流体力学习题及答案-第四章.doc

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第四章流体动力学基本定理及其应用

4-1欧拉运动微分方程和伯努利方程的前提条件是什么，其中每一项代表什么意义

答：

（1）欧拉运动微分方程是牛顿第二定律在理想流体中的具体应用，其矢量表达式为：

其物理意义为：

从左至右，方程每一项分别表示单位质量理想流体的局部惯性力、迁移惯性力、质量力和压力表面力。

（2）伯努利方程的应用前提条件是：

理想流体的定常运动，质量力有势，正压流体，沿流线积分。

单位质量理想流体的伯努利方程的表达式为：

，从左至右方程每项分别表示单位质量理想流体的动能、压力能和位能，方程右端常数称流线常数，因此方程表示沿流线流体质点的机械能守恒。

4-2设进入汽化器的空气体积流量为，进气管最狭窄断面直径D=40mm，喷油嘴直径d=10mm。

试确定汽化器的真空度。

又若喷油嘴内径d=6mm，汽油液面距喷油嘴高度为50cm，试计算喷油量。

汽油的重度。

答：

（1）求A点处空气的速度：

设进气管最狭窄处的空气速度为，压力为，则根据流管的连续方程可以得到：

，

因此：

。

（2）求真空度

选一条流线，流线上一点在无穷远处F，一点为A点；并且：

在F点：

，；

在A点：

，。

将以上述条件代入到伯努利方程中，可以得到：

因此真空度为：

若取空气的密度为，那么计算得到：

。

（3）求喷油量：

设喷油嘴处汽油的速度为，并设空气的密度为，重度为，汽油的重度为。

选一条流线，流线上一点为上述的A点，另一点为汽油液面上的B点；并且：

在A点：

，，；

在B点：

，，；

代入到伯努利方程中，可以得到：

；

整理得到：

；

因此汽油喷出速度为：

；

其中空气重度；，并注意到喷油嘴的直径是6mm，而不是原来的10mm，则计算得到：

因此汽油流量为：

。

4-3如图所示，水流流入形弯管的体积流量Q=0.01m3/s，弯管截面由=50cm2减小到=10cm2，流速和均匀，若截面上的压力为一个工程大气压，求水流对弯管的作用力及作用点的位置。

。

答：

（1）求截面和上的流速和：

由连续方程可知：

，

；

（2）求上的压力：

已知上的压力1个工程大气压；

由伯努利方程：

得到：

。

（3）求水流对弯管的作用力：

由动量定理可以得到：

。

其中和分别为在和上，外界对水流的作用力；在此需要注意到，对于整个弯管，大气压力对其的作用力合力为0。

因此：

截面上作用力为：

，

截面上作用力为：

。

因此：

（4）求作用力的作用点：

设作用点距截面中心线的距离为，两管中心线之间的距离为。

由动量矩定理可以得到：

；

即：

。

4-4如图所示，弯管的直径由d1=20cm减小到d2=15cm，偏转角为60°，设粗端表压力p1=7840N/m2，流过弯管流体的体积流量Q=0.08m3/s，求水作用于弯管的作用力及作用点的位置。

