普通高中课程数学教案.docx

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《普通高中课程标准实验教科书?

数学4》第一章“三角函数”简介

函数是刻画客观世界变化规律的数学模型不同的变化规律应当用不同的函数来刻画三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型在数学和其他领域中具有重要作用它是学生在高中阶段学习的又一类重要的基本初等函数本章中学生将在数学1中学习函数概念与基本初等函数I的基础上学习三角函数及其基本性质体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用．通过本章的学习学生将进一步加深对函数概念的理解提高用函数概念解决问题的能力

一、内容与课程学习目标

本章的学习内容是三角函数及其基本性质通过本章学习要引导学生：

1．了解任意角的概念和弧度制能进行弧度与角度的互化；

2．借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；

3．借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（的正弦、余弦、正切）能画出y=sinxy=cosxy=tanx的图象了解三角函数的周期性；

4．借助图象理解正弦函数、余弦函数在正切函数在上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）；

5．理解同角三角函数的基本关系式：

sin2x+cos2x=1；

6．结合具体实例了解的实际意义；能借助计算器或计算机画出的图象观察参数A对函数图象变化的影响；

7．会用三角函数解决一些简单实际问题体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型

二、内容安排

本章共安排了6个小节以及两个选学内容教学时间约需16课时大体分配如下（仅供参考）：

1.1任意角和弧度制约2课时

1.2任意角的三角函数约3课时

1.3三角函数的诱导公式约2课时

1.4三角函数的图象与性质约4课时

1.5函数y=Asin（φ）的图象约2课时

1.6三角函数模型的简单应用约2课时

小结约1课时

本章知识结构如下：

1．本章学习的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识在数学1中建立的函数概念以及指数函数、对数函数的研究经验；主要的学习内容是三角函数的概念图象与性质以及三角函数模型的简单应用；单位圆是研究三角函数的重要工具借助它的直观可以使学生更好地理解三角函数的概念和性质因此三角函数的学习可以帮助学生更好地体会数形结合思想；三角函数作为描述周期现象的重要数学模型与其他学科（特别是物理、地理）有紧密联系因此本章的学习可以培养学生的数学应用能力

2．为了加强三角函数学习的目的性本章采用月相变化图和简谐运动图的组合作为章头图并以“大到宇宙天体运行小到质点的运动现实世界中具有周期性变化的现象无处不在”为开篇语再在章前引言中明确提出“三角函数是刻画周期性变化规律的数学模型”这样的安排使得三角函数的作用体现得更加清楚也能使学生更加明确学习三角函数的意义

3．任意角的三角函数可以有不同的定义方法而且各种定义都有自己的特点过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突而且“比值”需要通过运算才能得到这与函数值是一个确定的实数也有不同这些都会影响学生对三角函数概念的理解

本章利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数

如图1设α是一个任意角它的终边与单位圆交于点P（xy）那么

y叫做α的正弦记作sinα即

sinα=y；

x叫做α的余弦记作cosα即

cosα=x

图1

这个定义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系也表明了这两个函数之间的关系另外如果α是弧度数即∠xOP=αrad那么正弦、余弦函数就是关于任意实数α的函数这时的自变量和函数值都是实数这就与数学1中给出的一般函数概念完全一致了事实上在弧度制（这是一种用半径来度量角的方法）下角度和长度的单位是统一的正是这种单位的统一使得我们可以这样来描述这两个函数的对应关系：

把实数轴想象为一条柔软的细线原点固定在单位点A（10）数轴的正半轴逆时针缠绕在单位圆上负半轴顺时针缠绕在单位圆上那么数轴上的任意一个实数（点）t被缠绕到单位圆上的点P（costsint）

基于上述理由我们认为这样的定义可以更好地反映三角函数的本质也正是三角函数的这种形式决定了它们在数学（特别是应用数学）中的重要性事实上后续的内容特别是在微积分中最常用的是弧度制以及弧度制下的三角函数

