流体力学习题及答案-第四章.doc
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第四章流体动力学基本定理及其应用
4-1欧拉运动微分方程和伯努利方程的前提条件是什么,其中每一项代表什么意义
答:
(1)欧拉运动微分方程是牛顿第二定律在理想流体中的具体应用,其矢量表达式为:
其物理意义为:
从左至右,方程每一项分别表示单位质量理想流体的局部惯性力、迁移惯性力、质量力和压力表面力。
(2)伯努利方程的应用前提条件是:
理想流体的定常运动,质量力有势,正压流体,沿流线积分。
单位质量理想流体的伯努利方程的表达式为:
,从左至右方程每项分别表示单位质量理想流体的动能、压力能和位能,方程右端常数称流线常数,因此方程表示沿流线流体质点的机械能守恒。
4-2设进入汽化器的空气体积流量为,进气管最狭窄断面直径D=40mm,喷油嘴直径d=10mm。
试确定汽化器的真空度。
又若喷油嘴内径d=6mm,汽油液面距喷油嘴高度为50cm,试计算喷油量。
汽油的重度。
答:
(1)求A点处空气的速度:
设进气管最狭窄处的空气速度为,压力为,则根据流管的连续方程可以得到:
,
因此:
。
(2)求真空度
选一条流线,流线上一点在无穷远处F,一点为A点;并且:
在F点:
,;
在A点:
,。
将以上述条件代入到伯努利方程中,可以得到:
因此真空度为:
若取空气的密度为,那么计算得到:
。
(3)求喷油量:
设喷油嘴处汽油的速度为,并设空气的密度为,重度为,汽油的重度为。
选一条流线,流线上一点为上述的A点,另一点为汽油液面上的B点;并且:
在A点:
,,;
在B点:
,,;
代入到伯努利方程中,可以得到:
;
整理得到:
;
因此汽油喷出速度为:
;
其中空气重度;,并注意到喷油嘴的直径是6mm,而不是原来的10mm,则计算得到:
因此汽油流量为:
。
4-3如图所示,水流流入形弯管的体积流量Q=0.01m3/s,弯管截面由=50cm2减小到=10cm2,流速和均匀,若截面上的压力为一个工程大气压,求水流对弯管的作用力及作用点的位置。
。
答:
(1)求截面和上的流速和:
由连续方程可知:
,
;
(2)求上的压力:
已知上的压力1个工程大气压;
由伯努利方程:
得到:
。
(3)求水流对弯管的作用力:
由动量定理可以得到:
。
其中和分别为在和上,外界对水流的作用力;在此需要注意到,对于整个弯管,大气压力对其的作用力合力为0。
因此:
截面上作用力为:
,
截面上作用力为:
。
因此:
(4)求作用力的作用点:
设作用点距截面中心线的距离为,两管中心线之间的距离为。
由动量矩定理可以得到:
;
即:
。
4-4如图所示,弯管的直径由d1=20cm减小到d2=15cm,偏转角为60°,设粗端表压力p1=7840N/m2,流过弯管流体的体积流量Q=0.08m3/s,求水作用于弯管的作用力及作用点的位置。
答:
首先应注意到,表压力读数指相对压力。
也就是说,截面处压力和利用伯努利方程得到的截面的压力的值,均为相对压力。
又由于大气压力对弯管的作用力合力为0,因此在和截面上,均应以相对压力值计算。
(1)利用连续方程求截面和上的流速和:
,;
(2)利用伯努利方程求截面的相对压力:
根据伯努利方程:
可以得到:
;
(3)求管壁对流体的作用力和:
①求方向作用力分量:
由动量定理:
其中为截面上外界对管内流体的作用力;整理得到:
②求方向作用力分量:
由动量定理:
,
其中为截面上外界对管内流体的作用力,整理得到:
(4)求力的作用点:
如图所示,设流体对弯管的作用力和与轴和轴的距离分别为和,由于和上所有外力和流体动量均通过坐标原点,由动量矩定理可知,即合力作用点通过坐标原点。
