高教社杯全国大学生数学建模竞赛获奖论文精品.docx
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高教社杯全国大学生数学建模竞赛获奖论文（精品）
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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关于2010年上海世博会影响力的评估
——从历史文化交流方面进行讨论
摘要
本文从各国人民在历史文化方面的交流评估了2010年上海世博会的影响力。
根据题意以及互联网收集到的数据，建立了数学模型并定量估计了上海世博会的影响力，突出上海世博的主题“城市，让生活更美好”的基本理念。
首先，运用灰色聚类法对互联网收集到的数据进行灰类等级划分，再对数据进行无量纲化处理。
其次，建立各灰类白化函数，再对各组数据进行聚类权
F运算，进而得出各因素的相应数据。
最后，通过白化函数得到的矩阵和聚类
n
权运算得到的函数，应用求聚类公式，求得各聚类对象的,,,fd*,LjjLLj，，,jL,1j
各灰色聚类系数及结果。
然后应用层次分析法，推导出一种进行加权分析的方法，利用本方法对影响世博会的各个因素进行加权，得出了各个世博城市关于
T，通过比较得到上海世博会影影响力的组合权重数据为（0.3634,0.3620,0.2743）响力均高于爱知、汉诺威世博会。
合适的评估体系是本课题的关键。
我们充分利用互联网收集到的数据进行分析及统计，并考虑到方案的可操作性。
通过组合权重数据，得到了三个世博城市关于影响力的权重。
由于此模型不受指数的影响，有很好的灵活性，使得我们可以根据实际情况灵活选取指数，减少模型的工作量，增加模型精度。
关键字:
定量估计、层次分析法、灰色聚类法
1
一、问题重述
2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。
从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。
可以从我们感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。
二、问题的提出和分析
1.1对问题的初步分析
现在我们通过各国人民交流历史文化这个侧面，来讨论2010年上海世博会影响力的评估。
（1）各国人民交流历史文化这个方面为对上海世博影响力分析的影响因素:
品牌推广、民俗交流、城市知名度、旅游推广、工艺品展;
（2）影响准则层的尺度因素:
场地面积、游客的流量、举办的时长、展馆数;1.2应用灰色聚类的方法求权
应用灰色聚类的方法判断聚类的对象所属的级别，通过分析对象的级别，对其客观定量的因数进行相应的加权，然后求出各个影响因素的权数。
给出聚类所需的白化数，确定灰类的相应白化函数;再求出聚类权、聚类系数;进行聚类计算、得到聚类结果，进而根据聚类结果对其客观定量的因数进行相应的加权，之后，求出权数。
1.3应用层次分析法
将决策问题分为3个层次:
目标层、准则层、方案层;应用
（1）中考虑的因素作为准则层，各世博举办城市作为方案层。
通过2中得到的权数确定各个方案对各准则的权重，再运用成对比较法和1~9尺度确定各准则对目标的权重，再将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。
1.4关于准则的变量考虑
品牌推广:
品牌推广主要对象是观展世博的人群，所以我们有理由相信上海世博产品的推广是关于观展人数的函数，根据数据比较各个世博的观展人数。
同时，与参展时长以及参展面积是成正相关的。
民俗交流:
世博期间，各国通过表演及产品的展览推广自己的国家，进行相互交流。
展品的推广以上已经考虑，现在考虑在世博期间，各国通过展馆内的表演以及宣传，相互交流。
这些与世博的展馆数、举办的时长、游客的人数等因素有关。
城市知名度:
世博期间，国家与国家之间、人民与人们之间通过交流、宣传提高城市知名度，世博的场地面积、举办的时长、游客的人数越多，就更能提高城市的知名度。
旅游推广:
旅游推广与举办的时长、游客的人数、参展面积是成正相关的。
工艺品展:
首先明确艺术品展览的数量越多对文化的交流越有利。
主要通过艺术品本身的数量、质量影响文化的交流。
因为世博中各国均展览较好的展品，所以质量都是一流的，不做考虑。
故主要通过比较艺术品的数量，（其他条件影响较小忽略不计）来比较各国在艺术品展览方面对文化交流的影响。
其中影响艺术品数量的主要因素有:
世博的场地面积、世博的展馆数，举办的时长、游客的流量;随着场地面积、游客的流量、举办的时长、展馆数的增多，艺术品的数量增多，易得到艺术品的数量与场地面积以及展馆数是成正相关的，忽略其他因素。
2
三、模型假设
1、假设认为数据的处理只考虑主要因素的影响。
2、假设认为各个因素的量化只考虑数值的变化，忽略主观因素和地域差异等的影响。