另外这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接数形结合更加紧密这就为后续内容的学习带来方便也使三角函数更加好用了例如从定义可以方便地推导同角三角函数的关系式、诱导公式、和（差）角公式而且为公式的记忆提供了图形支持；单位圆为讨论三角函数的性质提供了很好的直观载体我们可以借助单位圆直接从定义出发讨论三角函数的性质……

当然这个定义与人们熟悉的用角的终边上点的坐标的“比值”来定义是等价的这正是教科书在1.2.1中安排例2的原因

4．三角函数的诱导公式过去是从求三角函数值引入的把的三角函数与α的三角函数关系作为诱导公式并且把关于的诱导公式作为和（差）角公式的推论给出本教科书改变了这种做法教科书借助单位圆先引导学生讨论了这些角的终边与角α的终边之间的对称关系然后根据三角函数定义导出所有诱导公式这样既能很好地反映诱导公式的本质（圆的对称性的代数表示）又使它们成了一个有机的整体另外去掉了关于的诱导公式（因为它与－α的诱导公式等价）增加了的诱导公式为了使学生尽快熟悉并形成使用弧度制的习惯在诱导公式中全部采用了弧度制

5．正弦、余弦函数按照从函数的定义到作函数图象再到讨论函数性质最后到函数模型应用的顺序展开三角恒等变换不再穿插其中这一顺序与研究其他函数的顺序一致使得三角函数的研究更加简洁．另外把周期性作为第一条性质目的是为了体现它的重要性正切函数先利用诱导公式、单位圆讨论性质然后再利用性质作图象这样做的目的是为了使学生体会可以从不同角度讨论函数性质

6．对函数图象的研究由于涉及的参数有3个因此本章采取先讨论某个参数对图象的影响（其余参数相对固定）再整合成完整的问题解决的方法安排内容具体线索如下：

（1）探索φ对y＝sin（x+φ）的图象的影响；

（2）探索ω对y＝sin（ωx+φ）的图象的影响；

（3）探索A对y＝Asin（ωx+φ）的图象的影响；

（4）上述三个过程的合成

在对上述四个问题的具体讨论中先让学生对参数赋值形成对图象变化的具体认识然后再推广到一般情形

这样安排既分散了难点又使学生形成清晰的讨论线索从中能使学生学习到如何将复杂问题分解为简单问题并“各个击破”然后整合为整个问题的解决的思想方法培养有条理地思考的习惯有利于培养学生的逻辑思维能力

7．“三角函数模型的简单应用”是一个新增内容主要以举例的方式说明三角函数模型的应用方法选择的问题包括：

（1）用已知的三角函数模型解决问题；

（2）将复杂的函数模型转化为等基本初等函数解决问题；

（3）根据问题情景建立精确的三角函数模型解决问题；

（4）通过数学建模利用数据建立拟合函数解决实际问题

安排本节内容的目的是要让学生感受到三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用体验三角函数与日常生活和其他学科的联系以使学生体会三角函数的价值和作用增强应用意识同时还要使学生加深理解有关知识在安排内容时特别注意了数学应用过程的完整性加强了对问题情景和解题思路的分析以及解题后的反思这两个环节这样做可以保持数学应用中的数学思维水平提高学生对相应的思想方法的认知层次培养学生良好的解题习惯

三、编写中考虑的几个问题

1．加强几何直观强调数形结合思想

从三角函数的定义方法可以看出三角函数及其性质与圆有着直接的联系事实上任意角、任意角的三角函数三角函数的性质（周期性、单调性、最大值、最小值等）同角三角函数的关系式诱导公式三角函数的图象等都可以借助单位圆得到认识这也是人们也把三角函数称作“圆函数”的原因因此在三角函数的研究中借助单位圆进行几何直观是非常重要的手段而且这也是使学生领会数形结合思想学会数形结合地思考和解决问题的好机会

为了发挥单位圆在几何直观中的作用教科书在引进弧度制时就渗透了单位圆概念并在讲三角函数概念之前给出单位圆概念然后直接由单位圆引出三角函数定义在后续内容的处理中始终以单位圆作为一个载体

