小学奥数典型行程问题 变速问题学生版.docx
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小学奥数典型行程问题变速问题学生版
变速问题
教学目标
1、 能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点
2、 能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题。
3、 变速变道问题的关键是如何处理“变”
知识精讲
变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。
对于
这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。
算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来；
折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；
方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程
转化成了计算．
行程问题常用的解题方法有
⑴公式法
即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括
公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推
知需要的条件；
⑵图示法
在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图
示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析
往往也是最有效的解题方法；
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⑶比例法
行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一
些较复杂的题目中，有些条件（如路程、速度、时间等）往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能
用比例解题；
⑷分段法
在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，
在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；
⑸方程法
在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知
数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解．
【例 1】 小红和小强同时从家里出发相向而行。
小红每分走 52 米，小强每分走 70 米，二人在途中的 A
处相遇。
若小红提前 4 分出发，且速度不变，小强每分走 90 米，则两人仍在 A 处相遇。
小
红和小强两人的家相距多少米？
【例 2】 甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。
相遇后
甲比原来速度增加 2 米／秒，乙比原来速度减少 2 米／秒，结果都用 24 秒同时回到原地。
求甲原来的速度。
【例 3】 A、 B 两地相距 7200 米，甲、乙分别从 A， B 两地同时出发，结果在距 B 地 2400 米处相
遇．如果乙的速度提高到原来的 3 倍，那么两人可提前 10 分钟相遇，则甲的速度是每分钟行
多少米？
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【例 4】 甲、乙两车分别从 A， B 两地同时出发相向而行，6 小时后相遇在 C 点．如果甲车速度不变，
乙车每小时多行 5 千米，且两车还从 A， B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距 C 点 12
千米；如果乙车速度不变，甲车速度每小时多行 5 千米，则相遇地点距 C 点 16 千米．甲车
原来每小时行多少千米？
【巩固】 甲、乙二人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，5 小时后相遇在 C 点。
如果甲速度不变，乙
每小时多行 4 千米，且甲、乙还从 A、B 两地同时出发相向而行，则相遇点 D 距 C 点 lO 千
米；如果乙速度不变，甲每小时多行 3 千米，且甲、乙还从 A、B 两地同时出发相向而行，则
相遇点 E 距 C 点 5 千米。
问：
甲原来的速度是每小时多少千米？
【例 5】 A、 B 两地间有一座桥（桥的长度忽略不计），甲、乙二人分别从两地同时出发， 3 小时后在桥
上相遇．如果甲加快速度，每小时多走 2 千米，而乙提前 0.5 小时出发，则仍能恰在桥上相
遇．如果甲延迟 0.5 小时出发，乙每小时少走 2 千米，还会在桥上相遇．则 A、 B 两地相距
多少千米？
【例 6】 一列火车出发 1 小时后因故停车 0.5 小时，然后以原速的 3/4 前进，最终到达目的地晚 1.5 小
时．若出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时，然后同样以原速的 3/4 前进，则到
达目的地仅晚 1 小时，那么整个路程为多少公里？
【例 7】 王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了 1/9，结果提前一个半小
时到达；返回时，按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高 1/6，于是提前 1 小时 40 分
