导数与微分课件.ppt

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第第2章章导数与微分导数与微分结束结束本章共六节，大体上分为本章共六节，大体上分为两部分。

其中第一部分是导数，两部分。

其中第一部分是导数，第二部分是微分，从结构上来第二部分是微分，从结构上来说它们是平行的。

说它们是平行的。

前页前页结束结束后页后页2.1.12.1.1引出导数概念的实例引出导数概念的实例例例11平面曲线的切线斜率平面曲线的切线斜率曲线曲线的图像如图所示的图像如图所示,在曲线上任取两点在曲线上任取两点和和，作割线作割线，割线的斜率为，割线的斜率为2.12.1导数的概念导数的概念前页前页结束结束后页后页这里这里为割线为割线MN的倾角，设的倾角，设是切线是切线MT的倾角，的倾角，当当时，时，点点N沿曲线趋于点沿曲线趋于点M。

若上式的若上式的极限存在，记为极限存在，记为k，则此极限值则此极限值k就是所求切线就是所求切线MT的斜率，即的斜率，即前页前页结束结束后页后页当当趋向于趋向于00时，如果极限时，如果极限设某产品的总成本设某产品的总成本C是产量是产量Q的函数，即的函数，即C=C（Q），当产当产量量Q从从变到变到时时，总成本相应地改变量为总成本相应地改变量为当产量从当产量从变到变到时时，总成本的平均变化率总成本的平均变化率存在，则称此极限是产量为存在，则称此极限是产量为时总成本的变化率。

时总成本的变化率。

例例22产品总成本的变化率产品总成本的变化率前页前页结束结束后页后页定义定义设设y=f（x）在点在点x0的某邻域内有定义，的某邻域内有定义，属于该邻域，记属于该邻域，记若若存在，则称其极限值为存在，则称其极限值为y=f（x）在点在点x0处的导数，记为处的导数，记为或或2.1.2导数的概念导数的概念前页前页结束结束后页后页导数定义与下面的形式等价：

导数定义与下面的形式等价：

若若y=f（x）在在x=x0的导数存在，则称的导数存在，则称y=f（x）在点在点x0处可导，反之称处可导，反之称y=f（x）在在x=x0不可导，此时意不可导，此时意味着不存在味着不存在.函数的可导性与函数的连续性的概念函数的可导性与函数的连续性的概念都是描述函数在一点处的性态，导数的大小反映都是描述函数在一点处的性态，导数的大小反映了函数在一点处变化了函数在一点处变化（增大或减小增大或减小）的快慢的快慢.前页前页结束结束后页后页书上书上50页还有几个常见的形式，值得注意的是其页还有几个常见的形式，值得注意的是其中的第二个一般来说只能在已知导数存在的时候中的第二个一般来说只能在已知导数存在的时候使用。

另外，导数为无穷只是个记号，不代表导使用。

另外，导数为无穷只是个记号，不代表导数存在。

数存在。

前页前页结束结束后页后页三、左导数与右导数三、左导数与右导数左导数左导数:

右导数右导数:

显然可以用下面的形式来定义左、右导数显然可以用下面的形式来定义左、右导数定理定理3.1y=f（x）在在x=x0可导的充分必要条件是可导的充分必要条件是y=f（x）在在x=x0的左、右导数存在且相等的左、右导数存在且相等.前页前页结束结束后页后页三、导数的几何意义三、导数的几何意义当自变量当自变量从变化到从变化到时，曲线时，曲线y=f（x）上上的点由的点由变到变到此时此时为割线两端点为割线两端点M0，M的横坐标之差，而的横坐标之差，而则为则为M0，M的纵坐标之差，的纵坐标之差，所以所以即为过即为过M0，M两点的两点的割线的斜率割线的斜率.M0M前页前页结束结束后页后页曲线曲线y=f（x）在点在点M0处的切线即为割线处的切线即为割线M0M当当M沿沿曲曲线线y=f（x）无限接近无限接近时的极限位置时的极限位置M0P，因而当因而当时，割线斜率的极限值就是切线的斜率时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.即：