例如三角函数的诱导公式的推导教科书引导学生利用单位圆的对称性通过讨论单位圆上对称点的坐标的关系来发现诱导公式使得诱导公式二~公式六都与单位圆上的对称图形（即角的终边的对称性）联系在一起从而使这五组公式形成一个有机整体．

数形结合的思想表现在由数到形和由形到数两个方面教科书在讨论三角函数的图象和性质时一方面从函数的图象和单位圆中的三角函数线两个角度出发来研究正弦函数、余弦函数的性质另一方面又在讨论正切函数性质的基础上再研究函数的图象．

2．强调三角函数作为刻画现实世界周期变化现象的数学模型的思想

教科书在开篇语中通过列举大量现实世界中的周期变化现象并提出现实问题中不同的变化规律需要不同的函数来刻画而三角函数就是刻画周期变化规律的数学模型这样可以使学生在三角函数的学习之初就明确三角函数的地位作用在研究三角函数的图象、性质时尽量结合物理中的简谐运动等典型实例为了加强数学模型思想教科书专门设置了“三角函数模型的简单应用”一节通过典型实例引导学生经历分析实际问题、建立三角函数模型、用三角函数模型解决问题的基本过程以使学生更好地体会三角函数在解决周期变化现象时的作用例如本节的例4由给出的潮起潮落的变化数据通过作散点图选择函数模型建立函数模型并用得到的函数模型解决有关问题就是一个比较完整的建立三角函数模型解决实际问题的过程通过这样的例子可以使学生用三角函数刻画周期现象的过程与方法

另外本章突出了对三角函数及其性质的研究这条主线对于其他一些细节例如求函数的定义域、值域用同角三角函数的基本关系式、诱导公式进行恒等变形等等都作了淡化处理．

3．通过问题引导学生主动思维使学生得到思维训练

为了引导学生主动思考教科书利用“观察”“思考”“探究”等栏目设置了大量问题这些问题有的是从刻画实际问题的需要而产生的例如任意角概念的引入三角函数图象及其性质的研究函数的图象的研究等更多的是从数学发展内部提出的例如用单位圆上点的坐标定义三角函数后自然要提出圆的性质与三角函数性质之间关系的问题而这个问题恰好是讨论同角三角函数之间的关系、诱导公式以及三角函数的图象与性质的出发点：

同角三角函数的关系与单位圆中直角三角形；诱导公式与圆的对称性；三角函数的周期性与圆周长；三角函数的单调性与单位圆中有向线段的变化规律……总之教科书利用知识的发生发展过程来自然地提出问题引导学生层层深入地进行思考可以使学生得到思维方法上的训练

类比、联系、推广、化归等是数学研究中的常用方法本章努力引导学生学习这些方法例如通过类比长度、重量的不同度量单位引入弧度制；联系一般函数性质的研究思路引出研究三角函数性质的思路；从单位圆上点的坐标表示锐角三角函数推广到任意角的三角函数定义；研究函数的图象按照y=sinx──y=sin（x+φ）──y=sin（φ）──的线索展开体现了从简单到复杂、由特殊到一般的化归方法．

对于那些可以直接类比或经过简单推论就可以得出的结论教科书利用“思考”“探究”栏目通过“留白”的方式让学生自己思考探究而得出结果．例如特殊角的角度与弧度的关系表；三角函数的定义域三角函数值的符号；余弦函数性质的研究；由y=sinx的图象到的图象等等

4．适当使用信息技术

在本章信息技术的使用在如下几个方面得到体现：

一是利用信息技术工具进行角度制、弧度制的单位互换求三角函数值作函数图象等；二是利用信息技术研究问题；三是利用“信息技术使用”栏目提供弹性内容例如在利用计算机通过单位圆中的三角函数线作函数图象时将三角函数的定义、单位圆中的三角函数线、三角函数图象等诸方面紧密联系在一起并通过角的变化将这种联系直观地、动态地表现出来；在三角函数模型的应用中既强调了信息技术工具对数据处理的必要性又突出了信息技术工具在函数作图中的优势还提出了利用信息技术进行函数的拟合；与算法联系设置了“用信息技术制作三角函数表”等等．

