中考总复习及答案第18课时 等腰三角形与直角三角形Word版.docx
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中考总复习及答案第18课时等腰三角形与直角三角形Word版
第四单元三角形
第十八课时等腰三角形与直角三角形
基础达标训练
1.若等腰三角形的两边长为3和7,则该等腰三角形的周长为( )
A.10 B.13 C.17 D.13或17
2.(2017滨州)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD=BA,则∠B的大小为( )
A.40°B.36°C.30°D.25°
第2题图 第3题图
3.(2017荆州)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,AB的垂直平分线l交AC于点D,则∠CBD的度数为( )
A.30°B.45°C.50°D.75°
4.如图,等边△OAB的边长为2,则点B的坐标为( )
A.(1,1)B.(
,1)C.(
,
)D.(1,
)
第4题图 第5题图
5.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE是角平分线,则图中的等腰三角形共有( )
A.8个B.7个C.6个D.5个
6.(2017大连)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,点E是AB的中点,CD=DE=a,则AB的长为( )
A.2aB.2
aC.3aD.
a
第6题图第7题图
7.如图,在△ABC中,D是BC上一点,AB=AD,E、F分别是AC、BD的中点,EF=2,则AC的长是( )
A.3B.4C.5D.6
第8题图
8.(2017滨州)如图,在△ABC中,AC⊥BC,∠ABC=30°,点D是CB延长线上的一点,且BD=BA,则tan∠DAC的值为( )
A.2+
B.2
C.3+
D.3
9.
(2017荆州)《九章算术》中的“折竹抵地”问题:
今有竹高一丈,来折抵地,去根六尺,问折高者几何?
意思是:
一根竹子,原高一丈(一丈=10尺),一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部6尺远,问折断处离地面的高度是多少?
设折断处离地面的高度为x尺,则可列方程为( )
A.x2-6=(10-x)2B.x2-62=(10-x)2
C.x2+6=(10-x)2D.x2+62=(10-x)2
10.(2017丽水)等腰三角形的一个内角为100°,则顶角的度数是________.
11.(2017淮安)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是AB,AC的中点,点F是AD的中点,若AB=8,则EF=________.
第11题图第12题图
12.(2017益阳)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,DE是线段AC的垂直平分线,若BE=a,AE=b,则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为________.
13.(2017绥化)在等腰△ABC中,AD⊥BC交直线BC于点D,若AD=
BC,则△ABC的顶角的度数为________.
14.(2017淄博)在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF=________.
15.在△ABC中,BC=2,AB=2
,AC=b,且关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根,则AC边上的中线长为________.
16.(2017常德)如图,已知Rt△ABE中,∠A=90°,∠B=60°,BE=10,D是线段AE上的一动点,过D作CD交BE于C,并使得∠CDE=30°,则CD长度的取值范围是________.
第16题图 第17题图
17.如图,在等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=CB=2,点D为AC的中点,点E,F分别是线段AB,CB上的动点,且∠EDF=90°,若ED的长为m,则△BEF的周长是________(用含m的代数式表示).
18.(6分)(2017北京)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.
求证:
AD=BC.
第18题图
19.(8分)在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.
某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.
第19题图
能力提升训练
1.(2017海南)已知△ABC的三边长分别为4、4、6,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可能( )条.
A.3B.4C.5D.6
第2题图
2.(2017台州)如图,已知等腰三角形ABC,AB=AC.若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是( )
A.AE=ECB.AE=BE
C.∠EBC=∠BACD.∠EBC=∠ABE
3.如图,△ABC是等边三角形,BD平分∠ABC,点E在BC的延长线上,且CE=1,∠E=30°,则BC=________.
第3题图第4题图
4.(2017杭州)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=15,AC=20,点D在边AC上,AD=5,DE⊥BC于点E,连接AE,则△ABE的面积等于________.
5.若点P是△ABC内一点,且它到三角形三个顶点的距离之和最小,则P点叫△ABC的费马点(Fermatpoint).
已经证明:
在三个内角均小于120°的△ABC中,当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时,P就是△ABC的费马点.若点P是腰长为
的等腰直角三角形DEF的费马点,则PD+PE+PF=________.
拓展培优训练
1.(2017杭州)如图,在△ABC中,AB=AC,BC=12,E为AC边的中点,
第1题图
线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD=x,tan∠ACB=y,则( )
A.x-y2=3
B.2x-y2=9
C.3x-y2=15
D.4x-y2=21
2.已知等腰三角形顶角为36°,则底与腰的比值等于________.