答：

首先应注意到，表压力读数指相对压力。

也就是说，截面处压力和利用伯努利方程得到的截面的压力的值，均为相对压力。

又由于大气压力对弯管的作用力合力为0，因此在和截面上，均应以相对压力值计算。

（1）利用连续方程求截面和上的流速和：

，；

（2）利用伯努利方程求截面的相对压力：

根据伯努利方程：

可以得到：

；

（3）求管壁对流体的作用力和：

①求方向作用力分量：

由动量定理：

其中为截面上外界对管内流体的作用力；整理得到：

②求方向作用力分量：

由动量定理：

，

其中为截面上外界对管内流体的作用力，整理得到：

（4）求力的作用点：

如图所示，设流体对弯管的作用力和与轴和轴的距离分别为和，由于和上所有外力和流体动量均通过坐标原点，由动量矩定理可知，即合力作用点通过坐标原点。

4-5如图所示，平板垂直于水柱方向，设水柱流来的速度为v0=30m/s，水柱的体积流量Q=294m3/s，分流量Q1=118m3/s。

试求水柱作用在平板上的作用力和水流偏转角。

设液体的重量和粘性可略去不计，水柱四周的压力处处为大气压。

答：

（1）由伯努利方程可知；

（2）设流束宽度分别为，和，则有，；又由连续方程可知：

因此：

；

（3）应用动量定理求平板对流体的作用力和偏转角：

①求偏转角度：

在方向，平板对流体的作用力，即：

；

整理得到：

将代入，可以得到：

，

即：

。

②求方向作用力分量：

由动量定理得到：

整理得到：

4-6图示水箱1中的水经光滑无阻力的圆孔口水平射出，冲到一平板上。

平板封盖着另一水箱2的孔口，水箱1中的水位高度为h1，水箱2中的水位高度为h2，两孔口中心重合，而且直径d1=d2/2。

若射流的形状是对称的，冲击到平板后转向平行于平板的方向，并向四周均匀流出。

假定流动是无粘性不可压定常的，平板和水质量力不计。

当已知h1和水的密度时，求保持平板封盖住水箱2的孔口是h2最大值。

答：

（1）求水箱1出口处速度：

在水箱1的自由液面上选取A点，在出口截面上选取B点；

A点：

，，，其中为大气压力；

B点：

，，。

由过A、B两点的伯努利方程：

得到：

；

因此：

，；

（2）求水流对封板的作用力：

由动量定理，沿垂直于封板的方向：

；

（3）求水箱2的最大高度：

在封板右侧，水箱2形心处的静压力为，因此封板受到水箱2的静水压力：

。

当封板左右两侧压力相同时，即时：

注意到，整理可得：

。

即水箱2液面最大高度为。

4-7工程中常用文丘里（Venturi）管测量管路中水的流量。

管路和收缩管段截面积分别为

S1、S2，水的密度和U形测压计中液体的密度分别为，且。

若不计水的粘性，

试导出图示倾斜管路中水的流量Q与测压计中液体的高度差读数h之间的关系式。

答：

设正常管路截面1-1和收缩段截面2-2的流速分别为和，则由连续方程可知：

；

又设管路的流量为，则：

，；

选取沿管路轴线的流线，由伯努利方程可得到：

，

整理得到：

；

（1）

取形测压计内液体的左侧A点处水平面为等压面，则有：

，

；

由于，则可得到：

；

整理可得：

；

（2）

将

（2）代入到

（1）中，可得：

；

再经整理得到：

，。

4-8圆管内不可压缩定常流动如图所示。

入口处流速U均匀，在某截面处为抛物形速度分布：

，其中为离管轴的径向距离，为一未知常数。

入口处和处管截面压力均匀分布，分别为和，流体密度为，不计重力。

（1）试确定常数；

（2）证明作用在至间，管壁上总的摩擦阻力。

答：

（1）入口处流量为：

；由连续方程可知，处截面的流量也是。

又由于通过截面半径处环形微元面积上的流量为：

对其积分可得到：

；

即：

；

因此得到：

；

则速度分布为：

。

（2）入口处流体的动量为：

；截面上，通过半径为处的环形面积流体的动量为：

；

将上式积分得到：

；

由动量定理可知，动量的变化量等于外力的合力，因此：

；

其中为圆管对流体的摩擦阻力，整理得到：

。

4-9一马蹄形旋涡如图所示，两端向右延伸至无穷远处。

试分别计算R、P、Q三点的诱导速度。

答：

由毕奥-沙伐尔定律可知，涡线对空间一点的诱导速度为：

；

（1）求涡线对R点的诱导速度：

诱导速度由3部分涡线产生，即涡线1、2和3：

涡线1：

方向垂直纸面向外：

；

其中，；；

因此：

。

涡线2：

方向垂直纸面向内：

，；

则：

；

涡线3：

方向垂直纸面向外：

则对R点总诱导速度为：

（2）求涡线对Q点的诱导速度：

涡线1、3作用相同，方向垂直纸面向外：

，；

则：

；

涡线2方向垂直纸面向外：

；

则对Q点总诱导速度为：

；

（3）求涡线对P点的诱导速度：

涡线1、3作用相同，方向垂直纸面向外：

，；

；

则：

。