3、假设认为互联网中的数据都是真实有效的，土地面积、人数等的统计都以整数级为单位。
4、假设认为定量评价灰类的划分根据历年平均以及经验值划分是合理的，忽略其它因素的影响。
5、假设认为层次结构中准则层可以通过文献和个人判断力得出准确比较尺度。
6、假设认为可以忽略准则层中各个因素之间的相互影响。
7、假设认为总参加上海世博的人数等于预测的7500万人。
四、符号说明
模型
（一）
dLiiL1、——第个聚类对象第个指标的无量纲化处理的白化值
cij2、第i个指标第j个灰类的有量纲标准值
Si3、——第i个指数的参考标准
pij4、——第i个指标第j个灰类的无量纲处理后的标准量fxij，，ji5、——指标灰类的白化函数
Wij6、——每个指标的不同灰类级别在总灰类中的权
ij7、——各个指标在各级灰类的权
Fii8、——第个聚类对象的白化函数值矩阵
Lj9、——聚类对象对灰类的亲疏程度可由聚类系数
模型
（二）
wi1、——准则层各个因素的准则层的尺标
A2、——准则层对目标的成对比较阵
CI3、——一致阵定义一致性指标
RI4、——Saaty随即一致性指标
CR5、——定义一致性比率
Bi6、——方案层对准则层的成对比较阵
iBi7、——的特征根
五、模型建立
5.1评价指标体系
选择一个适当的层次分析指标体系对于合理贴切的分析尤为重要.通过各国人民交流历史文化分析上海世博的影响力的要素是一个非常复杂的系统.该系统的指标多达数十种,对所有指标进行归类分析整理,并按照系统分析原理,以通用性、协调性、综合性、客观性和实用性为原则,建立一个多层次综合评价指标体系。
再通过层次分析法进行分析，建立第二个模型，他它包含3个层次:
目标层、准则层、方案层.目标层为各国人民历史文化交流,准则层各有5个方面,方案层为上海世博
3
会、日本爱知世博会、德国汉诺威世博会。
见图
各国人民历史文化交流
品牌推广民俗交流旅游推广工艺品展览城市知名度
2010年中国上海2005年日本爱知2000年德国汉诺
世博会世博会威世博会
评价的递阶层次结构图
5.2聚类模型的建立
应用灰色聚类的方法判断聚类的对象所属的级别，分析级别，对其客观定量的加权。
5.2.1灰色聚类的方法，就是建立在白化函数的基础上，将聚类对象对于不同的聚类指标所拥有的白化数按几个灰类归纳，进而判断该聚类对象是属于哪一类的一种方法。
基本步骤如下:
（1）给出聚类所需的白化数;
（2）确定灰类的白化函数;
（3）求聚类权;
（4）求聚类系数;
（5）进行聚类计算、得到聚类结果。
（6）根据聚类结果对其客观定量的加权
（7）灰色聚类法在上海世博会影响力分析中的应用
（8）确定聚类对象、指标及灰类的划分
4
为了评价上海世博的影响力我们将上海世博、日本爱知世博、德国汉诺威世博
L三届世博会作为聚类对象，即=1、2、3。
5.2.2相关的数据统计
根据互联网上的有关调查，将影响世博的主要因素旅客流量、参展面积、举办
i时长、参展国家数作为聚类指标，即=1、2、3、4。
往届世博会监测数据（即白化数），建立表格。
见表1。
表1往届世博数据
指标上海世博日本爱知世博德国汉诺威世博旅客流量（万人）750022001800参展面积（平方公里）31.731.6
举办时长（天）184185153
展馆数（个）210125190
根据近十届世博来，各个世博的数据及有关文献本文确立了3个定量评估级别，即一共有3个灰类记为，见表2j,1,2,3
表2定量评价灰类的划分
指标灰类1灰类2灰类3
旅客流量（万人）100020005000
参展面积（平方公里）1.02.02.5
举办时长（天）150180200
参展国家数（个）100150180
5.2.3数据的无量纲化处理
为了使所有白化数在运算时都不受量纲的影响，且便于综合分析，并使聚类结果具有可比性，所以要对给出的白化数和灰类数进行无量纲化处理
往届参数的无量纲化处理计算公式如下:
L,1,2,3CLi,dLii,1,2,3,4Si
dLiiL式中:
——第个聚类对象第个指标的无量纲化处理的白化值，见表3
dLj3往届参数的无量纲化结果
指标上海世博日本爱知世博德国汉诺威世博
旅客流量（万人）3.751.10.9参展面积（平方公里）1.50.8650.8
举办时长（天）1.021.030.85
参展国家数（个）1.40.831.27CLi——相应的原始白化值，见表1;
5
Si——第i个指数的参考标准，根据实际情况选前四级标准定量评价划分值，即旅客流量为2000万，参展面积为2.0平方公里，举办时长为180天，参展国家150个。
5.2.4各级标准的无量纲化处理
计算公式如下:
i,1,2,3,4Cij,pijj,1,2,3S
pij式中:
——第i个指标第j个灰类的无量纲处理后的标准量，见表4。
表4各灰类的无量纲化结果（）pij
指标123
旅客流量（万人）0.512.5
参展面积（平方公0.511.25里）
举办时长（天）0.8311.11
