们的误差都是错一个,但显然乙要但显然乙要准确些准确些,这就启发我们除了要看绝对误差外这就启发我们除了要看绝对误差外,还必须顾及量的本身。

还必须顾及量的本身。

定义定义1.31.3绝对误差与精确值绝对误差与精确值x的比值的比值称为相对误差。

称为相对误差。

简记为简记为相对误差和相对误差限相对误差和相对误差限相相对对误误差差越越小小,精精度度就就越越高高,实实际际计计算算时时,x通通常常是是不不知知道道的的,因因此此可可用用下下列列公公式式计计算算相相对对误差误差定义定义1.41.4设存在一个正数设存在一个正数，使，使则称则称为近似值为近似值的相对误差限。

的相对误差限。

简记为简记为相对误差和相对误差限相对误差和相对误差限例例4.4.甲打字每甲打字每100100个错一个，乙打字每个错一个，乙打字每10001000个个错一个，求其相对误差错一个，求其相对误差解：

解：

根椐定义根椐定义:

甲打字时的相对误差甲打字时的相对误差乙打字时的相对误差乙打字时的相对误差有效数字有效数字定义定义1.51.5设设x的近似值的近似值其中其中是是00到到99之之间的任一个数的任一个数,但但n是正整数是正整数,m是整数是整数,若若则称称为x的具有的具有n位有效数字的近似位有效数字的近似值，准确到准确到第第n位，位，是是的有效数字。

的有效数字。

有效数字有效数字例例