运筹学：线性规划对偶理论、与灵敏度分析.ppt

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第第二二章章线性规划对偶理论线性规划对偶理论与灵敏度分析与灵敏度分析教学时数：

教学时数：

12学时学时教教学学目目的的与与要要求求：

理理解解线线性性规规划划对对偶偶问问题题理理论论与与影影子子价格概念价格概念,掌握对偶单纯形法及灵敏度分析技巧掌握对偶单纯形法及灵敏度分析技巧教学内容：

教学内容：

1.线性规划对偶问题及相关理论线性规划对偶问题及相关理论2.影子价格影子价格3.对偶单纯形法对偶单纯形法4.灵敏度分析及参数规划灵敏度分析及参数规划教学重点：

影子价格及灵敏度分析教学重点：

影子价格及灵敏度分析教学难点：

对偶理论教学难点：

对偶理论第六节参数线性规划（简介）第一节线性规划的对偶问题第二节对偶问题的基本性质第三节影子价格第四节对偶单纯形法第五节灵敏度分析第二章第二章讲授内容和知识讲授内容和知识第第一一节节线性规划的对偶问题线性规划的对偶问题一、对偶问题的提出一、对偶问题的提出二、对称形式的原始二、对称形式的原始-对偶关系对偶关系三、非对称形式的原始三、非对称形式的原始-对偶问题对偶问题四、原始四、原始-对偶关系一览表对偶关系一览表例例2.1.1生产计划问题。

生产计划问题。

某企业生产某企业生产A、B、C三种畅销产品，每一件产品所需要的资源三种畅销产品，每一件产品所需要的资源和收益列于表中：

和收益列于表中：

表表1资源甲资源甲资源乙资源乙资源丙资源丙资源丁资源丁每件收益（元）每件收益（元）产品产品A32112000产品产品B413240003000产品产品C2234资源限量资源限量600400300200问：

如何安排生产，可以使总利润最大？

问：

如何安排生产，可以使总利润最大？

解：

利用第一章的知识，设三种产品的生产量分别为解：

利用第一章的知识，设三种产品的生产量分别为x1，x2和和x3，可以建立线性规划模型如下，可以建立线性规划模型如下:

一、对偶问题的提出一、对偶问题的提出maxz=2000x1+4000x2+3000x33x1+4x2+2x36002x1+x2+2x3400x1+3x2+3x3300x1+2x2+4x3200x1,x2,x30假如企业不进行生产，而是把全部可利用的资源转假如企业不进行生产，而是把全部可利用的资源转让给其他企业。

此时，企业必须考虑一个合适的资源让给其他企业。

此时，企业必须考虑一个合适的资源价格，使得：

价格，使得：

1.有企业愿意接受转让；有企业愿意接受转让；2.企业自身没企业自身没有经济损失。

有经济损失。

设四种资源的价格确定为设四种资源的价格确定为y1,y2,y3,y4。

y1y2y3y4而企业自身没有经济损失的要求可做如下思考：

生而企业自身没有经济损失的要求可做如下思考：

生产一件产品，比如产一件产品，比如A，需要四种资源的量分别为需要四种资源的量分别为3，2，1，1个单位。

由于要把生产个单位。

由于要把生产A产品的这些资源卖产品的这些资源卖出去，所以，单件总卖值不应比企业自己生产时的出去，所以，单件总卖值不应比企业自己生产时的收益（收益（2000）低，即，）低，即，3y1+2y2+y3+y42000对产品对产品B：

4y1+y2+3y3+2y44000对产品对产品C：

2y1+2y2+3y3+4y43000则有企业愿意接受转让的条件是极小化资源总价，即则有企业愿意接受转让的条件是极小化资源总价，即w=600y1+400y2+300y3+200y4minw=600y1+400y2+300y3+200y43y1+2y2+y3+y420004y1+y2+3y3+2y440002y1+2y2+3y3+4y43000y1,y2,y3,y40maxz=2000x1+4000x2+3000x33x1+4x2+2x36002x1+x2+2x3400x1+3x2+3x3300x1+2x2+4x3200x10,x20,x30原原问问题题对对偶偶问问题题两个线性规划问题的比较中，可以初步发现：

