中学联盟辽宁省沈阳市第二十一中学高三数学专题复习总结学案专题四解析几何doc.docx
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中学联盟辽宁省沈阳市第二十一中学高三数学专题复习总结学案专题四解析几何doc
高考命题趋势
纵观每年高考全国卷和有关省市自主命题卷，关于解析几何的命题有如下几个显著特点：
1•高考题型：
解析几何的试题一般是选择题、填空题、解答题都会出现。
2•难易程度：
考查解析几何的选择题、填空题为基础题或中档题，解答题一般会综合考查,以中等偏难试题为主。
3•高考热点：
解析几何的热点仍然是圆锥曲线的性质，直线和圆锥曲线的位置关系以及轨迹问题，仍然以考査方程思想及用韦达定理处理弦长和弦中点为重点。
坐标法使平面向量与平面解析几何自然地联系并有机结合起来。
相关交汇试题应运而生，涉及圆锥曲线参数的取值范围问题也是命题亮点
复习备考方略
1.加强直线和圆锥曲线的基础知识，初步掌握了解决直线与圆锥曲线有关问题的基本技能和基本方法。
2.由于直线与圆锥曲线是高考考查的重点内容，选择、填空题灵活多变，思维能力要求较高，解答题背景新颖、综合性强，代数推理能力要求高，因此有必要对直线与圆锥曲线的重点内容、高考的热点问题作深入的研究。
3.
在第一轮复习的基础上，再通过纵向深入，横向联系，进一步掌握解决直线与圆锥曲线问题的思想和方法，提高我们分析问题和解决问题的能力。
【内容解读】点与直线的位置关系有：
点在直线上、直线外两种位置关系，点在直线外时,经常考查点到直线的距离问题；点与圆的位置关系有：
点在圆外、圆上、圆外三种；直线与圆的位置关系有：
直线与圆相离、相切、相交三点，经常用圆心到直线之间的距离与圆的半径比较来确定位置位置关系；圆与圆的位置关系有：
两圆外离、外切、相交、内切、内含五种，一般用两点之间的距离公式求两圆之间的距离，再与两圆的半径之和或差比较。
【命题规律】本节内容一般以选择题或填空题为主，难度不大，属容易题
1.
若圆”+/—2①一4g=0的圆心到直线x-y-^-a=0的距离为乎，则a的值为（）
2.若直线y=x+b与曲线y=3-yj4x-x2有公共点，则b的取值范围是（）
A.[l-2V2,l+2>/2]B.[1-72,3]
C.卜1,1+2血]DJ1-2V2,3]
3.圆Ox:
和圆ft:
A/-4.f=0的位置关系是（
（A）
（D）内切
相离（B）相交（C）外切
考点二：
直线、圆的方程问题
【内容解读】直线方程的解析式有点斜式、斜截式、两点式、•截距式、一般式五种形式,各有特点，根据具体问题，选择不同的解析式来方便求解。
圆的方程有标准式一般式两种;直线与圆的方程问题，经常与其它知识相结合，如直线与圆相切，直线与直线平行、垂直等问题。
【命题规律】直线与圆的方程问题多以选择题与填空题形式出现，属容易题。
4.
若直线-+^=1与圆x2+y2=\有公共点，则（）
6.若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和兀轴相切，则该圆的标
准方程是.
7.己知直线/:
x-.y+4=0,圆C:
（x-l）2+（y-l）2=2,则C上各点到/的距离的最小值是对称问题（中心对称和轴对称）
1•对称问题分为点对称及轴对称，点对称仅用中点坐标公式即可，轴对称因对称点连线的中垂线就是对称轴，根据中点坐标公式及斜率的关系即可解决。
特别是关于原点对称、坐标轴对称，直线x±y=0对称都要熟练掌握。
2.解决最值问题最常用的方法是目标函数法和几何法。
3•求对称曲线的常用思想方法：
代入转移法
8已矢口圆C：
x2+y2+2x+—3=0（a为实数）上任意一点关于直线/：
x-y+2=0
的对称点都在圆C上，则a二.
9.己知圆C的圆心与点P（-2,1）关于直线y=x+l对称.直线3x+4y-11=0与圆C相
交于A,B两点，且\AB\=6,则圆C的方程为.
