自动控制原理课件8状态空间分析法.ppt
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第八章第八章状态空间分析法状态空间分析法8.1概概述述在经典控制理论中，用传递函数来设计和分析单在经典控制理论中，用传递函数来设计和分析单输入输入单输出系统。
但传递函数只能反映出系统单输出系统。
但传递函数只能反映出系统输出变量与输入变量之间的外部关系，而了解不输出变量与输入变量之间的外部关系，而了解不到系统内部的变化情况。
此外，传递函数描述又到系统内部的变化情况。
此外，传递函数描述又是建立在零初始条件的前提下，故它不能包含系是建立在零初始条件的前提下，故它不能包含系统的全部信息。
在设计多变量和时变系统时，采统的全部信息。
在设计多变量和时变系统时，采用经典控制理论会遇到很大的困难。
用经典控制理论会遇到很大的困难。
经典控制理论经典控制理论:
以微分方程和传递函数为数学基础以微分方程和传递函数为数学基础主要研究单输入、单输出的线性定常系统主要研究单输入、单输出的线性定常系统主要方法是频率特性法和根轨迹法主要方法是频率特性法和根轨迹法传递函数对处于系统内部的变量不便描述，传递函数对处于系统内部的变量不便描述，对某些内部变量不能描述对某些内部变量不能描述对于时变系统、复杂的非线性、多输入多输对于时变系统、复杂的非线性、多输入多输出系统的问题不适用出系统的问题不适用在在现现代代控控制制理理论论中中，用用状状态态变变量量来来描描述述系系统统。
这这时时系系统统是是用用一阶阶矩矩阵阵向向量量微微分分方方程程来来描描述述的的，采采用用矩矩阵阵表表示示法法可可以以使使系系统统的的数数学学表表达达式式简洁明了，并且易于用计算机求解。
简洁明了，并且易于用计算机求解。
状状态态方方程程是是计计算算动动态态特特性性的的线线性性定定常常系系数数矩矩阵阵微微分分方方程程,输输出出方方程程是是用用来来计计算算所所观观察察参参数数的的线性代数方程。
线性代数方程。
表表8.1经典和现代控制理论对比经典和现代控制理论对比经经典典现现代代时时间间1940-1960年年1960年至现在年至现在数学模型数学模型传递函数、微分方程传递函数、微分方程传递矩阵、状态方程传递矩阵、状态方程数学工具数学工具常微分方程、复变函常微分方程、复变函数、数、Laplace变换等变换等矩阵理论、泛函分析、矩阵理论、泛函分析、概率统计等概率统计等应用范围应用范围单输入单输出线性定单输入单输出线性定常连续、离散时变集常连续、离散时变集中参数系统中参数系统多输入多输出连续、多输入多输出连续、离散时变集中参数系离散时变集中参数系统统应用情况应用情况极为普遍极为普遍范围广范围广经经典典现现代代特特点点已工程化，直观，具体，已工程化，直观，具体，精度一般精度一般已规范化，精度高，已规范化，精度高，有标准的算法程序有标准的算法程序控制器控制器以模拟硬件为主以模拟硬件为主以单片机、微处理器，以单片机、微处理器，软件为主软件为主结构图结构图8.2动态系统的动态系统的状态空间分析法状态空间分析法一、一、基本概念基本概念1.1.状态：
状态：
系统的状态就是系统过去、现在和将来系统的状态就是系统过去、现在和将来的状况。
的状况。
系统的状态可以定义为信息的集合，系统的状态可以定义为信息的集合，表征系统运动的信息。
表征系统运动的信息。
2.2.状状态态变变量量：
指指可可以以完完全全表表征征系系统统状状态态的的最最少少个个数数的的一组变量一组变量x1、x2、xn,并且满足下列两个条件并且满足下列两个条件:
（1）
（1）在任何时刻在任何时刻t=t0,这组变量的值：
这组变量的值：
（2）x1（t0）、x2（t0）、xn（t0）（3）都表示系统在该时刻的状态都表示系统在该时刻的状态;
（2）当系统在当系统在tt0的输入和上述初始状态确定的时的输入和上述初始状态确定的时候候,状态变量应完全能表征系统在将来的行为状态变量应完全能表征系统在将来的行为3.状态矢量状态矢量设一个系统有设一个系统有n个状态变量个状态变量x1、x2、xn,用这用这n个状态变量作为分量所构成的矢量个状态变量作为分量所构成的矢量X,称为该系统称为该系统的状态矢量。