即：

所以，导数所以，导数的几何意义是的几何意义是曲线曲线y=f（x）在点在点M0（x0,f（x0）处的切线斜率处的切线斜率.M0M前页前页结束结束后页后页设函数设函数y=f（x）在点处可导，则曲线在点处可导，则曲线y=f（x）在点在点处的切线方程为：

处的切线方程为：

而当而当时时,曲线曲线在在的切线方程为的切线方程为（即法线平行y轴）.当当时时,曲线曲线在在的法线的法线方程为方程为而当而当时时,曲线曲线在在的法线方程为的法线方程为前页前页结束结束后页后页例例33求函数求函数的导数的导数解解:

（1）:

（1）求增量求增量:

（2）

（2）算比值算比值:

（3）（3）取极限取极限:

同理可得同理可得:

特别地特别地,.,.前页前页结束结束后页后页例例44求曲线求曲线在点在点处的切线与法线方程处的切线与法线方程.解解:

因为因为,由导数几何意义由导数几何意义,曲线曲线在点在点的切线与法线的斜率分别为的切线与法线的斜率分别为:

于是所求的切线方程为于是所求的切线方程为:

即即法线方程为法线方程为:

即前页前页结束结束后页后页2.1.42.1.4可导性与连续性的关系可导性与连续性的关系定理定理2若函数若函数y=f（x）在点在点x0处可导，处可导，则则f（x）在点在点x0处连续处连续.证证因为因为f（x）在点在点x0处可导，故有处可导，故有根据函数极限与无穷小的关系根据函数极限与无穷小的关系,可得可得:

两端乘以两端乘以得得:

由此可见由此可见:

即即函数函数y=f（x）在点在点x0处连续处连续.证毕证毕.前页前页结束结束后页后页例例5证明函数证明函数在在x=0处连续但不可导处连续但不可导.证证因为因为所以所以在在x=0=0连续连续而而即函数即函数在在x=0处左右导数不相等处左右导数不相等,从而在从而在x=0不可导不可导.由此可见，函数在某点连续是函数在该点可由此可见，函数在某点连续是函数在该点可导的必要导的必要条件，但不是充分条件条件，但不是充分条件即可导定连续即可导定连续,连续不一定可导连续不一定可导.前页前页结束结束后页后页设函数设函数u（u（x）与与v（v（x）在点在点x处均可导，则处均可导，则:

定理一定理一2.2.12.2.1函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则2.22.2导数的运算导数的运算特别地特别地,如果如果可得公式可得公式前页前页结束结束后页后页注：

法则（注：

法则

（1）（）

（2）均可推广到有限）均可推广到有限多个可导函数的情形多个可导函数的情形例：

例：

设设u=u（x）,v=v（x）,w=w（x）在点在点x处均处均可导，则可导，则前页前页结束结束后页后页解：

解：

例例2设设解：

解：

例例1前页前页结束结束后页后页解：

解：

即即类似可得类似可得例例3求求y=tanx的导数的导数前页前页结束结束后页后页解：

解：

即即类似可得类似可得例例4求求y=secx的导数的导数前页前页结束结束后页后页定理二定理二如果函数如果函数在在x处可导，而函数处可导，而函数y=f（u）在对应的在对应的u处可导，处可导，那么复合函数那么复合函数在在x处可导，且有处可导，且有或或对于多次复合的函数，其求导公式类似，对于多次复合的函数，其求导公式类似，此法则也称链导法此法则也称链导法注：

注：

2.2.2复合函数的导数复合函数的导数前页前页结束结束后页后页例例7解：

解：

解：

解：

例例6前页前页结束结束后页后页定理三定理三如果单调连续函数如果单调连续函数在某区间内可导，在某区间内可导，则它的反函数则它的反函数y=f（x）在对应的区间在对应的区间内可导，且有内可导，且有或或证证因为因为的反函数的反函数上式两边对上式两边对x求导得求导得或或或或2.2.3反函数的求导法则反函数的求导法则前页前页结束结束后页后页解：

解：

y=arcsinx是是x=siny的反函数的反函数因此在对应的区间（因此在对应的区间（-1，1）内有）内有即即同理同理求函数求函数y=arcsinx的导数的导数例例7前页前页结束结束后页后页基本导数公式表基本导数公式表2.2.4基本初等函数的导数基本初等函数的导数前页前页结束结束后页后页即即或或记作记作或或二阶导数：

