数理统计课件-方差分析.ppt

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第四章方差分析第一节第一节方差分析的基本问题方差分析的基本问题第二节第二节单因素方差分析单因素方差分析第三节第三节双因素方差分析双因素方差分析如某种农作物的收获量受作物品种、如某种农作物的收获量受作物品种、肥料种类及数量等的影响；选择不同肥料种类及数量等的影响；选择不同的品种、的品种、肥料种类及数量进行试验，肥料种类及数量进行试验，日常生活中经常发现，影日常生活中经常发现，影响一个事物的因素很多，响一个事物的因素很多，希望找到影响最显著的因希望找到影响最显著的因素素看哪一个影响大？

并需要知道看哪一个影响大？

并需要知道起显著作用的因素在什么时候起显著作用的因素在什么时候起最好的影响作用。

起最好的影响作用。

方差分析就是解决这方差分析就是解决这些问题的些问题的一种有效方法。

一种有效方法。

ANOVAANOVA由英国统计由英国统计学家学家R.A.FisherR.A.Fisher首创，首创，为纪念为纪念FisherFisher，以，以FF命命名，故方差分析又称名，故方差分析又称FF检验检验（FFtesttest）。

用）。

用于推断于推断多个总体均数多个总体均数有有无差异无差异因素（因子）可以控制的试验条件因素的水平因素所处的状态或等级单（双）因素方差分析讨论一个（两个）因素对试验结果有没有显著影响。

例如：

某厂对某种晴棉漂白工艺中酸液浓度（例如：

某厂对某种晴棉漂白工艺中酸液浓度（g/kg/k）进进行试验，以观察酸液浓度对汗布冲击强力有无显著影行试验，以观察酸液浓度对汗布冲击强力有无显著影响。

响。

序号序号冲击强力冲击强力浓度浓度123456A116.215.115.814.817.115.0A216.817.517.115.918.417.7A319.020.118.918.220.519.7方差分析就是把总的方差分析就是把总的试验数据的波动分成试验数据的波动分成1、反映、反映因素水平因素水平改变引起的波动。

改变引起的波动。

2、反映、反映随机因素随机因素所引起的波动。

所引起的波动。

然后加以比较进行统然后加以比较进行统计判断，得出结论。

计判断，得出结论。

第一节方差分析的基本问题一、方差分析的内容一、方差分析的内容二、方差分析的基本思想二、方差分析的基本思想三、方差分析的原理三、方差分析的原理一、方差分析的内容该饮料在五家超市的销售情况该饮料在五家超市的销售情况该饮料在五家超市的销售情况该饮料在五家超市的销售情况超市超市超市超市无色无色无色无色粉色粉色粉色粉色橘黄色橘黄色橘黄色橘黄色绿色绿色绿色绿色112233445526.526.528.728.725.125.129.129.127.227.231.231.228.328.330.830.827.927.929.629.627.927.925.125.128.528.524.224.226.526.530.830.829.629.632.432.431.731.732.832.8

