折半查找法.docx

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折半查找法

二分查找是在我们整个数据结构当中一个比较重要的算法，它的思想在我们的实际开发过程当中应用得非常广泛。

在实际应用中，有些数据序列是已经经过排序的，或者可以将数据进行排序，排序后的数据我们可以通过某种高效的查找方式来进行查找，今天要讲的就是折半查找法（二分查找），

它的时间复杂度为O（logn），将以下几个方面进行概述

了解二分查找的原理与思想

分析二分查找的时间复杂度

掌握二分查找的实现方法

了解二分查找的使用条件和场景

1二分查找的原理与思想

在上一个章节当中，我们学习了各种各样的排序的算法，接下来我们就讲解一下针对有序集合的查找的算法—二分查找（BinarySearch、折半查找）算法，二分查找呢，是一种非常容易懂的查找算法，它的思想在我们的生活中随处可见，

比如说：

同学聚会的时候喜欢玩一个游戏——猜数字游戏，比如在1-100以内的数字，让别人来猜从，猜的过程当中会被提示是猜大了还是猜小了，直到猜中为止。

这个过程其实就是二分查找的思想的体现，这是个生活中的例子，在我们现实开发过程当中也有很多应用到二分查找思想的场景。

比如说仙现在有10个订单，它的金额分别是6、12、15、19、24、26、29、35、46、67请从中找出订单金额为15的订单，利用二分查找的思想，那我们每一次都会与中间的数据进行比较来缩小我们查找的范围，下面这幅图代表了查找的过程，其中low，high代表了待查找的区间的下标范围，mid表示待查找区间中间元素的下标（如果范围区间是偶数个导致中间的数有两个就选择较小的那个）

第一次二分查找

第二次二分查找

第三次二分查找

通过这个查找过程我们可以对二分查找的思想做一个汇总：

二分查找针对的是一个有序的数据集合，查找思想有点类似于分治思想。

每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间范围缩小为原来的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为0。

一：

查找的数据有序

二：

每次查找，数据的范围都在缩小，直到找到或找不到为止。

2二分查找的时间复杂度

我们假设数据大小为n，每次查询完之后，数据就缩减为原来的一半，直到最后的数据大小被缩减为1

n,n/2,n/4,n/8,n/16,n/32,…………,1

这是一个等比数列，当数据大小变为1时，

k是总共缩小的次数，而每次缩小只涉及两个数据的比较大小，所以经过了K次区间缩小操作，通过计算k的值我们就可以得出二分查找的时间复杂度是O（logn）

这是一种非常高效的时间复杂度，有时候甚至比O

（1）复杂度更高效，为什么这么说呢？

因为对于logn来说即使n的非常大，对应的logn的值也会很小，之前在学习O

（1）时间复杂度时我们说过O

（1）代表的是一种常量级的时间复杂度，并不是说代码只需要执行一条语句，有时候可能要执行100次，1000次，这样常规级次数都用O

（1）来表示，所以，常量级时间复杂度的算法有时候还没有O（logn）的算法执行效率高。

3二分查找算法的实现

I有序数列当中不存在重复的元素

#include

usingnamespacestd;

/*

但是若low+high>Interger.MAX_VALUE时，此时会导致数据溢出，则导致mid错误，

所以mid应该改为low+（high-low）/2;

*/

//递归二分查找//

intbinaS（int*arr,intkey,inthigh,intlow）

{

if（low>high）

return-1;

intmid=（high+low）/2;

if（arr[mid]==key）

{

returnmid;

}

elseif（arr[mid]>key）

{

binaS（arr,key,low,mid-1）;

}

else

{

binaS（arr,key,mid+1,high）;

}

}

intmain（）

{

//二分查找

inta[4]={11,22,33,44};

intkey;

cin>>key;

cout<

//intlow=0,high=3,flag=1,mid;

//while（low<=high）

//{

//mid=（low+high）/2;

//if（key==a[mid]）

//{

//cout<

//

////flag=0;

////break;

//}

//elseif（key

//{

//high=mid-1;