参展国家数（个）0.6711.2c第i个指标第j个灰类的有量纲标准值，见表2;——意义同上。
Siij
5.2.5建立各指标的各灰类白化函数
对于i个指标j个灰类，可以用白化函数曲线或关系式表达各个指标的白化值分别对个灰类的亲疏关系。
p当评价因子的值等于（小于一级或大于九级）标准值时，取对应级别的隶属ij
的为1，此外均按下式计算:
1xp,,ij,
（1）,ijxp,,
（1）,,ijpxp,,,
（1）ijijpp,,f,,ijpx,
（1），ij,pxp,,
（1），ijijp,
（1），,ijpij,0xpxp,,或
（1）,,ij
（1），ij,
fxij，，ji式中:
——指标灰类的白化函数;
根据表各级灰类标准值（见表4）及上述公式可得到各评价因子对各级灰类的白化函数如下:
6
10.5x,,
x,0.25,0.250.5,,x,0.25f,,111,x,0.51,,x,0.5,00.251xx,,或,
11x,,
x,0.5,0.51,,x,0.5f,,122.5,x,12.5,,x,1.5,012.5xx,,或,
12.5x,,
x,1,12.5,,x,1.5f,,134,x,2.54,,x,1.5,02.54xx,,或,
10.5x,,
x,0.25,0.250.5,,x,0.25f,,211,x,0.51,,x,0.5,00.251xx,,或,
11x,,
x,0.5,0.51,,x,0.5f,,221.25,x,11.25,,x,0.25,00.51.25xx,,或,
11.25x,,
x,1,11.25,,x,0.25f,,231.6,x,1.251.6,,x,0.35,01.251.6xx,,或,
7
10.83x,,
x,0.56,0.560.83,,x,0.27f,,311,x,0.831,,x,0.17,00.561xx,,或,
11x,,
x,0.83,0.831,,x,0.17f,,321.11,x,11.11,,x,0.11,00.831.11xx,,或,
11.11x,,
x,1,11.11,,x,0.11f,,331.33,x,1.111.33,,x,0.22,01.111.33xx,,或,
10.67x,,
x,0.33,0.330.67,,x,0.34f,,411,x,0.671,,x,0.34,00.331xx,,或,
11x,,
x,0.67,0.671,,x,0.34f,,421.2,x,11.2,,x,0.2,00.671.2xx,,或,
11.2x,,
x,1,11.2,,x,0.2f,,431.53,x,1.21.53,,x,0.33,011.53xx,,或,
8
5.2.6计算聚类权
先对每个指标的不同灰类进行算求和，再用某一灰类值除以算术和的值作为第
一次权值，即
nW=p/p,ijijijj=1
由上式可知，游客流量在灰类1在4个灰类级别中的权为:
0.0606WPPPP1111111213,/，，,0.25/0.250.51，，,，，，，
Wij同理，可求出其他指标，见表五
Wij，，表五各指标各灰度权重
指标123
旅客流量0.06060.12120.3030
参展面积0.10870.21740.2717
举办时长0.17180.20700.2298
参展国家数0.14160.21140.25375.2.7用灰色聚类法中聚类权的技术方法确定权值，即
n,,=w/wijijijj=1
由于各个准则对上述指标的影响程度不同、影响因素的不同，所分别求出关于产品
推广、民俗交流、城市知名度、旅游推广、工艺品展关于各个指标的不同的聚类权
由上式可知，各个准则对各个指标在各级灰类的权，见表6
（）,表6聚类权的计算结果ij
品牌的推广
指标123
旅客流量0.17770.22220.3766
参展面积0.131870.398850.3377
举办时长0.50370.37940.2856
民俗交流
项目123
旅客流量0.16200.22460.3853
举办时长0.45940.38360.2922
参展展馆数0.37860.39180.3226
城市知名度
指标123
旅客流量0.19490.22040.3658
参展面积0.34960.39530.3280
参展展馆数0.45550.38440.3063
9
旅游推广
指标123
旅客流量0.17770.22220.3766
参展面积0.131870.398850.3377
举办时长0.50370.37940.2856
工艺品展览
指标123
参展面积0.25750.34190.3598
举办时长0.40700.32560.3043
参展展馆数0.33550.33250.3359
5.2.8求聚类系数
聚类对象对灰类的亲疏程度可由聚类系数表示，计算公式如下:
n
,,fd*LjjLLj，，,jL,1j
F分别求出三个聚类对象的矩阵
001/6014/1501/54/50,,,,,,
,,,,,27/10073/1000002/72/53/50,,,,,,F,F,F,123,,,,,,08/113/1109/112/1115/172/170
