绝密考研数学完整版及参考答案docx.docx
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2019考研数学完整版及参考答案
一、选择题：
1－8小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）设函数yf（x）具有二阶导数，且f（x）0,f（x）0，x为自变量x在点x0处的增
量，y与dy分别为f（x）在点x0处对应的增量与微分，若x0，则（）
（A）0dyy.（B）0ydy.
（C）ydy0.（D）dyy0.
x
（2）设f（x）是奇函数，除
x
0外处处连续，
x
0是其第一类间断点，则
（A）连续的奇函数.
（B）连续的偶函数
（C）在x
0间断的奇函数
（D）在x
0间断的偶函数.
（3）设函数g（x）
可微，h（x）
e1g（x）,h
（1）
1,g
（1）
2，则g
（1）等于（
（A）ln3
1
.
（B）
ln31.
（C）
ln2
1.
（D）ln2
1.
（4）函数y
C1ex
C2e2x
xex满足的一个微分方程是
[
]
（A）
y
y
2
y
3ex.
（B）
y
y
23ex.
x
y
（C）
y
y
2
y
3ex.
（D）
y
y
2
y
3ex.
x
（5）设f（x,y）为连续函数，则
04d
1
0f（rcos
rsin
）rdr等于（）
2
1
x2
f（x,y）dy.
（B）
2
dx
1
x2
（Ａ）
0
2dx
2
0
f（x,y）dy.
x
0
2
1y2
2
1
y
2
（C）
2
dy
f（x,y）dx.
（D）
2dy
f（x,y）dx.
y
0
0
0
f（t）dt是
0
（）
）
（6）设f（x,y）与
（x,y）均为可微函数，且
y
（
y
）
0，已知（x,y）是f（x,y）在约束
x
00
条件（x,y）
0下的一个极值点，下列选项正确的是（）
（A）
若fx
（x0,y0）
0，则fy（x0,y0）
0.
（B）
若fx
（x0,y0）
0，则fy（x0,y0）
0.
（C）
若fx（x0,y0）
0，则fy（x0,y0）
0
.
（D）
若fx（x0,y0）
0，则fy（x0,y0）
0
.
（7）设1,2,L,s均为n维列向量，A为mn矩阵，下列选项正确的是[]
（A）若1,2,L,s线性相关，则A1,A2,L,As线性相关.
（B）若1,2,L,s线性相关，则A1,A2,L,As线性无关.
（C）若1,2,L,s线性无关，则A1,A2,L,As线性相关.
（D）若1,2,L,s线性无关，则A1,A2,L,As线性无关.
（8）设
A
为3
阶矩阵，将
A
的第2
行加到第
1行得
B
，再将
B
的第1
列的
1
倍加到第
1
1
0
2列得C，记P0
1
0
，则（）
0
0
1
（Ａ）C
P1AP.
（Ｂ）C
PAP
1.
（Ｃ）C
PTAP.
（Ｄ）C
PAPT.
一．填空题
（9）曲线y
x
4sin
x
的水平渐近线方程为
2cosx
5x
1
x
2
sint
dt,x
0
在x
0处连续，则a
（10）设函数f（x）
x
3
0
a,
x
0
（11）广义积分
xdx
.
0
（1x2）2
（12）微分方程y
y（1
x）的通解是
x
（13）设函数y
y（x）由方程y
y
dy
1xe确定，则
dx
x0
（14）设矩阵A
2
1
，E为2阶单位矩阵，矩阵
B满足BA
B2E，则
1
2
B.
三、解答题：
15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
试确定A,B,C的值，使得
ex（1BxCx2）1Axo（x3），
其中o（x3）是当x0时比x3高阶的无穷小.
（16）（本题满分10分）
求arcsinexdx.ex
（17）（本题满分10分）
设区域D
（x,y）x2
y2
1,x
1
xy
dxdy.
0，计算二重积分
22
D1x
y
（18）（本题满分
12分）
设数列xn
满足0x1
xn1
sinxn（n1,2,L）
（Ⅰ）证明limxn存在，并求该极限；
n
1
（Ⅱ）计算limxn1x2n.
nxn
（19）（本题满分10分）
证明：
当0ab时，
bsinb
2cosb
b
asina
2cosa
a.
