动态规划初步.docx
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动态规划初步
动态规划初步
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ﻩ
第八讲动态规划初步
一、动态规划简介
动态规划是运筹学的一个分支。
它是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法。
1９51年,美国数学家贝尔曼（Ｒ.Ｂelｌman）提出了解决这类问题的“最优化原则”，１957年发表了他的名著《动态规划》，该书是动态规划方面的第一本著作。
动态规划问世以来，在工农业生产、经济、军事、工程技术等许多方面都得到了广泛的应用，取得了显著的效果。
动态规划运用于信息学竞赛是在9０年代初期,它以独特的优点获得了出题者的青睐。
此后,它就成为了信息学竞赛中必不可少的一个重要方法,几乎在所有的国内和国际信息学竞赛中,都至少有一道动态规划的题目。
所以,掌握好动态规划,是非常重要的。
动态规划是一种方法,是考虑问题的一种途径,而不是一种算法。
因此,它不像深度优先和广度优先那样可以提供一套模式。
它必须对具体问题进行具体分析。
需要丰富的想象力和创造力去建立模型求解。
[例8-１]拦截导弹
某国为了防御敌国的导弹袭击,发展出一种导弹拦截系统。
但是这种导弹拦截系统有一个缺陷:
虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度,但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。
某天,雷达捕捉到敌国的导弹来袭。
由于该系统还在试用阶段,所以只有一套系统,因此有可能不能拦截所有的导弹。
输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是不大于30０00的正整数）,计算这套系统最多能拦截多少导弹,如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。
样例：
INPUT OUＴPUＴ
３89207 １５53０02９9 170 1５865 ６（最多能拦截的导弹数）
ﻩﻩﻩﻩ 2（要拦截所有导弹最少要配备的系统数）
[问题分析]
第一部分是要求输入数据串中的一个最长不上升序列的长度，可使用递推的方法，具体做法是从序列的第一个元素开始，依次求出以第i个元素为最后一个元素时的最长不上升序列的长度len（i）,递推公式为lｅｎ
（1）=1，ｌen（i）=maｘ（leｎ（ｊ）+１），其中i＞1，j=1,2,…i-1，且j同时要满足条件:
序列中第ｊ个元素大于等于第ｉ个元素。
第二部分比较有意思。
由于它紧接着第一问,所以很容易受前面的影响,采取多次求最长不上升序列的办法,然后得出总次数,其实这是不对的。
要举反例并不难，比如长为7的高度序列“７54163 2”，最长不上升序列为“75４32”，用多次求最长不上升序列的结果为3套系统；但其实只要2套，分别击落“７５41”与“63 ２”。
那么，正确的做法又是什么呢?
我们的目标是用最少的系统击落所有导弹,至于系统之间怎么分配导弹数目则无关紧要；上面错误的想法正是承袭了“一套系统尽量多拦截导弹”的思维定势,忽视了最优解中各个系统拦截数较为平均的情况，本质上是一种贪心算法。
如果从每套系统拦截的导弹方面来想行不通的话,我们就应该换一个思路,从拦截某个导弹所选的系统入手。
题目告诉我们,已有系统目前的瞄准高度必须不低于来犯导弹高度，所以，当已有的系统均无法拦截该导弹时，就不得不启用新系统。
如果已有系统中有一个能拦截该导弹,我们是应该继续使用它，还是另起炉灶呢?
事实是：
无论用哪套系统，只要拦截了这枚导弹，那么系统的瞄准高度就等于导弹高度，这一点对旧的或新的系统都适用。
而新系统能拦截的导弹高度最高,即新系统的性能优于任意一套已使用的系统。
既然如此，我们当然应该选择已有的系统。
如果已有系统中有多个可以拦截该导弹，究竟选哪一个呢?
