高二数学期末复习8.docx
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高二数学期末复习8
常熟市浒浦高级中学高二数学期末复习(8)
综合卷
(2)期末考试倒计时:
10天
姓名:
____________
1.命题“∀x∈N,x2≠x”的否定是.
2.在平面直角坐标系xOy中,焦点为F(5,0)的抛物线的标准方程是.
3.已知a,b∈R,a+bi=(1+2i)(1-i)(i为虚数单位),则a+b的值为.
4.记函数
的导函数为
,则
的值为.
6.记命题p为“若α=β,则cosα=cosβ”,则在命题p及其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是.
7.在平面直角坐标系xOy中,已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为x±2y=0,则该双曲线的离心率为.
8.如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AA1=3,∠BAA1=60︒,E为棱C1D1的中点,则
.
9.已知函数f(x)=ex-ax在区间(0,1)上有极值,则实数a的取值范围是.
10.“a=1”是“函数f(x)=x+acosx在区间上为增函数”的条件(在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”中,选择适当的一种填空).
11.已知圆柱的体积为16πcm3,则当底面半径r=cm时,圆柱的表面积最小.
12.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆
的左焦点为F,直线x-y-1=0,x-y+1=0与椭圆分别相交于点A,B,C,D,则AF+BF+CF+DF=.
13.定义在R上的函数y=f(x)的图像经过坐标原点O,且它的导函数y=f'(x)的图像是如图所示的一条直线,则y=f(x)的图像一定不经过第象限.
14.已知A是曲线
与曲线C2:
x2+y2=5的一个公共点.若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直,则实数a的值是.
15.已知m∈R,设p:
复数z1=(m-1)+(m+3)i(i是虚数单位)在复平面内对应的点在第二象限,q:
复数z2=1+(m-2)i的模不超过
.
(1)当p为真命题时,求m的取值范围;
(2)若命题“p且q”为假命题,“p或q”为真命题,求m的取值范围.
16.在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-2x-3与坐标轴的交点都在圆C上.
(1)求圆C的方程;
(2)若直线x+y+a=0与圆C交于A,B两点,且AB=2,求实数a的值.
17.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=a,E,F分别为AD,CD的中点.
(1)若AC1⊥D1F,求a的值;
(2)若a=2,求二面角E-FD1-D的余弦值.
18.已知某商品的进货单价为1元/件,商户甲往年以单价2元/件销售该商品时,年销量为1万件,今年拟下调销售单价以提高销量,增加收益.据测算,若今年的实际销售单价为x元/件(1≤x≤2),今年新增的年销量(单位:
万件)与(2-x)2成正比,比例系数为4.
(1)写出今年商户甲的收益y(单位:
万元)与今年的实际销售单价x间的函数关系式;
(2)商户甲今年采取降低单价,提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)?
说明理由.
19.已知函数f(x)=ax2-(4a+2)x+4lnx,其中a≥0.
(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
20.在平面直角坐标系xOy中,△ABC的顶点B、C的坐标为B(-2,0),C(2,0),直线AB,AC的斜率乘积为
,设顶点A的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)设曲线E与y轴负半轴的交点为D,过点D作两条互相垂直的直线l1,l2,这两条直线与曲线E的另一个交点分别为M,N.设l1的斜率为k(k≠0),△DMN的面积为S,试求的取值范围.
1.命题“∀x∈N,x2≠x”的否定是.
【答案】
【解析】
试题分析:
根据全称命题“
”的否定为“”,得命题“∀x∈N,x2≠x”的否定“”,解决此类问题须注意条件x∈N不能变.
考点:
全称命题的否定
2.在平面直角坐标系xOy中,焦点为F(5,0)的抛物线的标准方程是.
【答案】y2=20x
【解析】
试题分析:
焦点为F(5,0),所以抛物线开口向右,标准方程可设为,又所以,抛物线的标准方程是y2=20x
考点:
抛物线的焦点坐标与方程关系
3.已知a,b∈R,a+bi=(1+2i)(1-i)(i为虚数单位),则a+b的值为.
【答案】4
【解析】
试题分析:
根据复数乘法法则,将化为,再由两复数相等,它们实部与虚部分别相等得
考点:
复数乘法法则,复数相等概念
4.记函数
的导函数为
,则
的值为.
【答案】-1
【解析】
试题分析:
根据商的导数运算法则得,所以解此类问题要注意顺序,不能将题目做成求的导数
考点:
商的导数运算法则
6.记命题p为“若α=β,则cosα=cosβ”,则在命题p及其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是.