二阶导数：

如果函数如果函数f（x）的导函数的导函数仍是仍是x的可导的可导函数，就称函数，就称的导数为的导数为f（x）的二阶导数，的二阶导数，n阶导数：

阶导数：

二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数的计算：

高阶导数的计算：

运用导数运算法则与基本公式将函运用导数运算法则与基本公式将函数逐次求导数逐次求导2.3高阶导数高阶导数前页前页结束结束后页后页解：

解：

特别地特别地例例9解：

解：

即即同理同理例例8前页前页结束结束后页后页简单简单介绍下求高阶导数的介绍下求高阶导数的Leibniz公式。

特别指公式。

特别指出它和二项式展开的形式上的类似之处与差别。

出它和二项式展开的形式上的类似之处与差别。

前页前页结束结束后页后页1.隐函数的导数隐函数的导数例例10求方程求方程所确定的函数的导数所确定的函数的导数解：

解：

方程两端对方程两端对x求导得求导得2.5隐函数和由参数方程确定的函数的导数隐函数和由参数方程确定的函数的导数隐函数即是由隐函数即是由所确定的函数，其求导方法就是把所确定的函数，其求导方法就是把y看成看成x的函数，方程两端同时对的函数，方程两端同时对x求导，然后解出求导，然后解出。

即即前页前页结束结束后页后页例例9解：

解：

两边对两边对x求导得求导得前页前页结束结束后页后页解一解一例例11前页前页结束结束后页后页两边对两边对x求导，由链导法有求导，由链导法有解二称为解二称为对数求导法对数求导法，可用来求幂指函数和多个因，可用来求幂指函数和多个因子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导注：

注：

解二解二前页前页结束结束后页后页解：

解：

将函数取自然对数得将函数取自然对数得两边对两边对x求导得求导得例例12前页前页结束结束后页后页且且设设均可导均可导,具有单值连续具有单值连续反函数反函数，则参数方程确定的函数可看成则参数方程确定的函数可看成与与复合而成的函数，复合而成的函数，根据求导法则有：

根据求导法则有：

求得求得y对对x的导数的导数对参数方程所确定的函数对参数方程所确定的函数y=f（x）,可利用参数方程直接可利用参数方程直接此即参数方程所确定函数的此即参数方程所确定函数的求导公式求导公式2.参数方程所确定的函数的导数参数方程所确定的函数的导数变量变量y与与x之间的函数关系有时是由参数方程之间的函数关系有时是由参数方程确定的，其中确定的，其中t称为参数称为参数前页前页结束结束后页后页解：

解：

曲线上对应曲线上对应t=1的点（的点（x,y）为（为（0,0）,曲线曲线t=1在处的切线斜率为在处的切线斜率为于是所求的切线方程为于是所求的切线方程为y=x求曲线求曲线在在t=1处的切线方程处的切线方程例例13前页前页结束结束后页后页简单介绍一下对由方程确定的函数求二阶导数的简单介绍一下对由方程确定的函数求二阶导数的方法，关键是正确写出一阶导数的正确形式。

方法，关键是正确写出一阶导数的正确形式。

前页前页结束结束后页后页解解如图，正方形金属片的面如图，正方形金属片的面积积A与边长与边长x的函数关的函数关系系为为A=x2,受热后当边长由受热后当边长由x0伸长到伸长到x0+时时,面积面积A相应的增量为相应的增量为2.6.1微分的概念微分的概念例例1设有一个边长为设有一个边长为x0的正方形金属片，受热后它的的正方形金属片，受热后它的边长伸长了边长伸长了，问其面积增加了多少？

，问其面积增加了多少？

2.62.6微分微分前页前页结束结束后页后页的线性函数的线性函数从上式可以看出，从上式可以看出，这表明这表明这部分就是面积这部分就是面积的增量的主要部分（线性主部）的增量的主要部分（线性主部）所以上式可写成所以上式可写成前页前页结束结束后页后页可以表示为可以表示为定义定义设函数设函数在点在点的某邻域内有定义，的