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到达北京．北京、上海两市间的路程是多少千米？
【例 8】 甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山
速度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快。
两人出发后 1 小时，甲与乙在离山顶 600 米处相遇，当
乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。
那么甲回到出发点共用多少小时？
【例 9】 小华以每小时 8/3 千米的速度登山，走到途中 A 点后，他将速度改为每小时 2 千米，在接下来
的 1 小时中，他走到山顶，又立即下山，并走到 A 点上方 500 米的地方．如果他下山的速度是
每小时 4 千米，下山比上山少用了 52.5 分钟．那么，他往返共走了多少千米？
【例 10】 甲、乙两车从 A、 B 两地同时出发相向而行，5 小时相遇；如果乙车提前 1 小时出发，则差
13 千米到中点时与甲车相遇，如果甲车提前 1 小时出发，则过中点 37 千米后与乙车相遇，
那么甲车与乙车的速度差等于多少千米/小时？
【例 11】 甲、乙两名运动员在周长 400 米的环形跑道上进行10000 米长跑比赛，两人从同一起跑线同时起
跑，甲每分钟跑 400 米，乙每分钟跑 360 米，当甲比乙领先整整一圈时，两人同时加速，乙的
速度比原来快
1
4
，甲每分钟比原来多跑18 米，并且都以这样的速度保持到终点．问：
甲、乙两
人谁先到达终点？
【例 12】 环形场地的周长为1800 米，甲、乙两人同时从同一地点出发相背而行（甲速大于乙速），12 分钟
后相遇．如果每人每分钟多走 25 米，则相遇点与前次相差 33 米，求原来二人的速度．
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【例 13】 王刚骑自行车从家到学校去，平常只用 20 分钟。
因途中有 2 千米正在修路，只好推车步行，步
1
3
【例 14】 甲、乙两车分别从 A 、 B 两地同时出发，相向而行．出发时，甲，乙的速度之比是 5:
4 ，相遇
后甲的速度减少 20% ，乙的速度增加 20% ．这样当甲到达 B 地时，乙离开 A 地还有10 千米．那
么 A 、 B 两地相距多少千米？
【例 15】 甲、乙往返于相距1000 米的 A ， B 两地．甲先从 A 地出发， 6 分钟后乙也从 A 地出发，并在距
A 地 600 米的 C 地追上甲．乙到 B 地后立即原速向 A 地返回，甲到 B 地休息1 分钟后加快速度
向 A 地返回，并在 C 地追上乙．问：
甲比乙提前多少分钟回到 A 地？
【例 16】 一辆大货车与一辆小轿车同时从甲地开往乙地，小轿车到达乙地后立即返回，返回时速度提高
50% 。
出发 2 小时后，小轿车与大货车第一次相遇，当大货车到达乙地时，小轿车刚好走到甲、
乙两地的中点。
小轿车在甲、乙两地往返一次需要多少时间？
12
53
地到乙地共行了10 小时，已知这辆车行上山路的速度比平路慢 20% ，行下山路的速度比平路快
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20% ，照这样计算，汽车从乙地回到甲地要行多长时间？
【例 18】 甲、乙二人在同一条圆形跑道上作特殊训练：
他们同时从同一地出发，沿相反方向跑，每人跑
完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的 2 ．甲跑
3
第二圈的速度比第一圈提高了，乙跑第二圈的速度提高了，已知沿跑道看从甲、乙两人第
35
二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190 米，问这条跑道长多少米？
【例 19】 甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去．相遇后
甲比原来速度增加 4 米／秒，乙比原来速度减少 4 米／秒，结果都用 25 秒同时回到原地．求甲
原来的速度．
【巩固】从 A 村到 B 村必须经过 C 村，其中 A 村至 C 村为上坡路， C 村至 B 村为下坡路， A 村至 B 村的
总路程为 20 千米．某人骑自行车从 A 村到 B 村用了 2 小时，再从 B 村返回 A 村又用了 1 小时 45
分．已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的 2 倍．求 A 、
C 之间的路程及自行车上坡时的速度．
【例 20】 欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里．早晨 7:
40 ，欢欢从家出发骑车去学校，7:
46 追
上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知，欢欢立即调头，并将速度
提高到原来的 2 倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢 8:
00 赶到学校时，贝贝也恰好到学校．如
果欢欢在家换校服用去6 分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里出发时是点
分．
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【例 21】 甲、乙两人都要从 A 地到 B 地去，甲骑自行车，乙步行，速度为每分钟 60 米．乙比甲早出发