10.—条光线经过P（2,3）点，射在直线/：
x+y+l=0上，反射后穿过点Q（l,l）
（1）求入射光线所在的直线方程
（2）求这条光线从P到Q的长度。
第二讲：
有关圆锥曲线的定义和几何性质
考点三：
有关圆锥曲线的定义的问题
【内容解读】圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义是经常考查的内容，除了在大题中考查轨迹时用到外，经常在选择题、填空题中也有出现。
【命题规律】填空题、选择题中出现，属中等偏易题。
1.已知好、场为椭圆余+冷"=1的两个焦点，过仟的直线交椭圆于A、B两点
若|F2A|+|F2B|=12,则二0
22
2.已知双曲线c：
2■-务=1的左右焦点分别为凡、凡，P为C的右支上一点，且
9Io
IPF21=1FxF2I,则的面积等于（）
（A）24（B）36（C）48（D）96
3.
设抛物线），=8兀上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距.离是（）
4.已知圆0的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最
小值为（）
（A）-4+V2（B）-3+V2（C）—4+2近（D）-3+2^2
【内容解读】圆锥曲线的几何性质包括椭圆的对称性、顶点坐标、离心率，双曲线的对称性、顶点坐标、离心率和近近线，抛物线的对称性、顶点坐标、离心率和准线方程等内容,椭圆的离心率在（0,1）之间，双曲线的离心率在（1,+8）之间，抛物线的离心率为1,【命题规律】考查圆锥曲线的几何性质包括焦距、离心率，双曲线的渐近线等内容，一般以选择题或填空题为主，属中档题或容易题。
5已知双曲线竽_£=1的离心率为命，则/?
=
6已知抛物线C：
x2=2py（0>0）上一点A（m,4）到其焦点的距离为乎，则p=,m=.
7（09重庆）已知椭圆密+£=1@〉6>0）的左、右焦点分别为杠（—c,0）,巧（c,0）,若椭
sinPF]F2sinPF^F、
为•
22
8（09浙江）己知椭圆二+£二1（a>b>0）的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上，
crtr
且BF丄F轴，直线AB交y轴于点P.若心二2血，则椭圆的离心率是（）
、品rV2八1「1
A.B.C.—D.—
2232
9（09山东）设斜率为2的直线/过抛物线y2=ax（gHO）的焦点F,且和y轴交于点A,
若厶OAF（O为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为（）.
A.y2=±4xB.y2=±8xC.y2=4xD.y2=8x
10{09重庆}己知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为
x=^~,离心率e=V5・
5
（I）求该双曲线的•方程；
（II）如图，点A的坐标为（-75,0）,B是圆x2+（y-V5）2=l±
的点，点M在双曲线右支上，求+的最小值，并求此时M点的坐标;
考点五：
直线与圆锥曲线位置关系问题
【内容解读】能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题；能够把研究直线与圆锥曲线位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；会利用直线与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；能够利用数形结合法，迅速判断某直线与圆锥曲线的位置关系，但要注意曲线上的点的纯粹性；涉及弦的中点及中点弦的问题，利用点差法较为简便。
【命题规律】直线与圆锥曲线位置关系涉及函数与方程，数形结合，分类讨论、化归等数学思想方法，因此这部分经常作为高考试题的压轴题，命题主要意图是考查运算能力，逻辑揄能力。
1.（08北京）已知AABC的顶点A,B在椭圆x2+3/=4±,C在直线l:
y=x+2上，且
AB//1.
（I）当AB边通过坐标原点O吋，求的长及AABC的面积；
（II）当ZABC=90°,且斜边4C的长最大时，求所在直线的方程.
