MATLAB中的符号运算.ppt

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MATLABMATLAB中的符号运算中的符号运算2004.8.42004.8.4MATLAB所具有的符号数学工具箱与其它所有工具不同，它适用于广泛的用途，而不是针对一些特殊专业或专业分支。

另外，MATLAB符号数学工具箱与其它的工具箱区别还因为它使用字符串来进行符号分析，而不是基于数组的数值分析。

符号数学工具箱是操作和解决符号表达式的符号数学工具箱（函数）集合，有复合、简化、微分、积分以及求解代数方程和微分方程的工具。

另外还有一些用于线性代数的工具，求解逆、行列式、正则型式的精确结果，找出符号矩阵的特征值而无由数值计算引入的误差。

工具箱还支持可变精度运算，即支持符号计算并能以指定的精度返回结果。

符号数学工具箱中的工具是建立在功能强大的Maple之上。

它最初是由加拿大的滑铁卢（Waterloo）大学开发的。

当要求MATLAB进行符号运算时，它就请求Maple去计算并将结果返回到MATLAB命令窗口。

因此，在MATLAB中的符号运算是MATLAB处理数字的自然扩展。

符号表达式是代表数字、函数、算子和变量的MATLAB字符串，或字符串数组。

不要求变量有预先确定的值，符号方程式是含有等号的符号表达式。

符号算术是使用已知的规则和给定符号恒等式求解这些符号方程的实践，它与代数和微积分所学到的求解方法完全一样。

符号矩阵是数组，其元素是符号表达式。

符号表达式1/（2*xn）y=1/sqrt（2*x）cos（x2）-sin（2*x）M=sym（a，b；c，d）符号表达式MATLAB表达式f=int（x3/sqrt（1-x），a，b）MATLAB符号函数可用多种方法来操作这些表达式diff（cos（x）ans=-sin（x）%differentiatecos（x）withrespecttoxM=sym（a，b；c，d）M=a，bc，d%createasymbolicmatrixMdeterm（M）ans=a*d-b*c%findthedeterminantofthesymbolicmatrix上面的第一个例子的符号表达式是用单引号以隐含方式定义的。

它告诉MATLABcos（x）是一个字符串并说明diff（cosx）是一个符号表达式而不是数字表达式；而在第二个例子中，用函数sym显式地告诉MATLABM=sym（a，b；c，d）是一符号表达式。

在MATLAB可以自己确定变量类型的场合下，通常不要求显式函数sym。

符号变量当字符表达式中含有多于一个的变量时，只有一个变量是独立变量。

如果不告诉MATLAB哪一个变量是独立变量，MATLAB将基于以下规则选择一个：

在符号表达式中缺省的独立变量是唯一的，除去i和j的小写字母，不是单词的一部分。

如果没有这种字母，就选择x作为独立变量。

如字符不是唯一的，就选择在字母顺序中最接近x的字母。

如果有相连的字母，就选择在字母表中较后的那一个。

缺省的独立变量，有时称作自由变量，在表达式1/（5+cos（x）中是xx；在3*y+z中是yy；在a+sin（t）是tt。

在表式sin（pi/4）-cos（3/5）中自由符号变量是xx，因为此式是一个符号常数无符号变量。

可利用函数symvar询问MATLAB在符号表达式中哪一个变量它认为是独立变量。

symvar（a*x+y*）%findthedefaultsymbolicvariableans=xsymvar（a*t+s/（u+3）%uistheclosesttoxans=usymvar（sin（omega）%omegaisnotasingleecharacter。

ans=xsymvar（3*i+4*j）%iandjareequeltosqrt（-1）ans=xsymvar（y+3*s，t）ans=s%findthevariableclosesttotratherthanx如果利用规则symvarsymvar不能找到一个缺省独立变量，它便假定无独立变量并返回x。

这一结论对含有由多个字母组成的变量，如：

alpha或s2的表达式，或不含变量的符号常数均成立。

如果需要，绝大多数命令都使用用户选项以指定独立变量。

diff（xn）%differentiatewithrespecttothedefaultvariablexans=xn*n/xdiff（xn，n）%differentiatexnwithrespecttonans=xn*log（x）diff（sin（omega）%differentiateusingthedefaultvariables（x）ans=0diff（sin（omega），omega）%specifytheindependentvariableans=cos（omega）符号表达式运算一旦创建了一个符号表达式，或许想以某些方式改变它；也许希望提取表达式的一部分，合并两个表达式或求得表达的数值。