当前瞄准高度较高的系统的“潜力”较大,而瞄准高度较低的系统则不同,它能打下的导弹别的系统也能打下，它够不到的导弹却未必是别的系统所够不到的。
所以，当有多个系统供选择时,要选瞄准高度最低的使用，当然瞄准高度同时也要大于等于来犯导弹高度。
解题时,用一个数组记下已有系统的当前瞄准高度，数据个数就是系统数目。
[程序清单]
cｏnstmax＝1０00;
vaｒｉ,j,cｕｒｒeｎt，maxlong,mｉnheight，sｅlect,tａiｌ，total:
lonｇｉnt;
height，ｌongest，sys:
arｒａｙ ［1.．mａx]oｆlonｇｉnt；
ｌｉne:
string;
begin
wｒite（'Ｉnpuｔtestdata:
'）;
readln（ｌine）；
i：
=1;
ｗhｉlei<＝lenｇｔｈ（line） dｏ
begｉn
ｗhilｅ（ｉ<=lｅngtｈ（ｌｉnｅ）） anｄ（line[i]='＇）doi:
=i＋1;
ｃｕｒｒeｎt:
=0;
wｈｉlｅ（ｉ＜=ｌenｇth（ｌiｎe）） and（linｅ［i］＜>''）do
ｂegin
currenｔ:
＝curｒent*10+ｏrd（ｌinｅ[i]）-ord（'0＇）;
i：
=i＋1
enｄ；
totａl：
＝tｏtaｌ+1；
ｈeight[tｏtａl]:
=cuｒrent
eｎd;
ｌoｎgest[1]:
=1;
fori:
=2ｔｏtｏtaldｏ
begin
ｍaxｌｏnｇ:
=１；
fｏｒj：
=１ toi－1do
ｂeｇin
ifhｅigｈt［i]<＝ｈeiｇｈt［j］
ｔhｅnｉｆｌongｅst[ｊ]＋1>maxｌoｎg
tｈenmaｘlong:
=loｎgeｓt[ｊ]+1；
lonｇｅst［i］:
=maxlｏｎg
ｅｎd;
end；
maxloｎg:
=loｎgeｓt[1];
fｏri:
=2ｔotoｔａlｄo
iｆｌonｇeｓt［i］＞maxｌｏnｇtｈenmaxlｏng:
=lonｇesｔ[i］；
wrｉteln（mａxlonｇ）；
sys[1］:
=heｉght［1]; taiｌ:
＝1；
fori:
=2 tototaldo
begｉｎ
minheight:
=maxiｎt;
fｏrｊ:
=1 to ｔａｉldo
ｉf sys[j］>heighｔ[i］thｅn
ifsys[j] begｉnminheｉght:
=ｓys[ｊ];select:
=jend；
ｉfminheｉgｈt=maxｉｎt
ｔhenｂｅgin tａil：
＝tail+1;sys[ｔaiｌ］:
=heighｔ［ｉ]end
elsｅsyｓ[seｌect]:
=height[i］
ｅnｄ;
writｅlｎ（ｔail）
ｅnd．
二、动态规划的几个基本概念
想要掌握好动态规划，首先要明白几个概念:
阶段、状态、决策、策略、指标函数。
1．阶段：
把所给问题的过程，恰当地分为若干个相互联系的阶段,以便能按一定的次序去求解。
描述阶段的变量称为阶段变量。
2．状态:
状态表示每个阶段开始所处的自然状况和客观条件，它描述了研究问题过程中的状况,又称不可控因素。
3．决策：
决策表示当过程处于某一阶段的某个状态时，可以作出不同的决定（或选择）,从而确定下一阶段的状态，这种决定称为决策,在最优控制中也称为控制。
描述决策的变量,称为决策变量。
4．策略:
由所有阶段的决策组成的决策函数序列称为全过程策略,简称策略。
5．状态转移方程：
状态转移方程是确定过程由一个状态到另一个状态的演变过程。
6．指标函数:
用来衡量所实现过程优劣的一种数量指标，称为指标函数。
指标函数的最优值,称为最优值函数。
三、确定动态规划的思路
１、采用动态规划来解决问题,必须符合两个重要的条件。
（1）“过去的历史只能通过当前状态去影响它未来的发展，当前的状态是对以往历史的一个总结”,这种特性称为无后效性，是多阶段决策最优化问题的特征。
（２）作为整个过程的最优策略具有这样的性质：
即无论过去的状态和决策如何,对前面的决策所形成的状态而言,余下的诸决策必须构成最优策略。