2.（2010福建卷文科19）己知抛物线C：
y2=2px（p>0）i±点A（1,・・2）。
（I）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点.）的直线L,使得直线L与抛物线C有公共点,且直线OA与L的距离等于噜？
若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由
考点六：
曲线（轨迹）方程的求法
【内容解读】轨迹问题是高中数学的一个难点，常见的求轨迹方程的方法：
（1）单动点的轨迹问题一一直接法+待定系数法；
（2）双动点的轨迹问题一一代入法；
【命题规律】轨迹问题在高考中多以解答题出现，属中档题。
22
4.已知双曲线=i的左右焦点分別为Fi、F2,P为C的右支上一点，且在平面直
9Io
角坐标系xOy中，点P到两点（（），一巧）、（0,V3）的距离之和等于4.设点P的轨迹
为C.（I）写出C的方程；
5.（09山东）设mwR,在平面直角坐标系中，已知向量a=（/nx,y+l）,向量厶=（兀,）一1）,方丄乙，动点M（x,y）的轨迹为E.,求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状;
6.（09安徽）已知椭圆二+与=1（a>b>0）的离心率为迟，以原点为圆心。
椭圆短cr3
半轴长半径的圆与直线y=x+2相切，（I）求a与b；（II）设该椭圆的左，右焦点分别
为巧和耳，直线厶过尸2且与x轴垂直，动直线厶与y轴垂直，厶交厶于点P•求线段戶坊乖直平分线与厶的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型。
真题演练1
1-（2010年高考山东卷文科9）已知抛物线/=2px（/?
>0）,过其焦点且斜率为1的直
线交抛物线与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为（）
（B）x=—1（C）x=2（D）x=—2
2.（2010年高考福建卷文科11）若点。
和点尸分别为椭圆—+^-=1的中心和左焦点,
43
第（17）题图
真题演练2
1.
（2010宁夏文5）中心在远点，焦点在兀轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2）,则它的离心率为（）
2（2010浙江文10）设0为坐标原点，耳,尺是双曲线二一与=1（a>0,b>0）的焦点,a-b_
若在双曲线上存在点P,满足ZFf耳=60°,IOPI二则该双曲线的渐近线方程为（）
（A）x±>/3y=0
3.（2010重庆文13）
已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点,
/IF=2,贝I」BF=
22
4（2010辽宁文20）设片，代分别为椭圆C：
二+亠=1（6/>/?
>0）的左、右焦点，过代crkr
的直线/与椭圆C相交于A,B两点，直线/的倾斜角为60°,斥到直线/的距离为2亦.
（I）求椭圆C的焦距；（II）如果AF\=2F\B,求椭圆C的方程.
真题演练3
1.（2010辽宁文7）设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为I,P为抛物线上一点，PA丄儿
A为垂足，如果直线AF斜率为一巧，那么\PF\=（）
（A）4a/3（B）8（C）8^3（D）
2.（2010全国・I文8）已知斥、&为双曲线C:
x2-y2=1的左、右焦点，点P在C上,
ZF.PF2=60（），贝|J|PF.|>|PF2|（）
（A）2（B）4（C）6（D）8
兀2
3.（2010湖北文15）已知椭圆c:
—+/=1的两焦点为件场，点戶（兀（）,儿）满足
2
0v卫+y：
v1，则IPF\|+P◎的取值范围为,直线肚+y0.y=1与椭圆C的公共
点个数O
4.（2010湖北文20）己知一条曲线C在y轴右边，C上没一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1。
（I）求曲线C的方程
（II）是否存在正数m,对于过点M（m,0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有东•FB<0?
若存在，求Him的取值范围；若不存在，请说明理由。
第一讲：
直线和
1.C2.D【解析】曲线方程可化简为（—2）2+（y_3）2=4（15y53）,即表示圆心为
（2,3）半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心（2,3）
到直线尸x-b距离等于2,解得b=1+2^2或b=l・2>/L因为是下半圆故可得b=\+2近
（舍），当直线过（0,3）时，解得b二3,故l-2V2
<3,3.B4.D5.B
6.仗-2）2+（“_1）2=1
7・血8.a=—29.rr2+（?
/+l）2=18
10.解：
（1）设Q（l,l）关于：
x+y+l=0的对称点Q（x,y），易证0（-2-2）入射光线所在直线方程PQ.:
丄竺=出,即5x-4y+2=0
3I22I2
（2）/是0Q的垂直平分线，因而1^2,1=74?
即为所求
第二讲：
有关圆锥曲线的定义和几何性质
2
&
D
4.