考虑到我国各地在数学教学中使用信息技术的不平衡性教科书在使用信息技术上采取了弹性处理即在适宜使用信息技术的地方采用边空注释的方法对信息技术的使用作出提示或说明

四、对教学的几个建议

1．准确把握教学要求

与以往的三角函数内容相比较本章加强了三角函数作为刻画现实世界的数学模型借助单位圆理解三角函数的概念、性质以及通过建立三角函数模型解决实际问题等“标准”对三角函数内容的削减比较多课时量也减少了本章严格按照这种要求删减了任意角的余切、正割、余割三角函数的奇偶性已知三角函数求角反三角函数符号将对三角函数周期性的一般讨论作为选学内容另外任意角概念弧度制概念同角三角函数的基本关系式诱导公式等都降低了要求这样的处理把重点放在使学生理解三角函数及其基本性质体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用上而对一些细枝末节的内容不再作过多要求教学时应当把握好这种变化遵循“标准”所规定的内容和要求不要随意补充已被删减的知识点也不要引进那些繁琐的、技巧性高的变换题目（例如求定义域、值域；已知求α的其他三角函数值；用诱导公式进行复杂变换的问题等）

2．加强相关知识的联系性强调数学思想方法

由于周期现象在现实中广泛存在例如单摆运动、弹簧振子、圆周运动、交流电、音乐、潮汐、波浪、四季变化、生物钟等因此它是物理、地理、生物、天文等其他学科研究的对象这样本章内容与其他学科有紧密联系从数学内部来说三角函数的概念、性质与圆的知识有紧密联系在整个三角函数内容的讨论中单位圆发挥了关键作用因此教学中应充分利用学生的生活经验、其他学科的知识以及关于圆的性质方面的知识使三角函数的学习建立在丰富的背景上

从数学思想方法看本章重点是数学模型思想和数形结合思想教学中应当充分利用章引言提供的情景引导学生从“刻画周期现象的数学模型”的角度来认识三角函数使学生从学习之初就建立起从数学模型的角度看三角函数的意识在此基础上要充分注重运用三角函数模型解决实际问题的教学使学生经历运用三角函数模型描述周期现象、解决实际问题的全过程

前已指出本章讨论的内容都可以用单位圆作为直观工具因此为了更好地体现数形结合思想教学中要充分发挥单位圆的作用并且要注意逐渐使学生形成用单位圆讨论三角函数问题的意识和习惯引导学生自主地用单位圆探索三角函数的有关性质提高分析和解决问题的能力

三角函数是学生在高中阶段系统学习的又一个基本初等函数教学中应当注意引导学生以数学1中学到的研究函数的方法为指导来学习本章知识即要结合三角函数引导学生进一步理解集合与对应观点下的函数概念函数中研究的基本问题和基本思路（根据刻画现实中周期现象的需要引进三角函数来描述周期性变化的规律；在遇到一个新的函数时总要看看它的图象、单调性、有没有特殊取值等等）这样可以使学生学习在高观点指导下进行数学学习与研究的思想方法这对提高学生在学习过程中的数学思维水平是非常有帮助的同样的在讨论的图象时实际上涉及函数变换与图象变换（图象的平移、伸缩与函数变换的关系）需要数形结合思想的指导虽然教师不一定要明确地向学生指出但教学时还是要注意渗透．