简言之,一个最优策略的子策略总是最优的。
这就是最优化原理。
2、如果碰到一个问题,能够满足以上两个条件的话,那么就可以去进一步考虑如何去设计使用动态规划:
（1）划分阶段。
把一个问题划分成为许多阶段来思考
（2）设计合适的状态变量（用以递推的角度）
（３）建立状态转移方程（递推公式）
（4）寻找边界条件（已知的起始条件）
如果以上几个步骤都成功完成的话，我们就可以进行编程了。
四、动态规划解题的一些技巧
ﻩ由于动态规划并没有一个定式,这就需要去开拓我们创造力去构造并且使用它。
以下,通过一些具体的竞赛实例谈谈使用动态规划过程中的一些技巧。
［例8－2]堆塔问题,设有n个边长为1的正立方体，在一个宽为1的轨道上堆塔,但塔本身不能分离。
例如ｎ=1时，只有1种方案□
ｎ＝2时 有2种方案
堆塔的规则为底层必须有支撑,如下列的堆法是合法的.
下面的堆法是不合法的.
程序要求:
输入n（n<=4０）,求出
①总共有多少种不同的方案
②堆成每层的方案数是多少,例如n=6时，堆成1层的方案数为1,……堆成6层的方案数为1……
[问题分析]问题①的分析见第七讲例7-3,关于问题②,可以这样考虑,将n个立方体的第一列去掉的话,则成为一个比n小的堆塔问题，这样问题②就可以用动态规划法来解。
具体方法是从1到ｎ依次求出堆成每层的方案数，设f（n,k）为堆成ｋ层的方案数,则递推公式为：
［算法设计] 由于n最大可达到4０，所以堆塔的总方案数超过了长整形数的范围，程序采用了高精度加法运算。
[程序清单]
progrａｍ ex8＿２（inｐｕt,ｏutｐut）;
constmaxn=40;maｘｌen＝ｍaxｎdiv3;
tyｐeａrraｙｔypｅ=arrａy[0..maxleｎ]ofintｅger;
ｖａr i，j，k,ｎ，nｎ:
longint;
totａl:
aｒraytypｅ;
f:
arraｙ[0..ｍａxn,0..maxn］ ofarrａytype;
procedｕｒe aｄｄ（ｖara:
arrａytype；b:
arraytyｐe）；
vaｒi：
longiｎｔ;
ｂegin
foｒ i：
=0 tomaｘlenｄoa[i]:
=a［i]+b［i]；
fｏri：
=0 to ｍaｘlen-1dｏ
ifａ［i］＞=10tｈen
begin
a[i+１］:
=a[i+１］+１;
a[i]:
=a[ｉ]-10
eｎd
eｎｄ;
procｅdurｅprｉnt（a:
arraytyｐe）;
ｖａri，j：
loｎginｔ;
begin
i:
=maxlen;
whｉｌe （i＞0）and（a［i]=0） ｄo i:
＝i-1;
fｏrj:
＝idoｗnto0ｄowriｔe（a［j］）
end;
beｇin
write（＇Inpuｔ n:
'）;
readｌn（n）;
fｏｒi:
＝１ｔoｍａxlenｄｏｔｏｔaｌ［ｉ]：
＝０；
ｔｏｔal[０]:
=1;
for i:
＝1 tｏn－1ｄｏaｄd（toｔal,tｏtal）;
ｆor i:
＝1 tomaｘn do
ｆorj:
=1 ｔomaｘn do
for ｋ:
=0tomａxlｅn do ｆ［i,ｊ，ｋ]：
=０;
ｆori:
=1 tomaxｎdｏf[i,1,0]:
＝1；
fori：
=1tｏ mａxｎdof[i,i,0]:
＝1;
ｆoｒnn:
=２to ndo
fｏrk:
=2to nｎ-1do
begiｎ
fori:
=1to k-1doadｄ（f［ｎn，k],f[ｎｎ－ｉ，k]）;
ｆori：
=1tok do
iｆｎn-k>=iｔｈenadd（f[nn,k]，ｆ[nn-k，i］）
end;
wriｔe（'Totａl＝'）;
priｎｔ（total）;
writeln;
fork：
=1tｏndo
bｅgin
ｗrｉte（＇Hｅiｇht＝',k:
２,'Kｉnｄ='：
1０）;
print（f[n,ｋ］）；
ｗriteｌn;
if ｋmod 2３=０
tｈen
begiｎ
ｗritｅ（＇Ｐress<Ｅnter>tocontinue!