【答案】2
【解析】
试题分析:
命题p为“若α=β,则cosα=cosβ”,显然为真命题,所以其逆否命题也为真命题;命题p的逆命题为“若cosα=cosβ,则α=β”为假命题,所以其逆否命题,即命题p的否命题也为假命题.真命题个数是2.
考点:
四种命题关系及真假判断
7.在平面直角坐标系xOy中,已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为x±2y=0,则该双曲线的离心率为.
【答案】
【解析】
试题分析:
因为焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为,所以
考点:
双曲线渐近线方程
8.如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AA1=3,∠BAA1=60︒,E为棱C1D1的中点,则
.
【答案】14
【解析】
试题分析:
考点:
空间向量数量积
9.已知函数f(x)=ex-ax在区间(0,1)上有极值,则实数a的取值范围是.
【答案】(1,e)
【解析】
试题分析:
函数f(x)=ex-ax在区间(0,1)上有极值,就是导函数在区间(0,1)上有解,即
考点:
函数极值
10.“a=1”是“函数f(x)=x+acosx在区间
上为增函数”的条件(在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”中,选择适当的一种填空).
【答案】充分不必要
【解析】
试题分析:
当a=1时,,,函数在区间上为增函数,所以充分性成立;反之,若函数在区间上为增函数,则对恒成立,,而当,,所以,因此必要性不成立.
考点:
利用导数求增减性,充要关系判定
11.已知圆柱的体积为16πcm3,则当底面半径r=cm时,圆柱的表面积最小.
【答案】2
【解析】
试题分析:
圆柱的体积为,圆柱的表面积,由得,
极小值,也是最小值
当底面半径r=时,圆柱的表面积最小.
考点:
利用导数求最值,
12.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆
的左焦点为F,直线x-y-1=0,x-y+1=0与椭圆分别相交于点A,B,C,D,则AF+BF+CF+DF=.
【答案】8
【解析】
试题分析:
椭圆的左焦点为,右焦点为,所以直线x-y-1=0过右焦点,直线
x-y+1=0过左焦点,由对称性得,因此
考点:
椭圆定义
13.定义在R上的函数y=f(x)的图像经过坐标原点O,且它的导函数y=f'(x)的图像是如图所示的一条直线,则y=f(x)的图像一定不经过第象限.
【答案】一
【解析】
试题分析:
设导函数y=f'(x)的零点为,所以当时,单调增;当时,单调减,又,则由图像知一定不经过第一象限.
考点:
导函数与原函数的关系
14.已知A是曲线
与曲线C2:
x2+y2=5的一个公共点.若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直,则实数a的值是.
【答案】2
【解析】
试题分析:
因为C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直,所以为C1在A处的切线.设则由,所以,又A在曲线C2:
x2+y2=5上,所以
考点:
函数切线,圆的切线
15.已知m∈R,设p:
复数z1=(m-1)+(m+3)i(i是虚数单位)在复平面内对应的点在第二象限,q:
复数z2=1+(m-2)i的模不超过
.
(1)当p为真命题时,求m的取值范围;
(2)若命题“p且q”为假命题,“p或q”为真命题,求m的取值范围.
【答案】
(1)(-3,1)
(2)(-3,-1)∪[1,5]
【解析】
试题分析:
(1)复数对应的点为,所以有,从而可解得m的取值范围为(-3,1),
(2)因为命题“p且q”一假就假,所以p,q中至少有一个为假;因为命题“p或q”一真就真,所以p,q中至少有一个为真;综合得p,q中一真一假.若q为真,则q为假;或若q为假,则q为真.先求命题为真时参数范围,再根据集合的补集求命题为假时参数范围.
试题解析:
解
(1)因为复数z1=(m-1)+(m+3)i在复平面内对应的点在第二象限,
所以
解得-3<m<1,即m的取值范围为(-3,1).3分
(2)由q为真命题,即复数z2=1+(m-2)i的模不超过,
所以,解得-1≤m≤5.5分
由命题“p且q”为假命题,“p或q”为真命题
得真假或假真,所以或
即-3<m<-1或1≤m≤5.
所以m的取值范围为(-3,-1)∪[1,5].8分
考点:
命题真值表,复数的模
16.在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-2x-3与坐标轴的交点都在圆C上.
(1)求圆C的方程;
(2)若直线x+y+a=0与圆C交于A,B两点,且AB=2,求实数a的值.
