最新人教版高中数学必修五教案全集名师优秀教案.docx
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最新人教版高中数学必修五教案全集名师优秀教案
（人教版）高中数学必修五教案全集
通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦
定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜
三角形的两类基本问题。
让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊
到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运
算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三
角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间
的普遍联系与辩证统一。
重点：
正弦定理的探索和证明及其基本应用。
难点：
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
学法：
引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：
abc，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关,,ABCsinsinsin
系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现
向量知识的简捷，新颖。
教学用具：
直尺、投影仪、计算器
如图1．1-1，固定
ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点,，C转动。
A
思考：
C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
，
显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。
能否，
3
用一个等式把这种关系精确地表示出来？
（图1．1-1）
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角
三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在RtABC中，设,
aBC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，A,sincbc，又,ABC,sinsin1,,cc
abc则bc,,,ABCsinsinsin
c
abc从而在直角三角形ABC中，Ca,,ABCsinsinsin
B
（图1．1-2）
思考：
那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当
ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据,
ab任意角三角函数的定义，有CD=,则，aBbAsinsin,,ABsinsin
C
cb同理可得，b,CBsinsin
a
abc从而A,,ABCsinsinsin
cB
4
（图1．1-3）
思考：
是否可以用其它方法证明这一等式？
由于涉及边长问题，从而
可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：
过点A作jAC,，C
由向量的加法可得ABACCB,，
则jABjACCB,,,，（）A
B
?
jABjACjCB,,,，,j
00jABAjCBCcos900cos90,,，,，，，，
ac?
，即cAaCsinsin,sinsinAC
bc同理，过点C作jBC,,，可得sinsinBC
abc从而,,ABCsinsinsin
类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。
（由学,
生课后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，
即
abc,,ABCsinsinsin
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比
例系数为同一正数，即存在正数k使，，；akA,sinbkB,sinckC,sin
5
abcabcbac
（2）等价于，，,,,,,ABCABCBACsinsinsinsinsinsinsinsinsin
从而知正弦定理的基本作用为：
bAsin?
已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；a,sinB
?
已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，
a如。
ABsinsin,b
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作
。
例1．在00中，已知，，cm，解三角形。
A,32.0B,81.8,ABCa,42.9
解：
根据三角形内角和定理，
0CAB,,，180（）
000,,，180（32.081.8）
0；,66.2
根据正弦定理，
0aBsin42.9sin81.8；bcm,,,80.1（）0sinAsin32.0
根据正弦定理，
0aCsin42.9sin66.2ccm,,,74.1（）.0sinAsin32.0
评述：
对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
0例2．在中，已知cm，cm，，解三角形（角A,40,ABCa,20b,28
0度精确到，边长精确到1cm）。
1
6
解：
根据正弦定理，
0bAsin28sin40sin0.8999.B,,,a20
0000因为＜＜，所以，或0180B,64B,116.B
0?
当时，B,64
00000CAB,,，,,，,180（）180（4064）76，
0aCsin20sin76ccm,,,30（）.0sinAsin40
0?
当时，B,116
00000CAB,,，,,，,180（）180（40116）24，
0aCsin20sin24ccm,,,13（）.0sinAsin40
评述：
应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两
解的情形。
第5页练习第1
（1）、2
（1）题。
例3．已知abc，，0,60a,3ABC中，A，,求,，ABC，，sinsinsin
abc分析：
可通过设一参数k（k>0）使,k,,,ABCsinsinsin
abcabc，，证明出,,,ABCABC，，sinsinsinsinsinsin
abc解：
设kk,,,（>o）ABCsinsinsin
则有，，akA,sinbkB,sinckC,sin
abc，，kAkBkCsinsinsin，，从而==kABC，，sinsinsinABC，，sinsinsin
3aabc，，又，所以=2,,2k,0AABC，，sinsinsinsinsin60
评述：
在ABC中，等式,abcabc，，,,kk,,,0，，ABCABC，，sinsinsinsinsinsin
恒成立。
7
已知ABC中，，求,sin:
sin:
sin1:
2:
3ABC,abc:
:
（答案：
1：
2：
3）
（由学生归纳总结）
abcabc，，
（1）定理的表示形式：
；,,kk,,,0，，ABCABC，，sinsinsinsinsinsin
或，，（0）k,akA,sinbkB,sinckC,sin
（2）正弦定理的应用范围：
?
已知两角和任一边，求其它两边及一角；?
已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
?
课后思考题：
（见例3）在abcABC中，，这个kk,,,,（>o）ABCsinsinsin
k与ABC有什么关系？
?