3．恰当使用信息技术

在下列内容的教学中应积极鼓励学生使用计算器或计算机以加强知识的发生发展过程加深对有关概念的认识突破学习中可能遇到的困难

（1）终边相同的角的概念的认识；

（2）弧度制的认识弧度与角度的互化非特殊角的三角函数值的计算sin1cos1tan1的使用；

（3）任意角的三角函数的定义用三角函数线表示正弦、余弦和正切函数；

（4）画三角函数的图象用三角函数的图象研究三角函数的性质；

（5）画函数y=Asin（φ）的图象探索A、ω、φ对图象的影响；

（6）根据实际数据拟合函数图象．

学好高中数学也需阅读积累

阅读在语文中要抓住精炼的或生动形象的词与句而在数学中则应抓住关键的词语比如在初二课本第一学期第21章第五节反比例函数性质的第一条：

“当k>0时函数图像的两个分支分别在第一、三象限内在每个象限内自变量x逐渐增大时y的值则随着逐渐减小rdquo高中历史;这句话中关键词语是“在每个象限内”反比例函数的图像为双曲线而这个性质是对于其中某一分支而言并不是对整个函数来说的所以在做题时应注意到这一点从这一实例来看我们不难发现阅读时抓住关键词语的重要性

积累在语文中有利于写作在数学中有利于解题积累包括两方面：

一、概念知识二、错误的题目脑子中多一些概念就多了一些思考的方法多了一些解题的突破口在做较难的题目时也就得心应手了积累错误的题目指挑选一些自己平时易错或难懂的题目记在本子上在复习时翻看这本本子就能更加清楚地了解自己在些方面还有所欠缺应特别注意所以积累对学好数学起着极大的作用

高考数学复习法：

“拉车”也要“抬头看路”

编者按：

小编为大家收集了“高考数学复习法：

“拉车”也要“抬头看路””供大家参考希望对大家有所帮助

“不但要会埋头拉车还要会抬头看路”是我对高考数学复习的一贯见解高考是一场成王败寇的残酷竞争它是公平的也是不公平的说高考公平是因为所有人都将面对同样的时间、知识、试卷;说高考不公平是因为对每个人来说信息并不对称——对高考分析透彻的人自然拥有更高的复习效率必然会取得更出色的成绩

这里我强调的并不是高中的基础知识掌握程度而是复习的效率问题谁的基础知识更牢固谁将取得更好的高考成绩这是一个铁的事实但它是建立在“所有人的复习效率都是相同的”这个假设之下的所以大家经常可以看到有些高考考生学的呕心沥血却永远只是中游水平而另一些高考生拥有大量的休闲活动却仍然能名列前茅

造成这种现象的原因很多人会归结为“智商”和“运气”我也不否认这两方面的因素但最主要的原因还是效率问题：

两个高考生同样学了一个小时的数学一个人领悟了一个高考非常容易考到的重点内容而另一个人啃下了一个非常难于理解的但是高考从来没有考过的难点内容那么这样日积月累下来第一个人对高考真题考点的掌握就会远高于后者这就是我说的“不但要会埋头拉车还要会抬头看路”的意思“拉车”就是指认真的复习而“看路”则是指认清高考考察的重点把握住高考复习的方向“拉车”基本上是每个高三学生都能够作到的但是“看路”就不尽然了起早贪黑却劳而无功的高考生都是没有解决好复习方向的问题没有看好“路”

现在这个阶段是高三文科刚开始复习而理科将近结课的阶段属于高考复习的初期这一阶段给大家的建议是：

第一：

先看一下近三、五年的高考真题并不要去做这些高考真题而是要从中分析出那些是真正的高考考点从而为整个一年的高考复习定下一个正确的基调

无法分清考点的轻重是最常见的问题比如高考中《函数》与《导数》两部分的关系就是一个非常容易使人混乱的地方《函数》是高一的重点章节学校会反复强调它的重要性说它在高考中占多少多少比例等等而《导数》则只是高三中的一个辅助章节尤其是文科它的章节比重很小学校强调的也不够这就给大家一个错觉就是函数比导数重要但是事实上在真正的高考中它们两者的位置恰恰相反函数的考查只有3至4道小题而且都位于试卷前几道题十分简单其它问题虽然大量使用函数思想但是对同学们解题没有实质上的影响反观导数它在高考中直接占有一道大题特别是07年的文科试题它取代了《数列》的地位成为了倒数第二位的14分难题同时只要遇到“函数单调性”“极值”“最值”“值域相关问题”“切线问题”等都要使用导数知识进行解决当然函数的单调、极值等可以用《函数》知识处理但比起导数来说这是十分烦琐的

