数值分析典型例题.docx
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数值分析典型例题
第一章典型例题
例3ln2=0.69314718，精确到10－3的近似值是多少？
解精确到10－3＝0.001，即绝对误差限是＝0.0005,故至少要保
留小数点后三位才可以。
ln20.693
第二章典型例题
例1用顺序消去法解线性方程组
xxx
xxx
xxx
解顺序消元
2141[Ab]32141241
r2
r1
（
3/2）
r3
r1
（
1/2）
2
1
4
1
2
1
4
1
0
0.5
5
r3
r2
（3）
0.5
5
5.5
5.5
0
0
1.5
2
0.5
0
0
17
17
于是有同解方程组
2x1x24x31
0.5x25x35.5
17x317
回代得解
x3=－1,x2=1,x1=1,原线性方程组的解为X＝（1,1,－1）T
例2取初始向量X（0）=（0,0,0）T,用雅可比迭代法求解线性方程组
xxx
xxx
xxx
解建立迭代格式
x1（k
1）
2x2（k）
2x
3（k）
1
x
2（k
1）
x1（k）
x3（k）
3
（=1,2,3,）
k
x
（k
1）
2x（k）
2x
（k）
5
3
1
2
第1次迭代,k=0
X
（0）
X
（1）
T
＝，得到
＝（1,3,5）
0
第2次迭代，k=1
x1
（2）
2
3
2
5
1
5
x2
（2）
1
5
3
3
x3
（2）
2
1
2
3
5
3
X
（2）＝（5,－3,－3）T
第3次迭代，=2
k
x1（3）
2
（
3）
2
（
3）
11
x2（3）
5
（
3）
3
1
x3
（2）
2
5
2
（
3）
5
1
X
（3）
T
＝（1,1,1）
第4次迭代，k=3
x
（2）
2
1
2
1
1
1
1
x2
（2）
1
1
3
1
x3
（2）
2
1
2
1
5
1
（4）
T
X
＝（1,1,1）
例4证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭代法发散。
证明例2中线性方程组的系数矩阵为
1
2
2
A＝1
1
1
2
2
1
1
0
0
0
0
0
0
2
2
于是
D＝0
1
0
D
－1
＝D
~
0
0
~
0
1
L1
U0
0
0
1
2
2
0
0
0
0
雅可比迭代矩阵为
B0＝
1~~
1
0
0
0
2
2
0
2
2
D
0
1
0
1
0
1
1
0
1
（LU）
0
0
1
2
2
0
2
2
0
2
2
2
0
IB01
1
1
1
2
2
2
2
2
[
（
2）
2（
1）]
2[22
（1））
3
0
得到矩阵B0的特征根1,2,3
0，根据迭代基本定理
4，雅可比迭代法收
敛。
高斯－赛德尔迭代矩阵为
G＝－（D
~
1~
L）
U
1
0
0
1
0
2
2
1
0
0
0
2
2
0
2
2
＝－1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
0
2
3
2
2
1
0
0
0
0
2
1
0
0
0
0
0
2
2
2
IG0
2
3
（
2）2
0
0
0
2
解得特征根为1=0，2,3=2。
由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔
迭代发散。
例5填空选择题：
1.用高斯列主元消去法解线性方程组
x
x
x
x
x
x
x
x
作第1
次消元后的第2，3
个方程分别
为
。
答案：
x2
0.5x3
1.5
2x21.5x33.5
解答选a21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：
2x1+2x2+3x3=3，
消元得到
x20.5x31.5
2x21.5x33.5
是应填写的内容。
3.用高斯－赛德尔迭代法解线性方程组
xxx
xxx
xxx
的迭代格式中x2（k1）
＝
（k=0,1,2,）
答案：
3x1（k1）
x3（k）
解答：
高斯－赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x2
的值时应该用上x1的新值。
第三章典型例题
例1已知函数y=f（x）的观察数据为
xk
－2
0
4
5
yk
5
1
－3
1
试构造拉格朗日插值多项式Pn（x），并计算f（－1）的近似值。
[只给4对数据，求得的多项式不超过
3次]
解先构造基函数
l
（x）
x（x
）（x
）
x（x
）（x
）
）（
）（
）
（
l
（x
）（x
）（x
）
（x
）（x
）（x
）
（x）
（））（
）（
）
（
l（x）
（x
）x（x
）
x（x
）（x
）
）（
）（
）
（
l3
（x
2）x（x
4）
（x2）x（x
4）
（x）
2）（5
0）（5
4）
35
（5
所求三次多项式为
P3（x）=
n
yklk（x）
k0
＝
x（x）（x）
＋
（x）（x）（x）
－
x（x
）（x）
＋
（）
（x）x（x
）
＝xxx
f（－1）P3（－1）＝
例3设x,x,x,...,xn是n+1个互异的插值节点，lk（x）（k,,,...,n）是
拉格朗日插值基函数，证明：
（1）
n
（2）
n
lk（x）xkm
xm（m,,
k
lk（x）
k
...,n）
证明
（1）
（）=
（）+
（
）++（
n
）=
yklk（x）
Pnx
y0l0
xy1l1
x
ynln
x
k
0
f（n
）（
）
（x）,
f（x）
Pn（x）
Rn（x）
Rn（x）
）!
