数学物理方法(梁昆淼)总复习.ppt

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指数表示法一.复平面上复数的表示方法直角坐标表示法三角表示法二二解析函数解析函数函数函数函数函数在在在在DD内解析的充要条件：

内解析的充要条件：

内解析的充要条件：

内解析的充要条件：

b:

b:

及及及及在在在在DD内处处满足内处处满足内处处满足内处处满足C-RC-R条件条件条件条件a:

a:

及及及及在在在在DD内处处可微内处处可微内处处可微内处处可微处处连续极坐标直角坐标三三复变函数的积分复变函数的积分柯西柯西定理定理公式公式定理单通复通解析函数公式第一类情形第一类情形：

沿非闭合曲线的积分沿非闭合曲线的积分a:

若不解析b:

若在闭单通区域上解析，求原函数来计算积分求路径积分第二类情形：

沿闭合围道的积分第二类情形：

沿闭合围道的积分（在闭单通区域上解析）在闭单通区域上解析）（在闭单通区域上解析且在闭单通区域上解析且为该区域上的内点）为该区域上的内点）留数定理，单极点留数定理，n阶极点柯西公式和柯西公式和留数定理是留数定理是可以统一起可以统一起来的！

来的！

四四留数定理留数定理次方项的系数留数1.有限远点的留数有限远点的留数2.留数定理留数定理.b1.b2.bn.全平面的留数定理：

函数在全平面上所有各点的留数之和为零3留数的计算（注意判断奇点的类型）

（1）可去奇点奇点邻域内的洛朗展开无负幂项，有限远点

（2）极点单极点m阶极点如何判断极点的阶：

非零有限值（3）本性奇点：

将在的去心邻域上作洛朗展开，求1次方的系数，或用全平面留数定理五.洛朗展开常用初等函数的常用初等函数的Tayler展开式展开式六六.孤立奇点的分类：

孤立奇点的分类：

（根据孤立奇点的去（根据孤立奇点的去心领域内洛朗级数的性质）心领域内洛朗级数的性质）可去奇点可去奇点：

内的洛朗级数不含有的负幂项极点极点：

内的洛朗级数仅含有有限个的负幂项M阶阶极点极点本性奇点本性奇点内的洛朗级数含有无限个的负幂项不存在不存在如何判断极点的阶如何判断极点的阶七七利用留数定理计算实变定积分利用留数定理计算实变定积分第一类：

第二类：

特点：

被积函数的积分区间（，），在实轴上无无奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的。

当在上半平面和实轴上时，一致地第三类：

被积函数的积分区间，,偶函数和奇函数在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当在上半平面或实轴上时，和一致地趋于零八八奇函数和偶函数的傅立叶级数奇函数和偶函数的傅立叶级数奇函数只有正弦项偶函数只有余弦项九九函数函数1挑选性挑选性傅立叶积分傅立叶积分2函数的函数的十十.数学物理定解问题数学物理定解问题A.几个重要的泛定方程1.弦的横振动方程和杆的纵振动方程弦的横振动方程和杆的纵振动方程（自由振动自由振动）弦的横振动方程和杆的纵振动方程弦的横振动方程和杆的纵振动方程（受迫振动受迫振动）每单位长度的弦所受的横向力每单位长度单位横截面积的杆所受的纵向外力2.一维的无源扩散方程和热传导方程（输运方程）一维的无源扩散方程和热传导方程（输运方程）一维的有源热传导方程一维的有源热传导方程单位时间在单位长度上产生的热量3静电场方程有源：

有源：

泊松方程无源：

无源：

拉普拉斯方程B定解条件1.初始条件:

热传导方程1个初始条件波动方程2个初始条件2.边界条件第一类边界条件第三类边界条件第二类边界条件第二类边界条件:

若为自由振动自由振动例1作纵振动的杆例2细杆导热问题流出流入达朗贝尔公式适用的问题1无界区间内的自由振动问题无界区间内的自由振动问题齐次的泛定方程半无界区间内的自由振动问题半无界区间内的自由振动问题一齐2奇延拓二齐3偶延拓半无界区间内的自由振动问题半无界区间内的自由振动问题十一分离变数法有界区间I第一类问题第一类问题:

齐次的泛定方程II第二类问题第二类问题:

非齐次的泛定方程1.边界条件为“一齐”2.边界条件为“二齐”3.边界条件为“混齐”44极坐标系中拉普拉斯方程带有周期性边界条件II第三类问题第三类问题:

非齐次的边界条件a.波动问题通解通解系数b.输运问题通解通解系数2.边界条件为“二齐”本征值本征值本征函数本征函数a.波动问题通解通解系数b.输运问题通解通解系数3.边界条件为“混齐”本征值本征值本征函数本征函数1221a.波动问题12或21122112211221b.输运问题12或211221通解系数12214极坐极坐标系中系中拉普拉斯方程带有周期性边界条件本征值本征函数通解I第二类问题第二类问题:

非齐次的泛定方程方法一：

傅立叶级数法方法二：

冲量定理法冲量定理法适用的定解问题冲量定理法适用的定解问题初始条件必须为初始条件必须为0齐次边界条件齐次边界条件非齐次的输运方程也适用（齐次边界条件和初始条件为0）波动方程波动方程解题模式解题模式1转化2求的解3原问题的解阶勒让德多项式阶勒让德多项式A：

表达式查表不超过的最大整数记忆：

十二.球函数B：

勒让德多项式的微分表示和积分表示勒让德多项式的微分表示和积分表示微分表示微分表示积分表示积分表示C：

勒让德多项式的正交关系勒让德多项式的正交关系D：

勒让德多项式的模勒让德多项式的模E:

以勒让德多项式为基，将以勒让德多项式为基，将上的函数上的函数展展开为广义傅立叶级数开为广义傅立叶级数系系数数勒让德多项式的应用拉普拉斯方程的轴对称定解问题拉普拉斯方程的轴对称定解问题边界条件与边界条件与无关无关通解例：

在均匀电场中放入导体球或介质球（作业题和例题）F:

勒让德多项式的母函数勒让德多项式的母函数例：

在点电荷的电场中放入导体球或介质球（例例：

在点电荷的电场中放入导体球或介质球（例题）题）阶连带勒让德函数阶连带勒让德函数A：

表达式记忆：

B：

连带勒让德函数的微分表示和积分表示：

连带勒让德函数的微分表示和积分表示微分表示微分表示积分表示积分表示C：

连带勒让德函数的模：

连带勒让德函数的模

（1）4一般的球函数一般的球函数A：

表达式：

两个线性独立的解，可以取其中任何一个

（1）

（2）复数形式的球函数复数形式的球函数可以取负值（个）BB：

球函数的模：

球函数的模

（1）

（2）复数形式球函数的模连带勒让德函数的应用拉普拉斯方程的非轴对称定解问题拉普拉斯方程的非轴对称定解问题边界条件与边界条件与有关有关通解