【答案】
(1)x2+y2-2x+2y-3=0
(2)
【解析】
试题分析:
(1)曲线y=x2-2x-3与坐标轴的交点有三个交点,本题就是求过三个点的圆的方程,因此设圆方程的一般式x2+y2+Dx+Ey+F=0,若从图形看,则圆的方程又可设成x2+y2-2x+Ey-3=0,再利用过点求出
(2)先将圆的一般式化为标准式:
,明确圆心和半径,涉及圆的弦长问题,利用由半径、半弦长、圆心到弦所在直线距离构成的直角三角形,列等量关系:
试题解析:
(1)曲线与y轴的交点是(0,-3).令y=0,得x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3.
即曲线与x轴的交点是(-1,0),(3,0).2分
设所求圆C的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则,解得D=-2,E=2,F=-3.
所以圆C的方程是x2+y2-2x+2y-3=0.5分
(2)圆C的方程可化为,
所以圆心C(1,-1),半径.7分
圆心C到直线x+y+a=0的距离,由于
所以,解得.10分
考点:
圆的一般式方程,圆的弦长
17.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=a,E,F分别为AD,CD的中点.
(1)若AC1⊥D1F,求a的值;
(2)若a=2,求二面角E-FD1-D的余弦值.
【答案】
(1);
(2)
【解析】
试题分析:
(1)首先建立空间直角坐标系,列出各对应点坐标,表示对应向量坐标,(-2,2,a),(0,1,-a),再根据空间向量数量积定义,得到2-a2=0,从而求出a的值,
(2)先判断二面角E-FD1-D为锐二面角,所以求二面角E-FD1-D的余弦值,就转化为求两个平面法向量夹角的余弦值的绝对值.又平面FD1D的一个法向量为,所以关键求平面EFD1的一个法向量n=(x,y,z),利用n⊥,n⊥可求出x=y=2z,取其一个法向量为n=(2,2,1),再利用空间向量夹角公式,就可得到二面角E-FD1-D的余弦值.
试题解析:
解如图,以D为坐标原点,DA所在直线为x轴,
DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴,建立坐标系.
(1)由题意得A(2,0,0),D1(0,0,a),C1(0,2,a),F(0,1,0).
故(-2,2,a),(0,1,-a).2分
因为AC1⊥D1F,所以,即(-2,2,a)·(0,1,-a)=0.
从而2-a2=0,又a>0,故.5分
(2)平面FD1D的一个法向量为m=(1,0,0).设平面EFD1的一个法向量为n=(x,y,z),
因为E(1,0,0),a=2,故=(-1,1,0),(0,1,-2).
由n⊥,n⊥,得-x+y=0且y-2z=0,解得x=y=2z.
故平面EFD1的一个法向量为n=(2,2,1).8分
因为,且二面角E-FD1-D的大小为锐角,
所以二面角E-FD1-D的余弦值为.10分
考点:
利用空间向量求二面角
18.已知某商品的进货单价为1元/件,商户甲往年以单价2元/件销售该商品时,年销量为1万件,今年拟下调销售单价以提高销量,增加收益.据测算,若今年的实际销售单价为x元/件(1≤x≤2),今年新增的年销量(单位:
万件)与(2-x)2成正比,比例系数为4.
(1)写出今年商户甲的收益y(单位:
万元)与今年的实际销售单价x间的函数关系式;
(2)商户甲今年采取降低单价,提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)?
说明理由.
【答案】
(1)y=4x3-20x2+33x-17,(1≤x≤2)
(2)不能
【解析】
试题分析:
(1)根据收益等于单件利润与销售量的乘积,列等量关系.注意今年销售量等于原销售量与新增的年销量之和,另外还要注意交代函数定义域;y=[1+4(x-2)2](x-1)=4x3-20x2+33x-17,(1≤x≤2).
(2)本题实际需求本年收益范围,即需求函数y=4x3-20x2+33x-17,1≤x≤2的值域,这可借助于导数研究.
求导后可知函数图像先增后减再增,因此其最大值在极大值及处取到,比较大小知f(x)在区间[1,2]上的最大值为f
(2)=1,即为往年的收益,所以商户甲采取降低单价,提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益.
试题解析:
解
(1)由题意知,今年的年销售量为1+4(x-2)2(万件).
因为每销售一件,商户甲可获利(x-1)元,所以今年商户甲的收益y=[1+4(x-2)2](x-1)
=4x3-20x2+33x-17,(1≤x≤2).4分
(2)由
(1)知y=4x3-20x2+33x-17,1≤x≤2,从而y′=12x2-40x+33=(2x-3)(6x-11).