（一）例题一）例题一）例题一）例题某饮料生产企业研制出一种新型饮料。

饮料的颜色共有四种，分别为某饮料生产企业研制出一种新型饮料。

饮料的颜色共有四种，分别为橘黄橘黄色色、粉色粉色、绿色绿色和无色透明。

这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可和无色透明。

这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同。

现从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级能影响销售量的因素全部相同。

现从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一时期该饮料的销售情况，见表。

试分析饮料的颜色是否对销市场上收集了前一时期该饮料的销售情况，见表。

试分析饮料的颜色是否对销售量产生影响。

售量产生影响。

一、方差分析的内容

（二）几个基本概念

（二）几个基本概念1.1.因素或因子因素或因子所要检验的对象称为因子所要检验的对象称为因子要要分分析析饮饮料料的的颜颜色色对对销销售售量量是是否否有有影影响响，颜颜颜颜色色色色是是要要检检验验的的因因素素或或因子因子2.水平水平因素的具体表现称为水平因素的具体表现称为水平AA11、AA22、AA33、AA44四种颜色就是因素的水平四种颜色就是因素的水平3.观察值观察值在每个因素水平下得到的样本值在每个因素水平下得到的样本值每种颜色饮料的销售量就是观察值每种颜色饮料的销售量就是观察值一、方差分析的内容4.4.试验这这里里只只涉涉及及一一个个因因素素，因因此此称称为为单单因因素素四四水水平平的的试验试验5.5.总体因素的每一个水平可以看作是一个总体因素的每一个水平可以看作是一个总体比比如如AA11、AA22、AA33、AA44四四种种颜颜色色可可以以看看作作是是四四个个总总体体6.样本数据上上面面的的数数据据可可以以看看作作是是从从这这四四个个总总体体中中抽抽取取的的样样本数据本数据

（一）比较两类误差，以检验均值是否相等

（二）比较的基础是方差比（三）如果系统（处理）误差显著地不同于随机误差，则均值就是不相等的；反之，均值就是相等的（四）误差是由各部分的误差占总误差的比例来测度的二、方差分析的基本思想三、方差分析的原理

（一）两类误差1.随机误差随机误差随机误差随机误差在在因因素素的的同同一一水水平平（同同一一个个总总体体）下下，样样本本的的各各观观察察值值之之间间的差异的差异比如，同一种颜色的饮料在不同超市上的销售量是不同的比如，同一种颜色的饮料在不同超市上的销售量是不同的不不同同超超市市销销售售量量的的差差异异可可以以看看成成是是随随机机因因素素的的影影响响，或或者者说是由于抽样的随机性所造成的，称为说是由于抽样的随机性所造成的，称为随机误差随机误差随机误差随机误差2.2.系统误差系统误差系统误差系统误差在因素的不同水平在因素的不同水平（不同总体不同总体）下，各观察值之间的差异下，各观察值之间的差异比如，同一家超市，不同颜色饮料的销售量也是不同的比如，同一家超市，不同颜色饮料的销售量也是不同的这这种种差差异异可可能能是是由由于于抽抽样样的的随随机机性性所所造造成成的的，也也可可能能是是由由于于颜颜色色本本身身所所造造成成的的，后后者者所所形形成成的的误误差差是是由由系系统统性性因因素素造成的，称为造成的，称为系统误差系统误差系统误差系统误差三、方差分析的原理

（二）

（二）两类方差1.1.组内方差组内方差因素的同一水平因素的同一水平（同一个总体同一个总体）下样本数据的方差下样本数据的方差比如，无色饮料比如，无色饮料AA11在在55家超市销售数量的方差家超市销售数量的方差组内方差只包含组内方差只包含随机误差随机误差随机误差随机误差2.2.组间方差组间方差因素的不同水平因素的不同水平（不同总体不同总体）下各样本之间的方差下各样本之间的方差比比如如，AA11、AA22、AA33、AA44四四种种颜颜色色饮饮料料销销售售量量之之间间的的方差方差组间方差既包括组间方差既包括随机误差随机误差随机误差随机误差，也包括，也包括系统误差系统误差系统误差系统误差三、方差分析的原理（三）（三）方差的比较方差的比较如如果果不不同同颜颜色色（水水平平）对对销销售售量量（结结果果）没没有有影影响响，那那么么在在组组间间方方差差中中只只包包含含有有随随机机误误差差，而而没没有有系系统统误误差差。

这这时时，组组间间方方差差与与组组内内方方差差就就应应该该很很接接近近，两两个个方方差差的的比比值值就就会会接接近近11。

如如果果不不同同的的水水平平对对结结果果有有影影响响，在在组组间间方方差差中中除除了了包包含含随随机机误误差差外外，还还会会包包含含有有系系统统误误差差，这这时时组组间间方方差差就就会会大大于于组内方差，组间方差与组内方差的比值就会大于组内方差，组间方差与组内方差的比值就会大于11。