两个线性规划问题的比较中，可以初步发现：

（1）原问题的目标函数求极大，原问题的目标函数求极大，对偶问题的目标函数求极小；对偶问题的目标函数求极小；

（2）原问题目标函数中的系数原问题目标函数中的系数在对偶问题中变为约束条件的右端常数项；在对偶问题中变为约束条件的右端常数项；（3）约束条件的不等式方向改变了；约束条件的不等式方向改变了；（4）约束方程的系数矩阵发生了转置；约束方程的系数矩阵发生了转置；（5）原问题约束数目与对偶问题的变量数相等。

原问题约束数目与对偶问题的变量数相等。

对称形式的条件：

对称形式的条件：

（1）变量全部具有非负约束；）变量全部具有非负约束；

（2）目标函数求极大值时，约束不等式符号全部）目标函数求极大值时，约束不等式符号全部为为；目标函数为求极小值时，约束不等式的符号；目标函数为求极小值时，约束不等式的符号全部为全部为。

maxz=c1x1+c2x2+cnxnst.a11x1+a12x2+a1nxnb1a21x1+a22x2+a2nxnb2am1x1+am2x2+amnxnbmx1,x2,xn0（2-1）对偶问题的一般形式为：

对偶问题的一般形式为：

二、对称形式的原始二、对称形式的原始-对偶关系对偶关系minw=b1y1+b2y2+bmyma11y1+a21y2+am1ymc1a12y1+a22y2+am2ymc2a1ny1+a2ny2+amnymcny1,y2,ym0maxz=c1x1+c2x2+cnxna11x1+a12x2+a1nxnb1a21x1+a22x2+a2nxnb2am1x1+am2x2+amnxnbmx1,x2,xn0原问题：

原问题：

maxz=CXAXbX0对偶问题：

对偶问题：

minw=YbYACY0Y=（y1,y2,ym）x1x2xnxjy1y2：

ymyia11a12a1na21a22a2n：

am1am2amn原始约束原始约束：

对偶：

极小化对偶：

极小化w对偶约束对偶约束原始极大化原始极大化zb1b2：

bmc1c2cn说明：

表说明：

表2的变量行与参数行相乘组成原始问题的约的变量行与参数行相乘组成原始问题的约束条件和目标函数；表束条件和目标函数；表2的变量列与参数列相乘组成的变量列与参数列相乘组成对偶问题的约束条件和目标函数。

对偶问题的约束条件和目标函数。

maxz=2000x1+4000x2+3000x33x1+4x2+2x36002x1+x2+2x3400x1+3x2+3x3300x1+2x2+4x3200x10,x20,x30y1y2y3y4Minw=y1+y2+y3+y4y1+y2+y3+y4y1,y2,y3,y4y1+y2+y3+y4y1+y2+y3+y46004003002002000400030003422121331243211413222340非对称形式是指一般情况下的线性规划问题，是目标非对称形式是指一般情况下的线性规划问题，是目标函数求极小或求极大；约束条件函数求极小或求极大；约束条件、=、；变量；变量0、0或者无限制的随意组合。

或者无限制的随意组合。

建立非对称形式线性规划问题的对偶模型可采取以下建立非对称形式线性规划问题的对偶模型可采取以下步骤：

步骤：

（1）通过变换，把线性规划问题化为具有对称形式）通过变换，把线性规划问题化为具有对称形式的原问题。

的原问题。

（2）根据原问题，写出对偶问题。

（此时的对偶并）根据原问题，写出对偶问题。

（此时的对偶并非是原线性规划问题的对偶）非是原线性规划问题的对偶）（3）通过变量代换等，把参数还原为最初的形式）通过变量代换等，把参数还原为最初的形式（必须做）。

（必须做）。

三、非对称形式的原始三、非对称形式的原始-对偶问题对偶问题例例2.1.2写出下面非对称线性规划问题的对偶。

写出下面非对称线性规划问题的对偶。

maxz=x1+2x2+x3st.x1+x2x32x1x2+x3=12x1+x2+x32x10,x20,x3自由变量。

自由变量。

解：

解：

（1）把原线性规划问题化为对称形式要求的把原线性规划问题化为对称形式要求的形状形状目标函数求极大；约束条件全部为目标函数求极大；约束条件全部为“”符号；变量全部非负。