有许多符号工具可以帮助完成这些任务。

所有符号函数（很少特殊例外的情况）作用到符号表达式和符号数组，并返回符号表达式或数组。

其结果有时可能看起来象一个数字，但事实上它是一个内部用字符串表示的一个符号表达式。

可以运用MATLAB函数isstrisstr来找出像似数字的表达式是否真是一个整数或是一个字符串。

如果表达式是一个有理分式（两个多项式之比），或是可以展开为有理分式（包括哪些分母为1的分式），可利用numdennumden来提取分子或分母。

例如，给定如下的表达式：

提取分子和分母在必要时，numdennumden将表达式合并、有理化并返回所得的分子和分母。

进行这项运算的MATLAB语句是：

m=x2m=x2%createasimpleexpressionm=m=x2x2nn，d=d=numdennumden（m）（m）%extractthenumeratoranddenominatorn=x2n=x2d=1d=1f=a*x2/（b-x）f=a*x2/（b-x）%createarationalexpressionf=a*x2/（b-x）f=a*x2/（b-x）nn，d=d=numdennumden（f）（f）%extractthenumeratoranddenominatorn=n=a*x2a*x2d=d=b-xb-xg=3/2*x2+2/3*x-3/5%rationalizeandextractthepartsg=3/2*x2+2/3*x-3/5n，d=numden（g）n=45*x2+20*x-18d=30h=（x2+3）/（2*x-1）+3*x/（x-1）%thesumofrationalpolynomialsh=（x2+3）/（2*x-1）+3*x/（x-1）n，d=numden（h）%rationalizeandextractn=x3+5*x2-3d=（2*x-1）*（x-1）很多标准的代数运算可以在符号表达式上执行，函数symadd、symsub、symlnul和symdiv为加、减、乘、除两个表达式，sympow将一个表达式上升为另一个表达式的幂次。

标准代数运算例如：

给定两个函数f=2*x2+3*x-5%definethesymbolicexpressionf=2*x2+3*x-5g=x2-x+7g=x2-x+7symadd（f，g）%findanexpressionforf+gans=3*x2+2*x+2symsub（f，g）%findanexpressionforf-gans=x2+4*x-12symmul（f，g）%findanexpressionforf*gans=（2*x2+3*x-5）*（x2-x+7）symdiv（f，g）%findanexpressionforf/gans=（2*x2+3*x-5）/（x2-x+7）sympow（f，3*x）%findanexpressionforans=（2*x2+3*x-5）3*变换函数函数symsym可获取一个数字参量并将其转换为符号表达式。

函数numnericnumneric的功能正好相反，它把一个符号常数（无变量符号表达式）变换为一个数值。

phi=（1+sqrt（5）/2%thegoldenratiophi=（1+sqrt（5）/2%converttoanumericvaluenumeric（phi）ans=1.6180符号函数sym2polysym2poly将符号多项式变换成它的MATLAB等价系数向量。

函数poly2syrnpoly2syrn功能正好相反，并让用户指定用于所得结果表达式中的变量。

f=2*x2+x3-3*x+5%fisthesymbolicpolynomialsf=2*x2+x3-3*x+5n=sym2poly（f）%extractehtnumericcoefficientvectorn=12-35poly2sym（n）%recreatethepolynomialsinx（thedefault）ans=2*x2+x3-3*x+5poly2sym（n，s）%recreatethepolynomialsinsans=s3+2*s2-3*s+5变量替换假设有一个以x为变量的符号表达式，并希望将变量转换为y。

MATLAB提供一个工具称作subssubs，以便在符号表达式中进行变量替换。

其格式为subssubs（ff，newnew，old）old），其中f是符号表达式，newnew和oldold是字符、字符串或其它符号表达式。

新字符串将代替表达式f中各个旧字符串。

f=a*x2+b*x+c%createafunctionf（x）f=a*x2+b*x+csubs（f，s，x）%substitutesforxintheexpressionfans=a*s2+b*s+csubs（f，alpha，a）%substitutealphaforainfans=alpha*x2+b*x+cg=3*x2+5*x-4%createanotherfunctiong=3*x2+5*x-4h=subs（g，2，x）%substitute2forxingh=18isstr（h）%showthattheresultisasymbolicexpressionans=1微分和积分微分和积分是微积分学研究和应用的核心，并广泛地用在许多工程学科。

MATLAB符号工具能帮助解决许多这类问题。

微分导数（包括偏导数）函数diffdiff格式diff（S,v）、diff（S,sym（v）%对表达式S中指定符号变量v计算S的1阶导数。

diff（S）%对表达式S中的符号变量v计算S的1阶导数，其中v=findsym（S）。

diff（S,n）%对表达式S中的符号变量v计算S的n阶导数，其中v=findsym（S）。

diff（S,v,n）%对表达式S中指定的符号变量v计算S的n阶导数。

symsxytD1=diff（sin（x2）*y2,2）%计算D2=diff（D1,y）%计算D3=diff（t6,6）计算结果为：

D1=-4*sin（x2）*x2*y2+2*cos（x2）*y2D2=-8*sin（x2）*x2*y+4*cos（x2）*yD3=720符号表达式的微分以四种形式利用函数diffdiff：

f=a*x3+x2-b*x-c%defineasymbolicexpressionf=a*x3+x2-b*x-cdiff（f）%differentiatewithrespecttothedefaultvariablexans=3*a*x2+2*x-bdiff（f，a）%differentiatewithrespecttoaans=x3diff（