B
1-2
-
P
8
7・（屁i,i）解法」因为在“聒屮，由正弦定理得亦厂詁
则由u知'得丽二帀’B|JaPF.=cPF2
设点（x（v）b）由焦点半径公式，得戶人=a^rex^PF2=a-exQ则。
⑺+欲。
）=c（d-隔）记得补汇沪时由椭圆的几何性质呱…则时>"整理得
〜+2«—1>0,解得e<—V2—解法2由解析1知pa=£p坊由椭圆的定义知
a
PF,+PF2=2d则-PF2+PF2=2d即PF,
a
PR+2c—/>0,所以e+2e-l>0,以下同解析
~C+Q
8.D【解析】对于椭圆，因为AP=2PB,则OA=2OF,:
.a=2c,:
.e=-
2
9・B【解析】：
抛物线y2=or（QH0）的焦点F坐标为（-,0）,则直线/的方程为
4
y=2（x--）,^与y轴的交点为A（0,--）,所以△OAF的面积为-|-|«|-|=4,解得
42242
d=±8.所以抛物线方程为y2=±8x，故选B.
10・解：
（I）由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线的方程为
22/T2/T
^7-4=1«>0力>0）,设c=丁/+戻,由准线方程为x=—得乞=宜,得Zr5c5
所以M点的坐标为（"+",朋-"）；
1•解：
（I）因为AB//1,且AB边通过点（0,0）,所以所在直线的方程为y=x.
设A,B两点坐标分别为（州,X）,（*2，y2）.
所以|AB|=V2|xI-x2|=2V2.
又因为AB边上的高h等于原点到直线/的距离.
（II）设AB所在直线的方程为y=x+m,
由[兀+3歹得4兀2+6皿+3加2-4二
[y=x^m
因为A,B在椭圆上，
所以A=—12加2+64>0.
设A,B两点坐标分别为（勺必）,（兀2,力），
所以|ab|=>/2|%!
_对=―.
又因为BC的长等于点（0,加）到直线/的距离，即
所以|AC|2=\ABf+\BCf=-m2-2m+10=-（/n+1）2+11.
所以当m=-\时，AC边最长，（这时△二一12+64>0）
此时AB所在直线的方程为y=1・
19.肚小題主耍考査直线、抛物线等基础知识，考査推理论证能力、运算求解能力.号査函数与方程思想、数形结合思想、化盯与转化思想、分类与整合思想.满分12分.
iW：
故所求的抛物线C的方程为y1=4x,其准线方程为x=-l.
5〉假设存A符、题意的直线I.其方程为y=-2x+1,
Iv=-2x+r,.
由・•、得厂+2丁一2心0・
lx=4x•
因为直线抛物线C有公共点，所UA=4+&20,
解得t>——-
2
\方面，由II江OAGtF胛I离〃=¥可徇解=吉,解得t=±丄.
衍以潑合题意的直线7豪掘其寿程为2x+t-1=0.
3.解：
（1）由椭圆定义知|AE|+|AB|+|BF2|=4
4
又2|AB|=|AE,|+|BF2|,得|AB|=-
■'
（2）L的方程式为y二x+c,其中c=Jl-b，
设A（引yJ,B（勺yj,则A,B两点坐标满足方程组
化简得（1+b2）x2+2cx+1—2b2=0.
r—2c
[-2b2
则西+吃―]+b2，X“2=
_1+/72*
即
因为直线AB的斜率为1,所以|AB|M|x2_xj
8//
T+P
4（1~/?
2）4（1~2/?
2）
（1+/?
2）21+/?
2
解得b=—
2
4.解：
（I）设"（X,y）,由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以迪曲⑻为焦点,长半轴为2的椭圆.它的短半轴“期-（何故曲线C的方程为+"4".
5•解：
（1）因为°丄=（mx,y+l）,Z?
=（x,y-l）,
所以ab=mx2+y2-1=0,即mx2+y2=1.
当m=0时，方程表示两直线,方程为y=±l;
当m=1时，方程表示的是圆
当加>0且zn/1时,方程表示的是椭圆；
当m6.【解析】
（1）由于€=.*•e2=^7-=-―=—^7=—又b=.=42/.
3a~a~33Jl+1
b2=2,a2=3因此，a=\[3・b=\/2.