答案
1.C 【解析】当3为底边时,其它两边都为7,3、7、7可以构成三角形,周长为17;当3为腰时,其他两边为3和7,∵3+3=6<7,∴不能构成三角形,故舍去,∴该等腰三角形的周长为17.
2.B 【解析】设∠C=x,∵AD=DC,∴∠DAC=∠C=x,∴∠ADB=2x,∵AB=BD,∴∠BAD=∠ADB=2x,∴∠B=180°-4x,∵BA=AC,∴∠B=∠C,∴180°-4x=x,解得x=36°,∴∠B=∠C=36°.
3.B 【解析】∵∠A=30°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=75°,又∵l为AB的垂直平分线,∴DB=DA,∴∠DBA=∠A=30°,∴∠CBD=∠CBA-∠DBA=75°-30°=45°.
第4题解图
4.D 【解析】如解图,过点B作BC⊥AO于点C,∵△AOB是等边三角形,∴OC=
AO=1,∴在Rt△BOC中,BC=
=
,∴B点的坐标为(1,
).
5.A 【解析】∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB=
(180°-∠A)=72°,∵BD,CE是角平分线,∴∠ABD=∠DBC=
∠ABC=36°,∠ACE=∠ECB=36°,∴∠A=∠ABD=∠ACE,∠DBC=∠ECB,∴∠BDC=180°-∠ACB-∠DBC=180°-72°-36°=72°,同理∠BEC=72°,∴∠BDC=∠ACB,∠BEC=∠EBC,∴∠EOB=180°-∠BEC-∠EBD=180°-72°-36°=72°,同理∠DOC=72°,∴∠BEO=∠BOE,∠CDO=∠COD,即等腰三角形有△OBC,△ADB,△AEC,△BEC,△BDC,△ABC,△EBO,△DCO,共8个.
6.B 【解析】在Rt△CDE中,CD=DE=a,∴DE=
=
=
a,∵点E为Rt△ACB斜边AB的中点,∴CE=AE=BE=
AB,∴AB=2CE=2
a.
第7题解图
7.B 【解析】如解图,连接AF,∵AB=AD,F是BD的中点,∴AF⊥BD,∵在Rt△ACF中,∠AFC=90°,E是AC的中点,EF=2,∴AC=2EF=4.
8.A 【解析】设AC=x,∵AC⊥BC,∠ABC=30°,∴AB=2x,BC=
x,∵AB=BD,∴BD=2x,∴CD=BC+BD=(2+
)x,∵tan∠DAC=
,∴tan∠DAC=
=2+
.
第9题解图
9.D 【解析】如解图,在直角三角形ABC中,利用勾股定理,列方程为x2+62=(10-x)2.
10.100° 【解析】由三角形内角和定理可知,若等腰三角形的一个内角为100°,则这个内角为顶角,此时两底角均为40°,即该三角形顶角的度数是100°.
11.2 【解析】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB的中点,∴CD=
AB=4,∵点E是AC的中点,点F是AD的中点,∴EF是△ADC的中位线,∴EF=
CD=2.
12.2a+3b 【解析】∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,∴∠ABC=∠ACB=72°,∵DE垂直平分AC,∴CE=AE,∠ECA=∠A=36°,∴∠BEC=∠A+∠ECA=72°,∴∠BEC=∠B,∴CE=BC=b,∴△ABC的周长为AB+AC+BC=2AB+BC=2(a+b)+b=2a+3b.
13.30°,90°或150° 【解析】如解图,
第13题解图
解图①中△ABC是等腰直角三角形,∴顶角是90°,解图②中AC=BC,在直角三角形ADC中,AD=
AC,∴∠ACD=30°,∴∠ACB=180°-∠ACD=150°,解图③中,AC=BC,在直角三角形ADC中,AD=
AC,∴∠ACD=30°,综上所述,△ABC顶角的度数分别是30°,90°或150°.
14.2
【解析】假设点D与点B重合,可得DE+DF为等边三角形AC边上的高,再由等边三角形的边长为4,根据勾股定理得AC边上的高为2
.
15.2 【解析】∵方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根,∴Δ=16-4b=0,解得b=4,又∵BC=2,AB=2
,AC=b=4,∴AB2+BC2=(2
)2+22=42=AC2,∴∠B=90°,∴AC边上的中线长为2.