＇）;
readln
enｄ
ｅnd;
wriｔｅ（＇Prｅsｓtｏcontinｕe！
'）；
readln
end.
[例8-3］投资问题：
有ｎ万元的资金,可投资于m个项目，其中m 和ｎ为小于1０0的自然数。
对第ｉ（１≤i≤ｍ）个项目投资j万元（1≤j≤n，且 j为整数）可获得的回报为Q（i,j）,请编程序，求解并输出最佳的投资方案（即获得回报总值最高的投资方案）。
输入数据放在一个文本文件中，格式如下:
m n
Q（1 ，0）Ｑ（１,1）······Ｑ（１ ，n）
Q（2 , ０）Q（2 ,１）······Ｑ（2 , n）
············
Ｑ（ｍ,0）Q（m，1）······Q（m，n）
输出数据格式为:
r
（1）r
（2）······ｒ（m）P
其中r（i）（１≤ｉ≤m）表示对第i个项目的投资万元数，P为总的投资回报值，保留两位有效数字，任意两个数之间空一格。
当存在多个并列的最佳投资方案时，只要求输出其中之一即可。
如输入数据如下时：
2 3
01．1１．３ １.9
02.12.５ 2.6
屏幕应输出:
１2３.6
［问题分析]本题可供考虑的递推角度只有资金和项目两个角度,从项目的角度出发,逐个项目地增加可以看出只要算出了对前ｋ个项目投资j万元最大投资回报值（1≤j≤n），就能推出增加第k+1个项目后对前k+1个项目投资j万元最大投资回报值（1≤j≤n），设P[k,j]为前ｋ个项目投资j万元最大投资回报值,则P[ｋ+１,j]＝Maｘ（P[k，ｉ］+Q[ｋ+1,j－i]）,0<=i＜=j,k=１时，对第一个项目投资ｊ万元最大投资回报值（0≤j≤n）是已知的（边界条件）。
[算法设计]动态规划的时间复杂度相对于搜索算法是大大降低了，却使空间消耗增加了很多。
所以在设计动态规划的时候,需要尽可能节省空间的占用。
本题中如果用二维数组存储原始数据和最大投资回报值的话，将造成空间不够，事实上,从前面的问题分析可知：
在计算对前k+1个项目投资ｊ万元最大投资回报值时，只要用到矩阵Q的第k+1行数据和对前ｋ个项目投资ｊ万元最大投资回报值，而与前面的数据无关，后者也只需有一个一维数组存储即可，程序中用一维数组Q存储当前项目的投资回报值,用一维数组ｍaｘｒetuｒn存储对当前项目之前的所有项目投资j万元最大投资回报值（０≤ｊ≤n）,用一维数组temｐ存储对到当前项目为止的所有项目投资ｊ万元最大投资回报值（0≤j≤n）。
为了输出投资方案，程序中使用了一个二维数组ｉnｖeｓt,ｉｎveｓt[k,j］记录了对前ｋ个项目投资ｊ万元获得最大投资回报时投资在第ｋ个项目上的资金数。
[程序清单]
proｇrａｍex8_3（input,outpuｔ）;
cｏｎstｍaxm=100；mａｘn=1０0;
typearraｙtｙｐe=arｒay ［０．.maxn］ofreａl；
ｖaｒi，j,ｋ，ｍ,ｎ,ｒest:
iｎtｅger;
ｑ,ｍaxrｅtuｒn，temp：
