集合经典知识点复习与练习综合.docx
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集合经典知识点复习与练习综合
知识点一:
集合的含义与表示
一、集合的概念
实例引入:
⑴1~20以内的所有质数;
⑵我国从1991~2003的13年内所发射的所有人造卫星;
⑶金星汽车厂2003年生产的所有汽车;
⑷2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家;
⑸所有的正方形;
⑹黄图盛中学2004年9月入学的高一学生全体.
概念结论:
一般地,我们把研究对象统称为元素;把一些元素组成的总体叫做集合,也简称集.
二、集合元素的特征
(1)确定性:
设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立.
(2)互异性:
一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素.
(3)无序性:
一般不考虑元素之间的顺序,但在表示数列之类的特殊集合时,通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写
练习:
判断下列各组对象能否构成一个集合
⑴ 2,3,4⑵(2,3),(3,4)⑶ 三角形
⑷ 2,4,6,8,…⑸ 1,2,(1,2),{1,2}
⑹我国的小河流⑺方程x2+4=0的所有实数解
⑻好心的人⑼著名的数学家⑽方程x2+2x+1=0的解
三、集合相等
构成两个集合的元素一样,就称这两个集合相等
四、集合元素与集合的关系
集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示:
(1)如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作a∈A
(2)如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作a∈A
五、常用数集及其记法
非负整数集(或自然数集),
除0的非负整数集,也称正整数集,
整数集,;有理数集,实数集,
练习:
(1)已知集合M={a,b,c}中的三个元素可构成某一三角形的三条边,那么此三角形一定不是()
A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等腰三角形
(2)说出集合{1,2}与集合{x=1,y=2}的异同点?
六、集合的表示方式
(1)列举法:
把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内;
(2)描述法:
用集合所含元素的共同特征表示的方法.(具体方法)
例1、用列举法表示下列集合:
(1)小于10的所有自然数组成的集合;
(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合;
(3)由1~20以内的所有质数组成。
例2、试分别用列举法和描述法表示下列集合:
(1)由大于10小于20的的所有整数组成的集合;
(2)方程x2-2=2的所有实数根组成的集合.
注意:
(1)描述法表示集合应注意集合的代表元素
(2)只要不引起误解集合的代表元素也可省略
七、小结
集合的概念、表示;集合元素与集合间的关系;常用数集的记法.
1.集合的概念、集合三要素
2.集合的表示、符号、常用数集、列举法、描述法
3.关于“属于”的概念
知识点二:
集合间的基本关系
(一)子集的概念
1.实例:
A={1,2,3}B={1,2,3,4,5}引导观察.
结论:
对于两个集合A和B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则说:
这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作AB(或BA),读作“A含于B”(或“B包含A”).
2.反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB已(或BA)
(二)空集的概念
不含任何元素的集合叫做空集,记作φ,并规定:
空集是任何集合的子集.
(三)“相等”关系
1、实例:
设A={x|x∧2-1=0}B={-1,1}“元素相同”
结论:
对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,记作A=B(即如果AB同时BA那么A=B).
2、①任何一个集合是它本身的子集.AA
②真子集:
如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集,记作AB
③空集是任何非空集合的真子集.
④如果AB,BC,那么AC.
(三)例题与练习
例1、设集合A={1,3,a},B={1,a-a+1}
AB,求a的值
练习1:
写出集合A={a,b,c}的所有子集,并指出哪些是真子集?
有多少个?
例2、求满足{x|x2+2=0}M{x|x2-1=0}的集合M.
例3、若集合A={x|x2+x-6=0},B={x|ax+1=0}
且BA,求a的值.
练习2:
集合M={x|x=1+a2,aN*},P={x|x=a2-4a+5,aN*}
下列关系中正确的是()
AMPBPM
CM=PDMP且PM
三、小结
子集、真子集、空集的有关概念.
知识点三:
集合的基本运算
(一)提问(板演):
用列举法表示集合:
A={6的正约数},B={10的正约数},C={6与10的正公约数},并用适当的符号表示它们之间的关系.
解:
A=1,2,3,6},B={1,2,5,10},C={1,2}CA,CB
(二)全集
定义:
如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,
集合就可以看作一个全集.通常用U来表示.
如:
把实数R看作全集U,则有理数集Q的补集CUQ是全体无理数的集合.