课时作业：
第10页[习题1.1]A组第1
（1）、2
（1）题。
掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量
方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实
践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，
培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运
8
算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，
来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
重点：
余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；难点：
勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
学法：
首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量
化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一
边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。
从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的
角
教学用具：
直尺、投影仪、计算器
如图1．1-4，在
ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,,
已知a,b和C，求边cb，
AcB图1．1-4）
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
9
A
如图1．1-5，设CAb,cab,,CBa,，，ABc,，那么，则b
c
2cccabab,,,,,，，，，
,，,,,2aabbabCa22,，,,2abab
B
从而222cababC,，,2cos（图1．1-5）
222同理可证abcbcA,，,2cos
222bacacB,，,2cos
于是得到以下定理
：
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减
去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即
222abcbcA,，,2cos
222bacacB,，,2cos
222cababC,，,2cos思考：
这个式子中有几个量？
从方程的角度看已知其中三个量，可以
求出第四个量，能否由三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
222bca，,cosA,2bc
222acb，,cosB,2ac
222bac，,cosC,2ba
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
?
已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
10
?
已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：
勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦
定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理
之间的关系？
（由学生总结）若0222ABC中，C=，则，这时90cab,，,cos0C,
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
例1．在0ABC中，已知，，，求b及Aa,23c,，62B,60,
222?
解：
?
bacacB,，,2cos
220=（23）（62）223（62），，,,,，cos45
2=12（62）43（31），，,，
=8
?
b,22.
求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
A
222222bca，,，，,（22）（62）（23）1?
解法一：
?
cosA,,,,22bc222（62），，，
0?
A,60.
a230解法二：
?
sinAB,,,sinsin45,b22
又?
62，＞2.41.43.8,，,
23＜21.83.6,，,
00?
ac＜，即＜＜90,0A
0?
A,60.
评述：
解法二应注意确定A的取值范围。
11
例2．在ABC中，已知，，，解三角形,acm,134.6bcm,87.8ccm,161.7
（见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解）
解：
由余弦定理的推论得：
222cosbca，,A,2bc
22287.8161.7134.6，,,287.8161.7，，
0.5543,
0,；A,5620
222cab，,cosB,2ca
222134.6161.787.8，,,2134.6161.7，，
0.8398,
0,；B,3253
0000,,CAB,,，,,，180（）180（56203253）
0,,9047.
第8页练习第1
（1）、2
（1）题。
2220在abcbc,，，ABC中，若，求角A（答案：
A=120）,
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是
余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：
?
．已知三边求三角；?
．已知两边及
它们的夹角，求第三边。
?
课后阅读：
课本第9页[探究与发现]?
课时作业：
第11页[习题1.1]A组第3
（1），4
（1）题。
12
掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形
时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角
形面积定理的应用。
通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会
综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形
问题。
通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形
的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条
件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。
重点：
在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或
一解或无解等情形；
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
难点：
正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
学法：
通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决
方法。
教学用具：
教学多媒体设备
13
0思考：
在ABC中，已知，，，解三角形。
A,133,acm,22bcm,25（由学生阅读课本第9页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角
解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。
下面进一步来研究这
种情形下解三角形的问题。
在
ABC中，已知，讨论三角形解的情况abA,,,
bAsin分析：
先由可进一步求出B；sinB,a
0则CAB,,，180（）
aCsin从而c,A
1．当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解。
ab,2．当A为锐角时，
如果a?
，那么只有一解；b
如果，那么可以分下面三种情况来讨论：
ab,
（1）若，则有两解；abA,sin
（2）若，则只有一解；abA,sin
（3）若，则无解。
abA,sin
（以上解答过程详见课本第910页）
评述：
注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形
时，只有当A为锐角且
时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
bAabsin,,
14
0
（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解，,A45,a,80b,100
的情况。
10
（2）在ABC中，若，，，则符合题意的b的值有_____，,C40,a,1c,2
个。
0（3）在axcm,ABC中，，，，如果利用正弦定理解三，,B45,bcm,2
角形有两解，求x的取值范围。
（答案：
（1）有两解；
（2）0；（3）222,,x）
在ABC中，已知，，，判断ABC的类型。
,a,7b,5c,3
分析：
由余弦定理可知
222abcA,，,,,是直角ABC是直角三角形222abcA,，,,,是钝角ABC是钝角三角形222abcA,，,,是锐角,ABC是锐角三角形
（注意：
A是锐角,,ABC是锐角三角形）
222222解：
753,，abc,，，即，
?