n
（n
当
（
）1时，
fx
1＝Pn（x）Rn（x）
k
f
（n
）
（
）
（x）
lk（x）
）!
n
k
（n
由于f
（n
）（x）
，故有
n
lk（x）
k
（2）对于f（x）=xm,m=0,1,2,,n，对固定xm（0mn）,作拉格朗日插值多项式，有
xm
n
xkmlk（x）
f
（n
）
（）
Pn（x）Rn（x）
n（x）
k
（n
）!
当n>m－1时，f（n+1）（x）=0，Rn（x）=0，所以
n
xkmlk（x）xm
k
注意：
对于次数不超过n的多项式Qn（x）anxnanxn..axa,
利用上结果，有
Qn（x）anxn
anxn
..axa
=an
n
n
n
n
lk（x）xkn
an
lk（x）xkn
...a
lk（x）xka
lk（x）
k
k
k
k
n
n
=
lk（x）[anxkn
an1xkn1
...axk
a0]
Qn（xk）lk（x）
k
0
k
0
n
Qn（xk）lk（x）正是Qn（x）的拉格朗日插值多项式。
可见，Qn（x）的拉
上式
k
0
格朗日插值多项式就是它自身，即次数不超过
n
的多项式在
+1个互
n
异节点处的拉格朗日插值多项式就是它自身。
例5已知数据如表的第2，3列，试用直线拟合这组数据。
解计算列入表中。
n=5。
a0,a1满足的法方程组是
k
xk
yk
xk
xkyk
1
1
4
1
4
2
2
4.5
4
9
3
3
6
9
18
4
4
8
16
32
5
5
8.5
25
42.5
153155105.5
aa
aa.
解得a0=2.45,a1=1.25。
所求拟合直线方程为y=2.45+1.25x
例6选择填空题
1.设y=f（x）,只要x0,x1,x2是互不相同的3个值，那么满足
（
）=
（=0,1,2）的
（）的插值多项式
（
）是
（就唯一性回答问
Pxk
ykk
fx
Px
题）
答案：
唯一的
3.
拉格朗日插值多项式的余项是
（
）,牛顿插值多项式的余项是
（
）
（A）Rn（x）f（x）
f（n）
（）
n（x）
Pn（x）
）!
（n
（B）f（x,x0,x1,x2,,xn）（x－x1）（x－x2）（x－xn－1）（x－xn）
f（n
）（）
（C）Rn（x）f（x）Pn（x）
）!