所以说导数的地位要远比函数来的重要这一问题往往是影响大家高考复习效率的一个关键问题发现它并不需要“智商”和“运气”只要看一遍近几年高考真题即可这就是我第一条建议的重点所在

第二：

分析自己的实力特征果断对知识点进行取舍高考是选拔性的考试并不要求我们在某个单科中考出满分只要高考总成绩能够胜出就可以所以我们一定要根据自己的水平对整个高考复习作一个规划07年天津市理科状元的数学成绩只有138分并不是传奇的150他其他的高考科目也都是很高但远没达到最高这就说明了我们要合理分配自己的精力使自己的能力得以最大的发挥这一点就是要告戒大家千万不能偏科我们身边经常有一些高考考生他们某几门学科成绩十分优异（高于状元）但总成绩只能达到中游或中上的水平他们最大的问题就是时间分配如果他们节省出一部分花在强势学科上的时间转移到弱势学科上他们必将取得更好的成绩

第三：

正确对待模拟考试与模拟题如果已经看过高考真题的同学很容易发现高考真题与模拟题有着天壤之别大多数模拟题尤其是出自低级别地方的根本无法达到高考真题的水平做它们是无法反映大家在高考中的表现的所以大家在现阶段应该首先看“题”是否值得作再看作的是否好这才是正确的方法

以上就是为大家提供的“高考数学复习法：

“拉车”也要“抬头看路””希望能对考生产生帮助更多资料请咨询中考频道

xx年高考数学复习：

极限思想解题步骤

XX年高考将于6月7日、8日举行高考频道编辑为广大考生整理了高考数学考试重点及常用公式帮助大家有效记忆

高考数学解题思想：

极限思想

极限思想是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想极限思想解决问题的一般步骤为：

（1）对于所求的未知量先设法构思一个与它有关的变量;

（2）确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;（3）构造函数（数列）并利用极限计算法则得出结果或利用图形的极限位置直接计算结果

例8已知点A（0,■）,B（0,■）,C（4+■,0）其中n为正整数设Sn表示△ABC外接圆的面积则■Sn=

分析：

本题的一般解题方法为求出△ABC的外接圆Sn的表达式再根据数列极限的计算法则得出结果这一方法有一定的运算量如果我们能根据图形看出当n→∞时△ABC的极限位置是一条线段其端点坐标为M（0,0）N（4,0）,故它的外接圆有极限位置是以为MN直径的圆

解：

■Sn=4π

例9将直线l1:

nx+yn=0、l2:

x+nyn=0（n∈N?

鄢）、x轴、y轴围成的封闭区域的面积记为Sn则■Sn=

分析：

将直线l1,l2的方程化为l1:

y=n（x1）l2:

y=■x+1,当n→∞时它们的极限位置分别为直线x=1和直线y=1于是它们与x,y轴围成的图形是边长为1的正方形

解：

■Sn=1

高中数学定理公式口诀记忆法（三）

五、《复数》

虚数单位i一出数集扩大到复数一个复数一对数横纵坐标实虚部

对应复平面上点原点与它连成箭箭杆与X轴正向所成便是辐角度

箭杆的长即是模常将数形来结合代数几何三角式相互转化试一试

代数运算的实质有i多项式运算i的正整数次慕四个数值周期现

一些重要的结论熟记巧用得结果虚实互化本领大复数相等来转化

利用方程思想解注意整体代换术几何运算图上看加法平行四边形

减法三角法则判;乘法除法的运算逆向顺向做旋转伸缩全年模长短

三角形式的运算须将辐角和模辨利用棣莫弗公式乘方开方极方便

辐角运算很奇特和差是由积商得四条性质离不得相等和模与共轭

两个不会为实数比较大小要不得复数实数很密切须注意本质区别

六、《排列、组合、二项式定理》

加法乘法两原理贯穿始终的法则与序无关是组合要求有序是排列

两个公式两性质两种思想和方法归纳出排列组合应用问题须转化

排列组合在一起先选后排是常理特殊元素和位置首先注意