20 分钟，甲在距 A 地 1920 米的 C 处追上乙，两人继续向前，甲发现自己忘带东西，于是将速
度提高到原来的1.5 倍，马上返回 A 地去取，并在距离 C 处 720 米的 D 处遇上乙．甲到达 A 地
后在 A 地停留了 5 分钟，再以停留前的速度骑往 B 地，结果甲、乙两人同时到达 B 地． A 、 B
两地之间的距离是米．
【例 22】 小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路．小芳上
学走这两条路所用的时间一样多．已知下坡的速度是平路的1.6 倍，那么上坡的速度是平路速度
的多少倍？
【例 23】 赵伯伯为锻炼身体，每天步行 3 小时，他先走平路，然后上山，最后又沿原路返回。
假设赵伯
伯在平路上每小时行 4 千米，上山每小时行 3 千米，下山每小时行 6 千米，在每天锻炼中，他
共行走多少米？
【例 24】 王老师每天早上晨练，他第一天跑步 1000 米，散步 1600 米，共用 25 分钟；第二天跑步 2000
米，散步 800 米，共用 20 分钟。
假设王老师跑步的速度和散步的速度均保持不变。
求：
（1）王
老师跑步的速度；
（2）王老师散步 800 米所用的时间。
【例 25】 某校在 400 米环形跑道上进行 1 万米比赛，甲、乙两名运动员同时起跑后，乙的速度始终保持
不变，开始时甲比乙慢，在第 15 分钟时甲加快速度，并保持这个速度不变，在第 18 分钟时甲
追上乙并且开始超过乙。
在第 23 分钟时甲再次追上乙，而在 23 分 50 秒时甲到达终点。
那么，
乙跑完全程所用的时间是多少分钟？
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【例 26】 甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步．如果出发时乙的速度是甲的 2.5 倍，当乙
第一次追上甲时，甲的速度立即提高 25% ，而乙的速度立即减少 20% ，并且乙第一次追上甲的
地点与第二次追上甲的地点相距 100 米，那么这条环形跑道的周长是米．
A
C
B
【例 27】 如图所示，甲、乙两人从长为 400 米的圆形跑道的 A 点背向出发跑步。
跑道右半部分（粗线部分）
道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒 8 米，而在泥
泞道路上两人的速度均为每秒 4 米。
两人一直跑下去，问：
他们第99 次迎面相遇的地方距 A 点
还有米。
A
【例 28】 丁丁和乐乐各拿了一辆玩具甲虫在 400 米跑道上进行比赛，丁丁的玩具甲虫每分钟跑 30 米，乐
乐的玩具甲虫每分钟跑 20 米，但乐乐带了一个神秘遥控器，按第一次会使丁丁的玩具甲虫以原
来速度的10% 倒退 1 分钟，按第二次会使丁丁的玩具甲虫以原来速度的 20% 倒退 1 分钟，以此
类推，按第 N 次，使丁丁的玩具甲虫以原来的速度的 N 10% 倒退 1 分钟，然后再按原来的速
度继续前进，如果乐乐在比赛中最后获胜，他最少按次遥控器。
【例 29】 唐老鸭和米老鼠进行 5000 米赛跑．米老鼠的速度是每分钟 125 米，唐老鸭的速度是每分钟 100
米．唐老鸭有一种能使米老鼠停止或减速的遥控器，每次使用都能使米老鼠进入 “麻痹”状态 1
分钟，1 分钟后米老鼠就会恢复正常，遥控器需要 1 分钟恢复能量才能再使用．米老鼠对“麻痹”
状态也在逐渐适应，第 1 次进入“麻痹”状态时，米老鼠会完全停止，米老鼠第 2 次进入“麻痹”
状态时，就会有原速度 5% 的速度，而第 3 次就有原速度10% 的速度……，第 20 次进入“麻痹”
状态时已有原速度 95% 的速度了，这以后米老鼠就再也不会被唐老鸭的遥控器所控制了．唐老
鸭与米老鼠同时出发，如果唐老鸭要保证不败，它最晚要在米老鼠跑了多少米的时候第一次使
用遥控器?
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【例 30】 小周开车前往某会议中心，出发 20 分钟后，因为交通堵塞，中途延误了 20 分钟，为了按时到
达会议中心，小周将车速提高了 25% ，小周从出发时算起到达会议中心共用了多少分钟？
【例 31】 如图，甲、乙分别从 A 、C 两地同时出发，匀速相向而行，他们的速度之比为 5:
4 ，相遇于 B 地
1
5
这样当乙回到 C 地时，甲恰好到达离 C 地 18 千米的 D 处，那么 A 、 C 两地之间的距离是
__________千米。
ABCD
【例 32】 甲、乙两车分别从 A 、 B 两地同时出发相向而行，甲车速度为 32 千米/时，乙车速度为 48 千米
11
46
次相遇地点相距 74 千米，那么 A 、 B 之间的距离是多少千米？
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【例 33】 上午 8 点整，甲从 A 地出发匀速去 B 地，8 点 20 分甲与从 B 地出发匀速去 A 地的乙相遇；相遇
后甲将速度提高到原来的 3 倍，乙速度不变；8 点 30 分，甲、乙两人同时到达各自的目的地．那
么，乙从 B 地出发时是 8 点分．
【例 34】 甲、乙往返于相距1000 米的 A ， B 两地．甲先从 A 地出发， 6 分钟后乙也从 A 地出发，并在距
A 地 600 米的 C 地追上甲．乙到 B 地后立即原速向 A 地返回，甲到 B 地休息1 分钟后加快速度
向 A 地返回，并在 C 地追上乙．问：
甲比乙提前多少分钟回到 A 地？
【例 35】 汽车从甲地到乙地，先行上坡，后行下坡，共用9.4 小时。
如果甲、乙两地相距450 千米，上坡
车速为每小时 45 千米，下坡车速为每小时 50 千米，那么原路返回要小时。