（n
（D）f（x,x0,x1,x2,,xn）（x－x0）（x－x1）（x－x2）（x－xn－1）（x－xn）
答案：
（A），（D）。
见教材有关公式。
第四章典型例题
例1试确定求积公式f（x）dxf（）f（）的代数精度。
[依定义，对xk（k=0,1,2,3,），找公式精确成立的k数值]
解当f（x）取1,x,x2,时，计算求积公式何时精确成立。
（1）取f（x）=1,有
左边＝f（x）dxdx,右边＝f（）f（）
（2）取f（x）=x,有
左边＝f（x）dxdx,右边＝f（）f（）
（3）取f（x）=x2,有
左边=f（x）dxxdx,右边
=f（）f（）（）（）
（4）取f（x）=x3,有
左边=f（x）dxxdx,右边=f（）f（）（）（）
（5）取f（x）=x4,有
左
边
=
f（x）dxxdx
右
边
=f（
）f（
）（
）（）
当k3求积公式精确成立，而x4公式不成立，可见该求积公式具有3次代数。
例5
h
h
试确定求积公式f（x）dx
2[f（0）f（h）]中的参
[f（0）f（h）]ah
0
2
数a，并证明该求积公式具有三次代数精度。
解公式中只有一个待定参数a。
当f（x）=1,x时，有
h
h[11]
0
即h=h
1dx
0
2
h
h[0
h]
ah2（11）,h
2
h
2
x1dx
0
2
2
2
不能确定a，再令f（x）=x2,代入求积公式，得到
h
3
3
2dx
h[0h2]
ah2（202h）,即h
h
2ah3
x
0
2
3
2
得a
h
h
2
[f（0）
f
（h）]
1.求积公式为
f（x）dxh[f（0）f（h）]
12
0
2
12
将（）=
3代入上求积公式，有
fx
x
h
2
3dx
h[0h3]
h（303h2）
x
0
2
12
可见，该求积公式至少具有三次代数精度。
再将
（
）=
4代入上公式
fx
x
中，有
h
2
4dx
h[0h4]
h（404h3）
x
0
2
12
所以该求积公式具有三次代数精度。
例6选择填空题
1.牛顿－科茨求积公式与高斯型求积公式的关键不同点
是。
解答：
牛顿－科茨求积公式的节点和求积系数确定后，再估计其精度；高斯型求积公式是由精度确定其节点和求积系数。
第五章典型例题
例1证明方程1－x－sinx＝0在区间[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10－4的根要迭代多少次？
证明令f（x）＝1－x－sinx
∵f（0）=1>0，f
（1）=－sin1<0
∴f（x）=1－x－sinx=0在[0，1]有根。
又
f
（）=1－cos>0（
[0，1]）,故
（）＝0在区间[0，1]内有唯一实
x
xx
fx
根。
给定误差限＝0.5×10－4，有
ln（b
a）
ln
ln.
ln
n
.
ln
ln
只要取n＝14。
例2用迭代法求方程
x
5－4－2＝0的最小正根。
计算过程保留4
x
位小数。
[分析]容易判断[1，2]是方程的有根区间。
若建立迭代格式
x
即（x）
x
（x）
x
（x
（,）），此时迭代发散。
x
建立迭代格式x
5
4x2,
（x）
54x
2,
（x）
4
4（1x2），
55（4x2）4
5
此时迭代收敛。
解建立迭代格式
x
x
（x）
x
（x）
4
4
x
2））,取初始值x0
1（可任取1，2之间的值）
（4x
2）4
（1
55
5
xx
1.4310
x
x
.
1.5051
xx.
xx.
取x1.5185
1.5165xx.1.5182
1.5185
例3试建立计算
a的牛顿迭代格式，并求
.的近似值，要
求迭代误差不超过10－5
[分析]首先建立迭代格式。
确定取几位小数
求到两个近似解之差
的绝对值不超过10－5。
解令x
a,f（x）
xa
，求x的值。
牛顿迭代格式为
xk
xk
f（xk）
xk
a
a
,...,）
f（xk）
xk
xk
（k
xk
xk
迭代误差不超过10－5，计算结果应保留小数点后6位。
当x=7或8时，x3=343或512，f（）f（）,而f（）f（）,取x0=8,
有
x
x
a
.
7.478078
x
x
x
a
.
.
7.439956
x
.
x
x
.
x
x
a
.
.
7.439760
x
.
x
x
.
x
x
a
.
.
7.439760
x
.
于是，取x
7.439760
例4用弦截法求方程x3－x2－1＝0，在x=1.5附近的根。
计算中保留5位小数点。
[分析]先确定有根区间。
再代公式。
解f（x）=x3－x2－1，f
（1）=－1，f
（2）=3，有根区间取[1,2]
取x1=1,迭代公式为
xn
xn
f（xn）
（xn
xn
）（n=1,2,）
f（xn
f（xn）
）
x
x
x
x
（x
x
）
.
x
x
x
x
x
.
.
.
（.
）1.37662
.
.
x
.
.
.
（.
.）1.48881
.
.
.
.
.
.
（.
.
）1.46348
x.
.
.
.
.
x.
.
.
（.
.
）1.46553
.
.
.
.
取x1.46553，f
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