//}

//elseif（key>a[mid]）

//{

//low=low+1;

//}

//}

//if（flag）

//cout<<"没有找到";

return0;

}

II有序数列当中存在重复的元素

思路1：

#include

usingnamespacestd;

//数据序列中第一个等于给定的元素（重复元素）

intbinarySearch（int*array,intvalue,intlength）

{

intlow=0;

inthigh=length-1;

while（low<=high）

{

intmid=low+（high-low）/2;

if（array[mid]==value）

{

//当我们的mid指针已经指向第一个元素或者我们的mid指针前一个元素不等于我们的查找

//元素的时候，直接返回mid下标

if（mid==0||array[mid-1]!

=value）

{

returnmid;

}//否则，继续二分查找

else

{

high=mid-1;

}

}

elseif（array[mid]

{

low=mid+1;

}

elseif（array[mid]>value）

{

high=mid-1;

}

}

return-1;

}

intmain（）

{

intarray[]={6,12,15,19,24,26,29,29,29,67};

cout<

return0;

}

思路2：

#include

usingnamespacestd;

/*

需求2：

从数据序列中查找最后一个值等于给定值的元素

*/

intbinarySearch（int*arr,intvalue,intlen）

{

intlow=0,high=len-1;

while（low<=high）

{

intmid=low+（high-low）/2;

if（arr[mid]==value）

{

//和查找第一个元素的思路是一样的

if（mid==len-1||arr[mid+1]!

=value）

returnmid;

//否则继续查找，往后查找

else

{

low=mid+1;

}

}

elseif（arr[mid]>value）

{

high=mid-1;

}

elseif（arr[mid]

{

low=mid+1;

}

}

return-1;

}

intmain（）

{

intarray[]={6,12,15,19,24,26,29,29,29,67};

cout<

return0;

}

#include

usingnamespacestd;

/*

从数据序列中查找第一个大于等于给定值的元素

while（low<=high）

{

intmid=low+（high-low）/2;

if（arr[mid]>=value）

{

if（mid==0||arr[mid-1]

returnmid;

else

high=mid-1;

}

elseif（arr[mid]

{

low=mid+1;

}

}

return-1;

*/

intbinarySearch（int*arr,intvalue,intlen）

{

intlow=0,high=len-1,max=-1;

while（low<=high）

{

intmid=low+（high-low）/2;

if（arr[mid]==value）

{

if（mid==0||arr[mid-1]!

=value）

{

returnmid;

}

else

{

high=mid-1;

}

}

elseif（arr[mid]>value）

{

max=mid;

high=mid-1;

}

elseif（arr[mid]

{

low=mid+1;

}

}

returnmax;

}

intmain（）

{

intarray[]={6,12,15,19,24,26,29,29,29,67};//{1,3,5,7,9};

cout<

return0;

}

#include

usingnamespacestd;

/*

从数据序列当中查找出最后一个小于等于给定值的元素

*/

intbinarySearch（int*arr,intvalue,intlen）

{

intlow=0,higg=len-1;

while（low<=high）

{

intmid=low+（high-low）>>1;

if（arr[mid]<=value）//1122

{

if（mid==len-1||arr[mid+1]>value）

returnmid;

else

low=mid+1;

}

else

{

high=mid-1;

}

}

return-1;

}

intmain（）

{

return0;

}

二分查找法的使用条件和场景

拓展：

log2NO（logN）logaN=logcN/logca,因1/logca不是1，所以舍去，剩下logcN，c可以是任何的值，不关心，所以是logN

案例一：

跳房子（这…，看题我都要看半小时）

每年，奶牛都会举办一场特殊版本的跳房子活动，其中包括小心翼翼地从河中的一块石头跳到另一块石头。

这个令人兴奋的活动发生在一条又长又直的河流上，一块石头开始，另一块石头结束。

从开始走的长度L（1<=L<=1,000,000,000）。

从开始到结束之间的石头数量为N（0<=N<=50000），从开始每块石头有一个整数距离di（0