（2）由
（1）知Fi,F2两点分别为（-1,0）,（1,0）,由题意可设P（1,t）.（tHO）.那
~MN=（-x,--j）.M=（-2,-/）则
2
么线段PF.屮点为N（0,〒），设M（x、y）是所求轨迹上的任意点.由于顾丙=2"心-£）=°消去参数七得y=t
$2=_4x（x工0）,其轨迹为抛物线（除原点）
真题演练1
1【答案】B
【解析】设A（X［,）［）、B（x2,y2）,则有=2pxy,y22=2px2,两式相减得:
（>'l一〉‘2）（歹1+歹2）=2/7（兀［一兀2），又因为直线的斜率为1，所以一=1，所以有
y^y2=2pf又线段AB的屮点的纵坐标为2,即必+力=4,所以p=2,所以抛物线的准线方程为“号」
【命题意图】木题考杳抛物线的儿何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,
2【答案】C
222【解析】由题意，F（・l,0）,设点Pg，）b），则有—+—=1，解得儿2=3（1-汕），
因为FP=（x0+l,y0）,丽=（%」）），所以丽•帀=兀（观+1）+儿2
■22
二丽•帀=勺（％+1）+3（1-号-）二号-+勺+3,此二次函数对应的抛物线的对称轴为
92
如=一2,因为一23.设直线AB：
尸屈一的，代入）亠2卞得3疋+（-6-2咖+3=0,
AM=MBf:
.，解得b+4P_12=0,解得p=2,p=-6（舍去）
4.【命题意图】本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力.
【解题指导】
（1）设椭圆方程为冷+芈
cro
=1,把点A（2,3）代入椭圆方程，把离心率e=^用表示，再根据a2+b2=c\求出a\b2f得椭圆方程；
（2）可以设直线/上任一点
坐标为（兀y），根据角平分线上的点到角两边距离相等得13兀-4）叶6|斗兀_£解：
（I）设椭圆E的方程为
（H）由（I）知片（-2,0）迅（2,0）,所以直线帖的方程为y二討+2）,
即3x-4y+6=0道线A耳的方程为*2曲椭圆酣图形知，ZF/佗的角平分线所在直线的斜率:
设P（x,y）为ZF.A/s的角平分线所在直线上任一点，则有I3-v~4v+6l=x_2
-5
若3^-4y+6=5.r-10,^x+2y-8=0,其斜率为负，不合题意，舍去。
于是3x-4y+6=-5x+10,即2x-y~l=0.
所以，Z\\AF2的角平分线所在直线的方程为2x-y-l=0.
真题演练2
2解析：
选D,本题将解析几何与三角知识相结合，主要考察了双曲线的定义、标准方程,儿何图形、儿何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题
3.解析：
由抛物线的定义可知|AF|==|KF|=2
/.AB丄x轴故\AF\=\BF\=2
4解：
（I）设焦距为2c,由已知可得斥到直线/的距离Uc=2羽,故c=2.
所以椭圆C的焦距为4.
（II）设4（兀1，必）,3（兀2，『2），由题意知X<0,y2>0,直线/的方程为>'=>/3（x-2）.y=^（x_2）,
联立（r2v2得（3/+戻）才+4岳23戻=0
~r+7T=1
la"tr
-伽（2+2°）
3/+夕』
-伽（2-2a）
~3a1+b2~
因为正=2可瓦所以—）｝=2旳・
伽（2+2q）-VW-2£）
3夕+，一―3/+夕
得a=3.而/-b1=4,所以/?
=亦.
故椭圆C的方程气+才】・
真题演练3
4
1.解析：
选B.利用抛物线定义，易证\PAF为正三角形，贝IJIPF|==8
sin30
【解析2】由焦点三角形面积公式得:
60°
SmTc仔『co哼"二护|阳sin60。
=护11“21£
3.【答案】［2,2血）,0
【解析】依题意知，点p在椭圆内部.画岀图形，由数形结合可得，当p在线段片瑪（除
原点）上时（IPF,|+1PF2|）min=2,当P在椭圆顶点处时，取到
（|P£|+|P坊|）,皿为（V2-1）+（V2+1）=2V2,故范围为［2,2^2）.因为
2
（兀0，儿）在椭圆弓~+员=1的内部，则直线-+y-y0=1上的点（兀,y）均在
22
椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.
4.解：
（I）设P（x,y）是曲线C上任意一点，那么点P（x,y）满足：
7（^-l）2+/-x=l（x>0）
化简得y2=4X（X>0）.
设1的方程为x二ty+m,由
（11）设过点“（m,0）（m>0）的直线1与曲线C的交点为A（西,旳），B（x2,y2）«
得y—4ty—4/7/=0,△=16（Z2+m）>0,y=4x
又FA=（xi-l,y1）,FB=（x2-l,y2）。
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