当当这这个个比比值值大大到到某某种种程程度度时时，就就可可以以说说不不同同水水平平之之间间存存在在着显著差异。

着显著差异。

三、方差分析的原理（四）（四）基本假定基本假定1.1.每个总体都应每个总体都应服从正态分布服从正态分布对对于于因因素素的的每每一一个个水水平平，其其观观察察值值是是来来自自服服从从正正态态分分布布总总体体的的简单随机样本简单随机样本比如，每种颜色饮料的销售量必需服从正态分布比如，每种颜色饮料的销售量必需服从正态分布2.2.各个总体的各个总体的方差必须相同方差必须相同对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取的对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取的比如，四种颜色饮料的销售量的方差都相同比如，四种颜色饮料的销售量的方差都相同3.3.观察值是观察值是独立独立的的比如，每个超市的销售量都与其他超市的销售量独立比如，每个超市的销售量都与其他超市的销售量独立三、方差分析的原理在上述假定条件下，判断颜色对销售量是否有显著影响，实际上也就是检验具有同方差的四个正态总体的均值是否相等的问题如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本的均值也会很接近11、四四个个样样本本的的均均值值越越接接近近，我我们们推推断断四四个个总总体体均均值值相等的证据也就越充分相等的证据也就越充分22、样样本本均均值值越越不不同同，我我们们推推断断总总体体均均值值不不同同的的证证据据就越充分就越充分三、方差分析的原理33、如果原假设成立，即、如果原假设成立，即HH00:

11=22=33=44四种颜色饮料销售的均值都相等四种颜色饮料销售的均值都相等没有系统误差没有系统误差这意味着这意味着每个样本都来自均值为每个样本都来自均值为、差为、差为22的的同一正态总体同一正态总体XXXf（X）f（X）f（X）1111222233334444三、方差分析的原理44、如果备择假设成立，即、如果备择假设成立，即HH11:

ii（ii=1=1，22，33，4）4）不全相等不全相等至少有一个总体的均值是不同的至少有一个总体的均值是不同的有系统误差有系统误差这意味着四个样本分别来自均值不同的四个正态总体这意味着四个样本分别来自均值不同的四个正态总体XXXf（X）f（X）f（X）3333111122224444第二节单因素方差分析一、数据结构二、单因素方差分析的步骤三、单因素方差分析中的其它问题XXXf（X）f（X）f（X）1111222233334444一、数据结构观察值观察值观察值观察值（jj）因素因素因素因素（AA）ii水平水平水平水平AA11水平水平水平水平AA22水平水平水平水平AAkk12:

nx11x12x1kx21x22x2k:

xn1xn2xnk二、单因素方差分析的步骤

（一）提出假设

（一）提出假设

（一）提出假设

（一）提出假设

（二）构造检验统计量

（二）构造检验统计量

（二）构造检验统计量

（二）构造检验统计量（三）统计决策（三）统计决策（三）统计决策（三）统计决策二、单因素方差分析的步骤

（一）提出假设1、一般提法HH00:

11=22=kk（因素有因素有kk个水平）个水平）HH11:

11，22，kk不全相等不全相等2、对前面的例子HH00:

11=22=33=44颜色对销售量没有影响颜色对销售量没有影响HH00:

11，22，33，44不全相等不全相等颜色对销售量有影响颜色对销售量有影响二、单因素方差分析的步骤

（二）构造检验统计量1、为检验H0是否成立，需确定检验的统计量2、构造统计量需要计算水平的均值水平的均值全部观察值的总均值全部观察值的总均值离差平方和离差平方和均方均方（MSMS）二、单因素方差分析的步骤假假定定从从第第ii个个总总体体中中抽抽取取一一个个容容量量为为nnii的的简简单单随随机机样样本本，第第