符号；变量全部非负。

第一个约束条件的符号符合要求，保留不变。

第一个约束条件的符号符合要求，保留不变。

第二个约束条件分解为：

第二个约束条件分解为：

x1x2+x31和和x1x2+x31第一个分解式乘以第一个分解式乘以-1变为变为-x1+x2x3-1第三个约束条件乘以第三个约束条件乘以-1得：

得：

-2x1x2x3-2

（2）写出上述写出上述对称形式线性规对称形式线性规划问题的对偶。

划问题的对偶。

maxz=x12x4+x5x6x1x4x5+x62-x1x4x5+x6-1x1+x4+x5x61-2x1+x4x5+x6-2x1,x4,x5,x60minw=2y1y2+y32y4y1-y2+y32y41y1y2+y3+y4-2y1y2+y3y41y1+y2y3+y4-1y1,y2,y3,y40（3）还原为原来的参数符号）还原为原来的参数符号令令u1=y1,u2=-y2+y3,u3=-y4minw=2u1+u2+2u3u1+u2+2u31u1u2+u32-u1+u2+u3=1u10,u2符号不限，符号不限，u30minw=2y1y2+y32y4y1y2+y32y41y1y2+y3+y4-2y1y2+y3y41y1+y2y3+y4-1y1,y2,y3,y40maxz=x1+2x2+x3x1+x2x32x1x2+x3=12x1+x2+x32x10,x20,x3自由变量。

自由变量。

u1u2u3表表3项项目目AbC目标函数目标函数原问题（对偶问题）原问题（对偶问题）对偶问题（原问题）对偶问题（原问题）约束系数矩阵约束系数矩阵约束条件右端项向量约束条件右端项向量目标函数中的价值系数向量目标函数中的价值系数向量maxz=c1x1+c2x2+cnxn约束系数矩阵的转置约束系数矩阵的转置目标函数中的价值系数向量目标函数中的价值系数向量约束条件右端项向量约束条件右端项向量minw=b1y1+b2y2+bmym变量变量xj个数个数n00无约束无约束约约束束条条件件有有n个个a1jy1+a2jy2+amjymcja1jy1+a2jy2+amjymcja1jy1+a2jy2+amjym=cj约约束束条条件件有有m个个ai1x1+ai2x2+ainxnbiai1x1+ai2x2+ainxnbiai1x1+ai2x2+ainxn=bi变量变量yi个数个数m00无约束无约束四、原始四、原始-对偶关系一览表对偶关系一览表解：

根据表解：

根据表3，得出对偶线性规划问题如下：

，得出对偶线性规划问题如下：

maxw=2y1+y2+4y3st.2y1+3y2+y313y1y2+y34y1+y3=3y10,y20,y3自由变量自由变量.返返回回例例2.1.3写出下面线性规划问题的对偶问题。

写出下面线性规划问题的对偶问题。

minz=x1+4x2+3x3st.2x1+3x2+x323x1x21x1+x2+x3=4x10,x20,x3自由变量。

自由变量。

y1y2y3课堂练习课堂练习例例2.1.3写出下面线性规划问题的对偶问题。

写出下面线性规划问题的对偶问题。

maxZ=3x1+4x2+6x3x1+5x2+4x323x1x21x1+3x2-x3=4x10,x20,x3自由变量。

自由变量。

第第二二节节对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质一、单纯形法计算的矩阵描述一、单纯形法计算的矩阵描述二、对偶问题的基本性质二、对偶问题的基本性质本节以对称形式的原始本节以对称形式的原始-对偶问题为讨论的基础，对偶问题为讨论的基础，除非特别需要，一般不再专门说明。

除非特别需要，一般不再专门说明。

一、单纯形法计算的矩阵描述一、单纯形法计算的矩阵描述P.maxz=CXAXbX0D.minw=YbYACY0原问题通过加入松弛变量原问题通过加入松弛变量Xs可以化为标准形式：

可以化为标准形式：