4-5如图所示,平板垂直于水柱方向,设水柱流来的速度为v0=30m/s,水柱的体积流量Q=294m3/s,分流量Q1=118m3/s。
试求水柱作用在平板上的作用力和水流偏转角。
设液体的重量和粘性可略去不计,水柱四周的压力处处为大气压。
答:
(1)由伯努利方程可知;
(2)设流束宽度分别为,和,则有,;又由连续方程可知:
因此:
;
(3)应用动量定理求平板对流体的作用力和偏转角:
①求偏转角度:
在方向,平板对流体的作用力,即:
;
整理得到:
将代入,可以得到:
,
即:
。
②求方向作用力分量:
由动量定理得到:
整理得到:
4-6图示水箱1中的水经光滑无阻力的圆孔口水平射出,冲到一平板上。
平板封盖着另一水箱2的孔口,水箱1中的水位高度为h1,水箱2中的水位高度为h2,两孔口中心重合,而且直径d1=d2/2。
若射流的形状是对称的,冲击到平板后转向平行于平板的方向,并向四周均匀流出。
假定流动是无粘性不可压定常的,平板和水质量力不计。
当已知h1和水的密度时,求保持平板封盖住水箱2的孔口是h2最大值。
答:
(1)求水箱1出口处速度:
在水箱1的自由液面上选取A点,在出口截面上选取B点;
A点:
,,,其中为大气压力;
B点:
,,。
由过A、B两点的伯努利方程:
得到:
;
因此:
,;
(2)求水流对封板的作用力:
由动量定理,沿垂直于封板的方向:
;
(3)求水箱2的最大高度:
在封板右侧,水箱2形心处的静压力为,因此封板受到水箱2的静水压力:
。
当封板左右两侧压力相同时,即时:
注意到,整理可得:
。
即水箱2液面最大高度为。
4-7工程中常用文丘里(Venturi)管测量管路中水的流量。
管路和收缩管段截面积分别为
S1、S2,水的密度和U形测压计中液体的密度分别为,且。
若不计水的粘性,
试导出图示倾斜管路中水的流量Q与测压计中液体的高度差读数h之间的关系式。
答:
设正常管路截面1-1和收缩段截面2-2的流速分别为和,则由连续方程可知:
;
又设管路的流量为,则:
,;
选取沿管路轴线的流线,由伯努利方程可得到:
,
整理得到:
;
(1)
取形测压计内液体的左侧A点处水平面为等压面,则有:
,
;
由于,则可得到:
;
整理可得:
;
(2)
将
(2)代入到
(1)中,可得:
;
再经整理得到:
,。
4-8圆管内不可压缩定常流动如图所示。
入口处流速U均匀,在某截面处为抛物形速度分布:
,其中为离管轴的径向距离,为一未知常数。
入口处和处管截面压力均匀分布,分别为和,流体密度为,不计重力。
(1)试确定常数;
(2)证明作用在至间,管壁上总的摩擦阻力。
答:
(1)入口处流量为:
;由连续方程可知,处截面的流量也是。
又由于通过截面半径处环形微元面积上的流量为:
对其积分可得到:
;
即:
;
因此得到:
;
则速度分布为:
。
(2)入口处流体的动量为:
;截面上,通过半径为处的环形面积流体的动量为:
;
将上式积分得到:
;
由动量定理可知,动量的变化量等于外力的合力,因此:
;
其中为圆管对流体的摩擦阻力,整理得到:
。
4-9一马蹄形旋涡如图所示,两端向右延伸至无穷远处。
试分别计算R、P、Q三点的诱导速度。
答:
由毕奥-沙伐尔定律可知,涡线对空间一点的诱导速度为:
;
(1)求涡线对R点的诱导速度:
诱导速度由3部分涡线产生,即涡线1、2和3:
涡线1:
方向垂直纸面向外:
;
其中,;;
因此:
。
涡线2:
方向垂直纸面向内:
,;
则:
;
涡线3:
方向垂直纸面向外:
则对R点总诱导速度为:
(2)求涡线对Q点的诱导速度:
涡线1、3作用相同,方向垂直纸面向外:
,;
则:
;
涡线2方向垂直纸面向外:
;
则对Q点总诱导速度为:
;
(3)求涡线对P点的诱导速度:
涡线1、3作用相同,方向垂直纸面向外:
,;
;
则:
。