第16题解图
16.0BE=5,∴∠EAF=∠E=30°,又∵∠CDE=30°,∴∠CDE=∠EAF,∴CD∥AF,∴
=
,当D与A重合时,CD取最大值为5;当D接近于E时,DE越小,CD越小,∵线段CD不能为0,∴017.2+
m 【解析】如解图,连接BD,∵∠C=∠EBD,BD=CD,∠CDF=∠BDE,∴△BED≌△CFD,∴BE=CF,DE=DF,则BE+BF+EF=BC+EF=2+EF,在Rt△DEF中,DE=DF=m,∴EF=
m,则△BEF的周长是2+
m.
第17题解图
18.证明:
∵AB=AC,∠A=36°,
∴在△ABC中,∠ABC=∠C=
(180°-∠A)=72°,
又∵BD为∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠CBD=
∠ABC=36°=∠A,
∴△ABD是以点D为顶点的等腰三角形,
∴AD=BD,
∵∠CBD=36°,∠C=72°,
∴∠BDC=180°-∠CBD-∠C=72°=∠C,
∴△BCD是以点B为顶点的等腰三角形,
∴BC=BD,
∴AD=BC.
19.解:
设BD=x,则CD=14-x,根据勾股定理可得,
AD2=AB2-BD2=AC2-CD2,
即152-x2=132-(14-x)2,
解得x=9,
∴AD2=152-x2=152-92=144,
∵AD>0,
∴AD=12,
∴S△ABC=
×BC×AD=
×14×12=84.
能力提升训练
1.B 【解析】符合条件的直线共有4条:
(1)如解图①,在边BC上截取CE=CA,BF=BA,连接AE、AF,得到等腰三角形△CEA,△BAF;
(2)如解图②,分别作AB、AC的中垂线交BC于点M、N,连接AM,AN,得到等腰三角形△MAB,△NCA,综上所述,直线AE、AF、AM、AN均满足题意.
2.C 【解析】由题图知,BC=BE,∴∠BCE=∠BEC,∵AB=AC,∴∠BCA=∠CBA,∴∠BCE=∠BEC=∠CBA,∵∠EBC=180°-∠BCE-∠BEC,∠BAC=180°-∠BCA-∠CBA,∴∠EBC=∠BAC.
3.2 【解析】∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,BA=BC,∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠E=30°,BD⊥AC,∴∠BDC=90°,∴BC=2DC,∵∠ACB=∠E+∠CDE,∴∠CDE=∠E=30°,∴CD=CE=1,∴BC=2CD=2.
第4题解图
4.78 【解析】如解图,过A作AH⊥BC,∵AB=15,AC=20,∠BAC=90°,∴由勾股定理得,BC=
=25,∵AD=5,∴DC=20-5=15,∵DE⊥BC,∠BAC=90°,∴△CDE∽△CBA,∴
=
,∴CE=
×20=12,∴BE=BC-CE=13.∴BC·AH=AB·AC,AH=
=
=12,∴S△ABE=
×12×13=78.
第5题解图
5.
+1 【解析】如解图,等腰Rt△DEF中,DE=DF=
,过点D作DM⊥EF于点M,过E、F分别作∠MEP=∠MFP=30°,从而可找到点P,则DM=EM=
EF=
×2=1,在Rt△PEM中,PM=tan30°·EM=
,∴PE=
,∴DP=1-
,PF=
,∴PD+PE+PF=
+1.
拓展培优训练
1.B 【解析】如解图,连接DE,过点A作AF⊥BC,垂足为F,过E作EG⊥BC,垂足为G,∵AB=AC,AF⊥BC,BC=12,∴BF=FC=6,又∵E是AC的中点,EG⊥BC,∴EG∥AF,∴CG=FG=
CF=3,∵在Rt△CEG中,tanC=
,∴EG=CG×tanC=3y,∴DG=BF+FG-BD=6+3-x=9-x,∵HD是BE的垂直平分线,∴BD=DE=x,∵在Rt△EGD中,由勾股定理得,ED2=DG2+EG2,∴x2=(9-x)2+(3y)2,化简整理得2x-y2=9.
第1题解图
2.
【解析】如解图,设等腰△ABC底边为a,腰为b,作∠B的平分线交AC于D,则∠B=
(180°-36°)=72°,∴△BCD、△DAB均为等腰三角形,则BD=AD=BC=a,而CD=b-a,由△BCD∽△ABC,∴
=
,即
=
,
∴(
)2+(
)-1=0,解得
=
或
(舍去).
第2题解图