【例 36】 如图所示，有 A 、 B 、C 、 D 四个游乐景点，在连接它们的三段等长的公路 AB 、 BC 、CD 上，
汽车行驶的最高时速限制分别是 120 千米、40 千米和 60 千米。
一辆大巴车从 A 景点出发驶向 D
景点，到达 D 点后立刻返回；一辆中巴同时从 D 点出发，驶向 B 点。
两车相遇在 C 景点，而当
中巴到达 B 点时，大巴又回到了 C 点，已知大巴和中巴在各段公路上均以其所能达到且被允许
的速度尽量快地行驶，大巴自身所具有的最高时速大于 60 千米，中巴在与大巴相遇后自身所具
有的最高时速比相遇前提高了12.5% ，求大巴客车的最高时速。
ABCD
【巩固】 从甲市到乙市有一条公路，它分成三段．在第一段上，汽车速度是每小时 40 千米；在第二段上，
汽车速度是每小时 90 千米；在第三段上，汽车速度是每小时 50 千米．己知第一段公路的长恰
好是第三段的 2 倍，现有两汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行，1 小时 20 分后，在第
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二段从甲到乙方向的处相遇．那么，甲、乙两市相距多少千米？
3
ABEC D
【例 37】 现在甲乙两辆车往返于相距 20 千米的 A 、 B 两地，甲车先从 A 地出发，9 分钟后乙车也从 A 地
出发，并且在距离 A 地 5 千米的 C 地追上甲车。
乙车到 B 地之后立即向 A 地原速驶回，甲车到
B 地休息 12 分钟之后加快速度向 A 地返回，并在 C 地又将乙车追上。
那么最后甲车比乙车提前
多少分钟到 A 地？
【例 38】 甲、乙两地相距 100 千米,小张先骑摩托车从甲地出发,1 小时后小李驾驶汽车从甲地出发,两人同
时到达乙地.摩托车开始速度是每小时 50 千米,中途减速后为每小时 40 千米.汽车速度是每小时
80 千米,汽车曾在途中停驶 1O 分钟.那么小张驾驶的摩托车减速是在他出发后的多少小时?
【例 39】 甲、乙两人在 400 米圆形跑道上进行 10000 米比赛．两人从起点同时同向出发，开始时甲的速
度为每秒 8 米，乙的速度为每秒 6 米．当甲每次追上乙以后，甲的速度每秒减少 2 米，乙的速
度每秒减少 0.5 米．这样下去，直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始，两人都把自己的速
度每秒增加 O.5 米，直到终点．那么领先者到达终点时，另一人距终点多少米?
【例 40】 如图 21-1，A 至 B 是下坡，B 至 C 是平路，C 至 D 是上坡.小张和小王在上坡时步行速度是每
小时 4 千米，平路时步行速度是每小时 5 千米，下坡时步行速度是每小时 6 千米．小张和小王
分别从 A 和 D 同时出发，1 小时后两人在 E 点相遇．已知 E 在 BC 上，并且 E 至 C 的距离是 B
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1
5
【例 41】 老王开汽车从 A 到 B 为平地（见右上图），车速是 30 千米／时；从 B 到 C 为上山路，车速是
22.5 千米／时；从 C 到 D 为下山路，车速是 36 千米／时。
已知下山路是上山路的 2 倍，从 A
到 D 全程为 72 千米，老王开车从 A 到 D 共需要多少时间？
【例 42】 张明的家离学校 4 千米，他每天早晨骑自行车上学，以 20 千米／时的速度行进，恰好准时到
校。
一天早晨，因为逆风，他提前 0.2 时出发，以 10 千米／时的速度骑行，行至离学校 2.4 千
米处遇到李强，他俩互相鼓励，加快了骑车的速度，结果比平常提前5 分 24 秒到校。
他遇到李
强后每时骑行多少千米？
【例 43】 甲、乙二人同时从起点出发沿同一方向行走，甲每时行 5 千米，而乙第 1 时行 1 千米，第 2 时
行 2 千米，以后每时都比前 1 时多行 1 千米。
问：
经过多长时间乙追上甲？
【例 44】 甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山。
他们两人下山的速度都是各自上山
速度的 2 倍。
甲到山顶时，乙距山顶还有 400 米；甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰。
求从山
脚到山顶的距离。
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【例 45】 甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山。
他们两人下山的速度都是各自上山
速度的 2 倍。
开始后 1 时，甲与乙在离山顶 400 米处相遇，当甲回到山脚时，乙刚好下到半山
腰。
问：
乙比甲晚多少时间回到山脚？
【例 46】 甲、乙两地相距 6720 米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行 80 米，后一半时
间平均每分钟行 60 米.问他走后一半路程用了多少分钟？
【巩固】 甲、乙两地相距 6 千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行 80 米，后一半时间
平均每分钟行 70 米．问他走后一半路程用了多少分钟？
【例 47】 游乐场的溜冰滑道如下图。
溜冰车上坡每分行 400 米，下坡每分行 600 米。
已知从 A 点到 B 点
需 3.7 分，从 B 点到 A 点只需 2.5 分。
问：
AC 比 BC 长多少米？
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