令y′=0,解得x=,或x=.列表如下:
x
(1,)
(,)
(,2)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
递增
极大值
递减
极小值
递增
7分
又f()=1,f
(2)=1,所以f(x)在区间[1,2]上的最大值为1(万元).
而往年的收益为(2-1)×1=1(万元),
所以,商户甲采取降低单价,提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益.
10分
考点:
函数解析式,利用导数求函数最值
19.已知函数f(x)=ax2-(4a+2)x+4lnx,其中a≥0.
(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
【答案】
(1)2x-y-4=0,
(2)当a=0时,f(x)的单调增区间是(0,2),单调减区间是(2,+∞);
当0<a<时,f(x)的单调增区间是(0,2)和(,+∞),减区间为(2,);当a=时,f(x)的单调增区间是(0,+∞);当a>时,f(x)的单调增区间是(0,)和(2,+∞),减区间为(,2)
【解析】
试题分析:
(1)利用导数集合意义,在处导数值等于该点处切线的斜率,因为,所以
f′
(1)=2,又切点为(1,-2),所以所求切线方程为y+2=2(x-1),
(2)函数f(x)的单调性之所以要讨论,就是由于导函数为零时根的不确定性.因为,所以当a=0时,方程在定义域内只有一根;当时,需讨论两根的大小,三种情况0<a<,a=,及a>需一一讨论.解题过程中,最易忽视的是两根相等的情况;答题时最易出错的是将两个单调性相同的不连续区间用“并集”“或”合并写.
试题解析:
解
(1)当a=0时,f(x)=-2x+4lnx,
从而,其中x>0.2分
所以f′
(1)=2.
又切点为(1,-2),
所以所求切线方程为y+2=2(x-1),即2x-y-4=0.4分
(2)因为f(x)=ax2-(4a+2)x+4lnx,
所以,其中x>0.
①当a=0时,,x>0.
由f′(x)>0得,0<x<2,所以函数f(x)的单调增区间是(0,2);单调减区间是(2,+∞);6分
②当0<a<时,因为>2,由f′(x)>0,得x<2或x>.
所以函数f(x)的单调增区间是(0,2)和(,+∞);单调减区间为(2,);8分
③当a=时,,且仅在x=2时,f′(x)=0,
所以函数f(x)的单调增区间是(0,+∞);
④当a>时,因0<<2,由f′(x)>0,得0<x<或x>2,
所以函数f(x)的单调增区间是(0,)和(2,+∞);单调减区间为(,2).
综上,
当a=0时,f(x)的单调增区间是(0,2),单调减区间是(2,+∞);
当0<a<时,f(x)的单调增区间是(0,2)和(,+∞),减区间为(2,);
当a=时,f(x)的单调增区间是(0,+∞);
当a>时,f(x)的单调增区间是(0,)和(2,+∞),减区间为(,2).10分
考点:
利用导数求函数切线方程,利用导数求函数单调区间
20.在平面直角坐标系xOy中,△ABC的顶点B、C的坐标为B(-2,0),C(2,0),直线AB,AC的斜率乘积为
,设顶点A的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)设曲线E与y轴负半轴的交点为D,过点D作两条互相垂直的直线l1,l2,这两条直线与曲线E的另一个交点分别为M,N.设l1的斜率为k(k≠0),△DMN的面积为S,试求
的取值范围.
【答案】
(1);
(2)
【解析】
试题分析:
(1)由于所求动点A满足直线AB,AC的斜率乘积为,所以直接设A的坐标,代入化简整理即得:
,注意到△ABC中三个顶点不能共线,所以需去掉与轴相交的点,
(2)要求的取值范围,首先求出函数解析式,由题意确定l1的斜率为k为自变量,因为M为l1与曲线E的交点,所以列方程组解出点M坐标,从而得出弦长;同理,只需将代k就可得到,因此△DMN的面积S=,所以=,这可以看作关于1+k2的一个分式函数,即,可以利用函数单调性求出其取值范围.
试题解析:
解
(1)设顶点A的坐标为(x,y),则kAB=,kAC=2分
因为kAB⋅kAC=,所以,即.(或x2+4y2=4).
所以曲线E的方程为.4分
(2)曲线E与y轴负半轴的交点为D(0,-1).
因为l1的斜率存在,所以设l1的方程为y=kx-1,代入,得
从而6分
用代k得
所以△DMN的面积S=8分
则=
因为k≠0且,k≠±2,令1+k2=t,
则t>1,且,t≠5,
从而=
因为,且,
所以且,
从而且,,
即∈10分.
考点:
直接法求轨迹方程,直线与圆锥曲线关系,求函数范围