(三)补集
1、实例:
S是全班同学的集合,集合A是班上所有参加校运会同学的集合,集合B是班上所有没有参加校运动会同学的集合.集合B是集合S中除去集合A之后余下来的集合.
结论:
设S是一个集合,A是S的一个子集(即
),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集
记作:
CsA即CsA={xxS且xA}
2.例:
S={1,2,3,4,5,6}A={1,3,5}CsA={2,4,6}
(四)并集与交集
1、实例:
A={a,b,c,d}B={a,b,e,f}
cdabef
cdabef
公共部分A∩B合并在一起A∪B
2、定义:
(1)交集:
由属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合,称为集合A和集合B的交集,记作A∩B,即A∩B={x|xA且xB}.
(2)并集:
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A和集合B的并集,记作A∪B,即A∪B={x|xA或xB}.
(五)例题与练习
例1、
(1)若S={2,3,4},A={4,3},则CsA=.
(2)若S={三角形},A={锐角三角形},则CsA=。
(3)若U={1,3,a2+2a+1},A={1,3},则a=。
(4)若A={0,2,4},CUA={-1,2},CUB={-1,0,2},求B=。
练习1:
判断正误
(1)若U={四边形},A={梯形},则CUA={平行四边形}
(2)若U是全集,且AB,则CUACUB
(3)若U={1,2,3},A=U,则CUA=
思考:
已知A={x|x<3},B={x|x(1)若AB,CRBCRA是否成立?
(2)CRACR(CR(CRB),求a的取值范围.
例2、新华中学开运动会,设A={x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学},B={x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学},求A∩B.
例3、设平面内直线l1上点的集合为L1,直线l2上点的集合为L2,用集合的运算表示l1、l2的位置关系.
练习2:
1、设A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角形},求A∩B.
2、设A={x|x>-2},B={x|x<0},求A∩B.
3、若A={x|x=4n,n∈Z},B={x|x=6n,n∈Z},求A∩B.
4、A={x|a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5},分别求出满足下列条件的a的取值范围:
(1)A∩B=
(2)A∩B=A
例4、已知集合A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∪B.
例5、已知A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3}求A∪B.
例6、已知U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3},B={3,4,5,6},求CUA,CUB.
练习3:
2、全集U={x|x≤8,且x∈N*},AU,BU且A∩B={4,5},
(CUB)∩A={1,2,3},(CUA)∩(CUB)={6,7,8},求集合A和B.
3、已知A={x|-1<x<3},A∩B=,A∪B=R,求B.
4、已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2-mx+2=0},且A∪B=A,A∩C=C,求a,m的值.
(六)小结
全集、补集、交集、并集的有关概念和性质及其运算
一.选择题
1.下列说法正确的是()
A.某个村子里的年青人组成一个集合
B.所有小正数组成的集合
C.集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合
D.
这些数组成的集合有五个元素
2.下面有四个命题:
(1)集合N中最小的数是否;
(2)0是自然数;
(3){1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合;
(4)
其中正确的命题的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.给出下列关系:
(1)
(2)
(3)
(4)
其中正确的个数为()
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.给出下列关系:
(1){0}是空集;
(2)
(3)集合
(4)集合
其中正确的个数为()
A.1个B.2个C.3个D.0个
5.下列四个命题:
(1)空集没有了集;
(2)空集是任何一个集合的真子集;
(3)空集的元素个数为零;
(4)任何一个集合必有两个或两个以上的子集.
其中正确的有()
A.0个B.1个C.2个D.3个
6.已知集合
那么
等于( )
A.{1,2,3,4,5}B.{2,3,4,5}
C.{2,3,4}D.
7.已知全集
集合
( )
A.{0}B.
C.
D.
二.填空题
8.方程的解集为
用列举法表示为____________.
9.用列举法表示不等式组
的整数解集合为____________.
10.已知A={菱形},B={正方形},C={平行四边形},那么A,B,C之间的关系是__________.
11.已知全集U=N,集合
,则
用列举法表示为_____________.
三.解答题
12.已知
13.已知
.
14.若集合
则满足于条件的实数
的个数有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
15.设集合
,则实数
______________.
16.已知全集
那么
.
17.已知集合
18.设
求a的取值范围.
19.试用适当的符号把
连接起来.
20.已知集合
的值或取值范围.