。
ABC是钝角三角形
（1）在ABC中，已知，判断ABC的类型。
sin:
sin:
sin1:
2:
3ABC,,
（2）已知ABC满足条件，判断ABC的类型。
aAbBcoscos,,（答案：
（1）；
（2）ABC是等腰或直角三角形）,ABC是钝角三角形,
3abc，，0在A,60ABC中，，，面积为，求的值,b,12ABC，，sinsinsin
111分析：
可利用三角形面积定理以及sinsinsinSabCacBbcA,,,222
正弦定理
abcabc，，,,,ABCABC，，sinsinsinsinsinsin
15
13解：
由得，sinSbcA,,c,222
222则3，即，abcbcA,，,2cosa,3
abc，，a从而,,2ABC，，Asinsinsinsin
（1）在ABC中，若，，且此三角形的面积，求角S,2203,a,55b,16C
222abc，,
（2）在ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积，S,,4
求角C
000（答案：
（1）60或120；
（2）45）
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或
一解或无解等情形；
（2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用。
（课时作业）
（1）在0B,30ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的,b,4c,10情况。
（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。
（3）在0A,60ABC中，，，，判断ABC的形状。
bc，,2,a,1（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程25760xx,,,的根，
求这个三角形的面积。
16
（a）知识与技能：
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一
些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语（b）过程与方法：
首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的
几节课做良好铺垫。
其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——
引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根
据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同
时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比
解决实际问题。
对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多
种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正（c）情感与价值：
激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学
问题的能力
由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三
角形，得到实际问题的解
根据题意建立数学模型，画出示意图让学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角
形，让学生尝试绘制知识纲目图。
生活中错综复杂的问题本源仍然是
17
我们学过的定理，因此系统掌握前一节内容是学好本节课的基础。
解
有关三角形的应用题有固定的解题思路，引导学生寻求实际问题的本
质和规律，从一般规律到生活的具体运用，这方面需要多琢磨和多体
会。
直角板、投影仪（多媒体教室）
复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三
角形？
请学生回答完后再提问：
前面引言第一章“解三角形”中，我们
遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？
”
在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什
么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？
我们知道，对于未知的距离、高
度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、
相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在
实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。
如因为没有足够
的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限
性。
于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。
今天我们开
始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何
测量距离。
3
18
（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出
图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的
边、角，通过建立数学模型来求解
（2）例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，
测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，
BAC=，ACB=。
求A、B两点的距离（精确到0.1m），，51:
75:
启发提问1：
ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较,
适当？
启发提问2：
运用该定理解题还需要那些边和角呢？
请学生回答。
分析：
这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间
的距离的问题题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。
解：
根据正弦定理，得
ACAB=sin，ACBsin，ABC
ACsin，ACBAB=sin，ABC
55sin，ACB=sin，ABC
19
55sin75:
=sin（180:
51:
75:
）
55sin75:
=sin54:
?
65.7（m）
答:
A、B两点间的距离为65.7米
变式练习：
两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A
在观察站C的北偏东30:
:
，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之
间的距离为多少？
老师指导学生画图，建立数学模型。
解略：
akm2
例2、（动画演示辅助点和辅助线）如图，A、B两点都在河的对岸（不
可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。
分析：
这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测
量问题。
首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。
根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分
别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。
解：
测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得
BCA=，,，
20
ACD=，CDB=，BDA=，在ADC和BDC中，应用正弦,,，，，,,,
定理得
AC=asin（,，,）asin（,，,）=sin[180:
（,，,，,）]sin（,，,，,）
asin,asin,BC==sin[180:
（,，,，,）]sin（,，,，,）
计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点,
间的距离
AB=22AC，BC,2AC，BCcos,分组讨论：
还没有其它的方法呢？
师生一起对不同方法进行对比、分
析。
变式训练：
若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得:
BCA=60，，
:
:
:
ACD=30，CDB=45，BDA=60，，，
略解：
将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206评注：
可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解
决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的
还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。
课本第14页练习第1、2题
解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：
理解题意，分清已知与未知，画出示意图
21
（2）建模：
根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中
在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：
利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学
模型的解
（4）检验：
检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问
题的解
1、课本第22页第1、2、3题
2、思考题：
某人在M汽车站的北偏西20
:
的方向上的A处，观察
到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。
公路的走向是M站的北
:
偏东40。
开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米
后，到A的距离缩短了10千米。
问汽车还需行驶多远，才能到达
M汽车站？
解：
由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处。
在
ABC,
中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得
222AC，BC,AB23cosC==,2AC,BC31
43222则sinC=1-cosC=,231
22
123sinC=,31
:
:
:
所以sinMAC=sin（120-C）=sin120cosC-cos120sinC，
353=62
在MAC中，由正弦定理得,
31ACsin，MAC353MC=，==3562sin，AMC3
2
从而有MB=MC-BC=15
答：
汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站。
（a）知识和技能：
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步
解决有关三角形的问题,掌握三角形的面积公式的简单推导和应用
（b）过程与方法：
本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引
导学生证明，同时
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