（20）（本题满分12
分）
设函数f（u）在（0,
）内具有二阶导数，且
zf
x2
y2满足等式
2z
2z
0
.
x2
y2
（I）验证f（u）
f（u）
0；
u
（II）若f
（1）
0,
f
（1）
1，求函数f（u）的表达式.
（21）（本题满分12
分）
已知曲线L的方程
x
t2
1
y
4t
t2
（t0）
（I）讨论L的凹凸性；
（II）过点（1,0）引L的切线，求切点（x0,y0），并写出切线的方程；
（III）求此切线与L（对应于xx0的部分）及x轴所围成的平面图形的面积.
（22）（本题满分9分）已知非齐次线性方程组
x1
x2
x3x4
1
4x1
3x2
5x3
x4
1
ax1
x2
3x3
bx4
1
有3个线性无关的解.
（Ⅰ）证明方程组系数矩阵
A的秩r
A2；
（Ⅱ）求a,b的值及方程组的通解.
（23）（本题满分9分）
设3
A的各行元素之和均为
3,向量
T
T
阶实对称矩阵
11,2,1,2
0,1,1是
线性方程组Ax0的两个解.
（Ⅰ）
求A的特征值与特征向量；
（Ⅱ）
求正交矩阵Q和对角矩阵
使得QTAQ
.
数学答案
1.A【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.
【详解】
由f（x）
0,f（x）
0知，函数f（x）单
调增加，曲线
y
f（x）凹向，作函数
yf（x）的图形如
右图所示，显然当
x
0时，
ydy
f（x0）dxf（x0）x0，故应选（Ａ）.
【评注】对于题设条件有明显的几何意义或所给函
数图形容易绘出时，图示法是求解此题的首选方法
.本题
还可用拉格朗日定理求解：
yf（x0
x）f（x0）f（）x,x0
x0
x
因为f
（x）
0，所以f（x）单调增加，即f
（）
f（x0），又
x0，
则
yf（）xf（x0）xdy0，即0dyy.
定义一般教科书均有，类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.165【例6.1】，P.193【１（３）】.
2.B【分析】由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题
x
f（t）dt，然后选择正确选项.
设条件的特殊函数
f（x）去计算F（x）
0
【详解】取
f（x）
x,x
0
1,x
.
0
则当x0时，F（x）
x
x
tdt
1
limx221x2，
f（t）dt
lim
0
0
2
0
2
而F（0）0limF（x），所以F（x）为连续的偶函数，则选项（Ｂ）正确，故选（Ｂ）.
x0
【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择
题，用赋值法求解往往能收到奇效.
符合题设条件的函数在多教科书上均可见到，完全类似例题见2006文登最新模拟试
卷（数学三）（8）.
3.C【分析】题设条件
h（x）e1g（x）两边对x求导,再令x
1即可.
【详解】h（x）e1
g（x）两边对x求导,得
h（x）
e1g（x）g（x）.
上式中令x
1，又h
（1）
1,g
（1）
2，可得
1g
（1）
1
g
（1）
g
（1）
，故选（C）.
1h
（1）e
g
（1）
2e
ln21
【评注】本题考查复合函数求导，属基本题型.
完全类似例题见文登暑期辅导班
《高等数学》第2讲第2节【例12】，《数学复习指南》
理工类P.47【例2.4】，《数学题型集粹与练习题集》理工类
P.1【典例精析】.
4.D【分析】本题考查二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构及非齐次方程的特解与对应齐次微分方程特征根的关系.故先从所给解分析出对应齐次微分方程的特征方程的根，然后由特解形式判定非齐次项形式.
【详解】由所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为
11,2
2.
则对应的齐次微分方程的特征方程为
（
1）（
2）
0,即2
2
0.
故对应的齐次微分方程为
y
y2y
0.
y
x
而
1
为特征单根，故原非齐次线性微分方程右端
又*
ex为原微分方程的一个特解，
的非齐次项应具有形式
f
x
C
C
为常数）.所以综合比较四个选项，应选（
D）.
（）
ex（
【评注】对于由常系数非齐次线性微分方程的通解反求微分方程的问题，关键是要掌握
对应齐次微分方程的特征根和对应特解的关系以及非齐次方程的特解形式
..