的状态矢量。
4.4.状态空间状态空间状态矢量所有可能值的集合称为状态空间。
系统状态矢量所有可能值的集合称为状态空间。
系统在任一时刻的状态都可用状态空间中的一点表示在任一时刻的状态都可用状态空间中的一点表示5.5.状态方程状态方程描述系统状态变量与系统输入之间关系的一阶描述系统状态变量与系统输入之间关系的一阶方程组方程组,称为状态方程称为状态方程例例1某机械动力系某机械动力系统如图所示统如图所示质量质量-弹簧弹簧-阻尼系统阻尼系统的微分方程式为：
的微分方程式为：
选择位移选择位移x（t）=x1（t）和速度和速度（t）=x2（t）作为系统的作为系统的状态变量，可把上述方程化为两个一阶微分方程：
状态变量，可把上述方程化为两个一阶微分方程：
用矩阵的形式表示：
用矩阵的形式表示：
写成矢量矩阵形式的标准型：
写成矢量矩阵形式的标准型：
系统的状态方程系统的状态方程x（t）=x1（t）（t）=x2（t）6.6.输出方程输出方程系统输出与状态变量间的函数关系式系统输出与状态变量间的函数关系式,称为输出方程称为输出方程例如：
在上述的系统中例如：
在上述的系统中,指定指定x1=x作为输出作为输出,则有则有y=x1,写成矢量矩阵形式为写成矢量矩阵形式为:
写成标准式为写成标准式为:
7.7.状态空间表达式状态空间表达式状状态态方方程程和和输输出出方方程程构构成成对对一一个个系系统统性性能能的的完完整整描述描述,称为系统的状态空间表达式。
称为系统的状态空间表达式。
若系统是若系统是rmn维空间维空间,即即若是线性系统若是线性系统,可写成可写成A-系数矩阵系数矩阵nnB-控制矩阵控制矩阵nrC-输出矩阵输出矩阵mnD-直接传递矩阵直接传递矩阵mr8.8.状态空间表达式的系统方框图状态空间表达式的系统方框图二、系统传递函数的状态空间表达式二、系统传递函数的状态空间表达式由系统的高阶微分方程式或传递函数由系统的高阶微分方程式或传递函数,求出相应的求出相应的状态空间表达式状态空间表达式,这类问题称为实现问题。
这类问题称为实现问题。
nm若系统的传递函数为：
若系统的传递函数为：
1.1.可控标准型实现（写成状态方程和输出方程）可控标准型实现（写成状态方程和输出方程）例例已知系统的已知系统的传递函数为：
传递函数为：
求出其对应的可控标准型求出其对应的可控标准型解解:
直接写出系统的可控标准型直接写出系统的可控标准型:
2.2.可观测标准型实现可观测标准型实现可控标准型和可观测标准型：
其系数矩阵互为转置关系可控标准型和可观测标准型：
其系数矩阵互为转置关系,而前者的而前者的B为后者的为后者的CT,前者的前者的CT为后者的为后者的B。
具有具有这种结构关系的称为互有这种结构关系的称为互有对偶对偶关系。
关系。
可控标准型的可控标准型的B,C可观测标准型的可观测标准型的B,C例例已知系统的已知系统的传递函数为：
传递函数为：
写出其可观测标准型写出其可观测标准型解解:
直接写出系统的可观测标准型直接写出系统的可观测标准型:
3.3.对角阵标准型实现对角阵标准型实现当当G（s）的所有极点为互异的实数时的所有极点为互异的实数时,则得则得式中式中ci称为称为s=si极点处的留数：
极点处的留数：
由上式可求得系统的状态空间表达式为由上式可求得系统的状态空间表达式为例：
例：
解解：
化成对角阵标化成对角阵标准型状态方程准型状态方程三、三、由系统状态方程求传递函数由系统状态方程求传递函数（矩阵矩阵）对于一个单输入单输出的对于一个单输入单输出的n阶系统阶系统,其动态方程为：
其动态方程为：
根据求传递函数的定义根据求传递函数的定义,假设相应变量的初始条件为零假设相应变量的初始条件为零对上式两边进行拉氏变换：
对上式两边进行拉氏变换：
例例已知系统的已知系统的动态方程为：
动态方程为：
求系统的求系统的传递函数传递函数解解:
8.3多输入多输出多输入多输出（MIMO）系统系统一、多输入多输出一、多输入多输出n阶线性系统的状态空间表达式阶线性系统的状态空间表达式将方程组改成矩阵微分方程的形式：
将方程组改成矩阵微分方程的形式：
同理得输出方程同理得输出方程二、传递矩阵二、传递矩阵零初始条件时零初始条件时,用拉氏变换的形式表示输出与输入关系如下用拉氏变换的形式表示输出与输入关系如下:
用矩阵方程表示为：
用矩阵方程表示为：
可以写成：
可以写成：
G（s）即为双输入双输出系统的传递矩阵即为双输入双输出系统的传递矩阵r个输入量和个输入量和m个输出量的个输出量的系统传递矩阵系统传递矩阵G（s）为：
为：
三、系统状态空间表达式与传递矩阵的关系三、系统状态空间表达式与传递矩阵的关系设系统的状态空间表达式为设系统的状态空间表达式为：
对上式进行对上式进行拉氏变换：
拉氏变换：
若若X（0）=0,则则X（s）=（sI-A）-1BU（s）定义为传递矩阵定义为传递矩阵所以所以特征方程为特征方程为因为因为例例:
设系统的动态方程为：
设系统的动态方程为：
求系统的传递函数矩阵求系统的传递函数矩阵解解:
例例:
设系统的状态方程为设系统的状态方程为求系统的特征方程和特征值求系统的特征方程和特征值解解:
系统的特征方程为系统的特征方程为特特征征方方程程的的根根为为-1、-2和和-3。
矩矩阵阵A的的特特征征值也为值也为-1、-2和和-3。
两者是一样的。
两者是一样的四、闭环传递矩阵与开环传递矩阵的关系四、闭环传递矩阵与开环传递矩阵的关系多变量控制系统多变量控制系统,其前向通道的传递矩阵为其前向通道的传递矩阵为Go（s）;反馈通道的传递矩阵为反馈通道的传递矩阵为H（s）;Y（s）和和U（s）分别为输出分别为输出输入矢量输入矢量:
E（s）和和B（s）分别为误差和反馈信号矢量。
分别为误差和反馈信号矢量。
故得故得则得闭环系统的传递矩阵为则得闭环系统的传递矩阵为若若H（s）为单位矩阵为单位矩阵,即即H（s）=I,则则五、多变量控制系统的解耦问题五、多变量控制系统的解耦问题多变量系统存在交联现象多变量系统存在交联现象,输入对输出都会产生影响输入对输出都会产生影响通常要求一个输入量只对一个输出量有影响。
通常要求一个输入量只对一个输出量有影响。
这就是多变量系统的解耦问题这就是多变量系统的解耦问题例如：
双变量系统的输出与输入关系例如：
双变量系统的输出与输入关系解耦的方法是加入一组补偿器解耦的方法是加入一组补偿器,使最后的闭环传递使最后的闭环传递矩阵成为对角线矩阵矩阵成为对角线矩阵,这样可以使这样可以使n个输入和个输入和n个输个输出互相独立出互相独立,达到消除相互干扰的目的。
达到消除相互干扰的目的。
补偿后的系统传递函数矩阵成为对角线矩阵补偿后的系统传递函数矩阵成为对角线矩阵考虑反馈矩阵考虑反馈矩阵H（s）为单位矩阵的情况为单位矩阵的情况,于是可得于是可得式中式中由由I+G0（s）左乘上式左乘上式得得以以I-G（s）-1右乘上式的两边右乘上式的两边,则可得则可得所以解耦矩阵为所以解耦矩阵为例例:
多变量控制系统如图所示多变量控制系统如图所示,试确定一组补偿器的试确定一组补偿器的传递函数矩阵传递函数矩阵,使得闭环系统的传递函数矩阵为使得闭环系统的传递函数矩阵为解解:
由于由于解耦后系统前向通道的传递矩阵解耦后系统前向通道的传递矩阵所以所以由补偿前系由补偿前系统框图得：
统框图得：
因此因此8.4线性系统可控性和可观测性线性系统可控性和可观测性一、可控性和可观测性的概念一、可控性和可观测性的概念其闭环传递函数为其闭环传递函数为某一系统的状态方程和输出方程为某一系统的状态方程和输出方程为二、线性定常系统可控性及其判定准则二、线性定常系统可控性及其判定准则1.可控性定义可控性定义设系统为设系统为如如果果用用一一个个适适当当的的控控制制信信号号,在在有有限限的的时时间间内内（t
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