ａｒrayｔyｐe;
iｎｖeｓt:
aｒｒａy［１..maxm,0．.mａxｎ]ofｉntｅger;
resｕlt:
ａrray[1..mａｘm] of ｉnteｇeｒ；
ｆnaｍe:
sｔring;
f:
ｔｅｘｔ;
begiｎ
write（'Iｎpｕtｔhenameofdatａfile：
'）;
ｒeａｄln（ｆnａｍｅ）;
aｓsigｎ（f,fname）;
reｓet（f）;
reａdln（ｆ,ｍ，n）；
fｏｒj:
＝0 tｏnｄoｒｅａｄ（f,q[j]）;
ｒｅaｄlｎ（f）；
foｒi:
＝１ tom do
foｒj:
=0toｎdｏｉnvｅｓt[i，ｊ]:
＝0;
maxretｕrn:
＝q;
fｏｒj：
=0tonｄｏinvｅsｔ[1,ｊ]:
=ｊ；
foｒk：
=２to ｍ do
ｂegｉn
temp：
＝maｘｒeｔｕrn;
for j:
=０tondoｉｎｖest［k，j]:
=0;
ｆorｊ:
=0ｔｏ ｎdoｒｅaｄ（ｆ,ｑ[j]）;
rｅadｌn（f）；
ｆorj:
=0to ndo
ｆｏｒi:
=0tｏｊ do
if maxｒｅｔurn[j-i]+q[ｉ]＞temp[j] then
bｅｇin
temｐ[j]:
＝ｍａｘｒeturｎ[j-i]+q［i];
iｎvesｔ[k,j]：
=i
enｄ；
maｘrｅtｕrn：
=tｅmｐ
enｄ；
cｌｏｓｅ（f）;
resｔ:
＝n；
forｉ：
＝mｄｏｗnto1do
ｂｅｇin
resuｌｔ[i]：
=iｎveｓｔ[ｉ,rest］;
rｅｓt:
＝rｅsｔ－resｕlｔ[ｉ]
eｎd;
for i:
=1tom dｏ write（resuｌt[i],' '）;
writeｌn（maxｒeturn[n]:
0:
2）
ｅｎd.
[例8-４] 花店橱窗布置问题（FＬOWＥR）
（1）问题描述
假设你想以最美观的方式布置花店的橱窗。
现在你有F束不同品种的花束，同时你也有至少同样数量的花瓶被按顺序摆成一行。
这些花瓶的位置固定于架子上,并从1至V顺序编号,V是花瓶的数目，从左至右排列,则最左边的是花瓶1,最右边的是花瓶V。
花束可以移动,并且每束花用1至F间的整数唯一标识。
标识花束的整数决定了花束在花瓶中的顺序,如果Ｉ＜J,则令花束I必须放在花束Ｊ左边的花瓶中。
例如，假设一束杜鹃花的标识数为1，一束秋海棠的标识数为2，一束康乃馨的标识数为3，所有的花束在放入花瓶时必须保持其标识数的顺序，即：
杜鹃花必须放在秋海棠左边的花瓶中，秋海棠必须放在康乃馨左边的花瓶中。
如果花瓶的数目大于花束的数目。
则多余的花瓶必须空置，且每个花瓶中只能放一束花。
每一个花瓶都具有各自的特点。
因此,当各个花瓶中放入不同的花束时,会产生不同的美学效果，并以美学值（一个整数）来表示,空置花瓶的美学值为零。
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