完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第
7讲第2节【例9】和【例10】，《数学
复习指南》P.156【例5.16】，《数学题型集粹与练习题集》（理工类）P.195（题型演练3），
《考研数学过关基本题型》
（理工类）
P.126【例14】及练习.
5.C【分析】本题考查将坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分，首先由题
设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可.
【详解】由题设可知积分区域D如右图所示，显然是Y型域，则
2
2
1y
原式
2dy
f（x,y）dx.
0
y
故选（Ｃ）.
【评注】本题为基本题型，关键是首先画出积分区域的
图形.
完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第10讲第2节例4，《数学复习指南》
（理工类）P.286【例10.6】，《考研数学过关基本题型》（理工类）P.93【例6】及练习.
6.D【分析】利用拉格朗日函数F（x,y,
）
f（x,y）
（x,y）在（x0,y0,
0）（0是对应
x0,y0的参数
的值）取到极值的必要条件即可.
【详解】作拉格朗日函数F（x,y,
）
f（x,y）
（x,y），并记对应x0,y0的参数
的值为
0，则
Fx（x0,y0,0）0
fx（x0,y0）
0x（x0,y0）0
，即
.
Fy（x0,y0,0）0
fy（x0,y0）
0y（x0,y0）0
消去
0，得
fx（x0,y0）y（x0,y0）
fy（x0,y0）x（x0,y0）
0,
1
fy（x0,y0）
x（x0,y0）.（因为
y（x,y）
0），
整理得
fx（x0,y0）
y（x0,y0）
若fx（x0,y0）
0，则fy（x0,y0）
0
.故选（Ｄ）.
【评注】本题考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法
.
相关定理见《数学复习指南》
（理工类）Ｐ.251
定理1及Ｐ.253
条件极值的求法.
7.A【分析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定
.
【详解】记B（1,2,L,s），则（A1,A2,L,As）AB.
所以，若向量组
1,2,L,s线性相关，则
r（B）
s，从而r（AB）
r（B）
s，向量组
A1,A2,L,As也线性相关，故应选
（Ａ）.
【评注】对于向量组的线性相关问题，可用定义，秩，也可转化为齐次线性方程组有无非零解进行讨论.
8.B
【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得【详解】由题设可得
.
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
B0
1
0
A,
CB0
1
0
0
1
0
A0
1
0
，
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
而P1
0
1
0
，则有C
PAP1.故应选（Ｂ）.
0
0
1
【评注（】１）每一个初等变换都对应一个初等矩阵，
并且对矩阵
A施行一个初等行（列）
变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵.
（２）牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系
.
完全类似例题及性质见《数学复习指南》
（理工类）P.381【例2.19】，文登暑期辅导
班《线性代数》第2
讲例12.
9.【分析】
直接利用曲线的水平渐近线的定义求解即可.
4sinx
【详解】
lim
x
4sinx
lim
1
x
1.
x
5x
2cosx
x
2cosx
5
5
x
故曲线的水平渐近线方程为
y
1.
5
【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在，为什么？
完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第6讲第4节【例12】，《数学复习指南》（理工类）P.180【例6.30】，【例6.31】.
10.【分析】本题为已知分段函数连续反求参数的问题
.直接利用函数的连续性定义即可.
【详解】由题设知，函数
f（x）
在x0处连续，则
limf（x）
f（0）a，
x
0
x
2
dt
sint
2
lim0
limsinx
1
又因为
limf（x）
x3
.
x0
x0
x03x2
3
所以a
1.
3
【评注】遇到求分段函数在分段点的连续性问题，一般从定义入手
.本题还考查了积分
上限函数的求导，洛必达法则和等价无穷小代换等多个基本知识点，属基本题型
.
完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第
1讲第1节【例
13】，《数学复习指
南》（理工类）P.35【例1.51】.88年，89年，94年和03年均考过该类型的试题，本题属
重点题型.
11.【分析】利用凑微分法和牛顿－莱布尼兹公式求解.
xdx
1
bd（1+x2）
1
1
b1
1
1
1
【详解】
lim
0（1x2）2
lim
0
lim
2
.
0（1x2）2
2b
2b
1+x
2
2b1+b2
2
【评注】本题属基
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