二次函数基本定义.docx

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基本定义

一般地，把形如

（a、b、c是常数）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

x为自变量，y为因变量。

等号右边自变量的最高次数是2。

顶点坐标

交点式为

（仅限于与x轴有交点的抛物线），

与x轴的交点坐标是 和  

顶点式

y=a（x-h）²+k（a≠0,a、h、k为常数）,顶点坐标为（h,k） [4]  ，对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最大（小）值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。

例：

已知二次函数y的顶点（1,2）和另一任意点（3,10），求y的解析式。

解：

设y=a（x-1）²+2，把（3,10）代入上式，解得y=2（x-1）²+2。

注意：

与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。

 [2] 

具体可分为下面几种情况：

当h>0时，y=a（x-h）²的图像可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到；

当h<0时，y=a（x-h）²的图像可由抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位得到；

当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a（x-h）²+k的图象；

当h>0,k<0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）²+k的图象；

当h<0,k>0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a（x-h）²+k的图象；

当h<0,k<0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）²+k的图象。

 [5] 

交点式

[仅限于与x轴即y=0有交点时的

与X轴交点的情况:

当  时，函数图像与x轴有两个交点，分别是（x1,0）和（x2,0）。

当  时，函数图像与x轴只有一个切点，即  

。

 [2] 

当  

时，抛物线与x轴没有公共交点。

x的取值范围是虚数

 抛物线，即b2-4ac≥0].

已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1,0）和B（x2,0）,我们可设

函数图像

基本图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax2+bx+c的图像，可以看出，在没有特定定义域的二次函数图像是一条永无止境的抛物线。

如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由

  平移得到的。

 [2] 

轴对称

二次函数图像 [6]

二次函数图像是轴对称图形。

对称轴为直线

对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图象的顶点P。

特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。

是顶点的横坐标（即x=？

）。

a,b同号，对称轴在y轴左侧；

a,b异号，对称轴在y轴右侧。

 [2] 

顶点

二次函数图像有一个顶点P，坐标为P（h,k）。

当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。

即可表示为顶点式y=a（x-h）2+k（x≠0）

。

 [2] 

开口

二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。

当a>0时，二次函数图象向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则二次函数图像的开口越小。

 [2] 

决定位置因素

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号

当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。

因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号

可简单记忆为左同右异，即当对称轴在y轴左时，a与b同号（即a>0，b>0或a<0，b<0）；当对称轴在y轴右时，a与b异号（即a0或a>0，b<0）（ab<0）。

事实上，b有其自身的几何意义：

二次函数图象与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。

可通过对二次函数求导得到。

 [2] 

决定交点因素

常数项c决定二次函数图像与y轴交点。

二次函数图像与y轴交于（0,C）点

注意：

顶点坐标为（h,k），与y轴交于（0,C）。

 [2] 

与x轴交点数

a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。

k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。

质疑点：

a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图像与x轴无交点。

当a>0时，函数在x=h处取得最小值y=k，在xh范围内是增函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k

当a<0时，函数在x=h处取得最大值

=k，在xh范围内是减函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y

当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数 [2]