,,,,,1/28/1700013/330026/33,,,,,,
根据上式得，计算出各个准则（品牌推广、民俗交流、城市知名度、旅游推广、
工艺品展览）对各聚类对象分别关于3个灰类聚类系数及结果如图7所示
品牌推广
聚类对象灰类1灰类2灰类3结果
上海世博0.06280.09650.36233
日本爱知世博0.20740.32680.35383
德国汉诺威0.21330.29210.48913
民俗交流
聚类对象灰类1灰类2灰类3结果
上海世博0.06420.37520.12712
日本爱知世博0.2.960.36590.37373
德国汉诺威0.21210.45170.25422
城市知名度
聚类对象灰类1灰类2灰类3结果
上海世博0.06100.09370.12073
10
日本爱知世博0.20570.38300.40863
德国汉诺威0.21530.37700.24132
旅游推广
聚类对象灰类1灰类2灰类3结果
上海世博0..06280.09650.36233
日本爱知世博0.20740.32680.35383
德国汉诺威0.21330.29210.48913
工艺品展览
聚类对象灰类1灰类2灰类3结果
上海世博0.10280.32170.13232
日本爱知世博0.31310.31980.32423
德国汉诺威0.30810.39740.26462
根据上表的聚类结果，对其灰类级别及各个灰类级别系数进行数据分析，确定其权数。
应用1~9尺度将其数据尺度化，构造准则层的尺标，如表7
表7尺度化数值（1~9）
w1w2w3w4w5产品推广民俗交流城市知名度旅游推广工艺品展中国上海95896日本爱知77877德国汉诺威84584
5.3层次分析法模型
（1）建立层次分析结构模型
深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标—准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。
（2）构造成对比较阵
根据数据分析，用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵
（3）计算权向量并一致性检验
对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。
（4）计算组合权向量（做组合一致性检验）
组合权向量可作为决策的定量依据
六、模型的计算
6.1建立结构模型，评价的递阶层次结构
6.1.1根据数据统计及相关文献知识，对各个准则对目标的重要性分析，构造准
11
则层的尺标，如表8
表8
品牌推广民俗交流城市知名度旅游推广工艺品展w1w2w3w4w5文化交流74985
wwww1234设各个比较准则„对目标的重要性
构造成对比较阵
1Aa,（）ij33，wwaijij:
aaijji,0,,，aij
17/47/97/87/5，，
,4/714/91/24/5,,A,,,,5.4016A,，经计算的最大特征向量为为，9/79/419/89/5
,8/728/918/5,,
,5/75/45/95/81，，
,,n5.40165一致阵定义一致性指标:
CI,,,0.1004n,14
Saaty的结果如下
n1234567891011
000.580.901.121.241.321.411.451.491.51n,5RI,1.12时，由上表得,
CI0.1004定义一致性比率CR,,,0.0890.1,,故通过一致性检验RI1.12
w,0.17150.09800.22060.20600.3038准则层对目标的权向量为，，
5.1.2由模型
（一）中灰色聚类模型得到方案层对准则层的尺度，如表7
w方案层对（品牌推广）的成对比较阵1
，，19/79/8
,B17/917/8,,1,3.000,,B，经计算的最大特征向量为,1,,8/98/71，，
Tw,（0.3750,0.2917,0.3333）1
w方案层对（民俗交流）的成对比较阵2
12
15/75/4，，B2,经计算的最大特征向量为,B,7/517/4,,3.0000,,22
4/54/71,,，，
Tw,（0.3125,0.4375,0.2499）2
„„
同理
算出方案层对各类准则的成对阵，并
算出特征值
118/5，，
,B=118/53,,,3,3.0，经计算的最大特征向量为为,B3,,5/85/81，，
Tw,（0.3810,0.3810,0.238）3
，，19/79/8
,B4=7/917/8B,,4,4,3.0，经计算的最大特征向量为为,,,8/98/71，，
Tw,（0.375,0.2917,0.3333）4
16/76/4，，
,B5=7/617/4B5,,,5,3.0，经计算的最大特征向量为为,
,4/64/71，，
TTw,（0.3529,0.4118,0.2353）5
第3层对第2层的计算结果
k12345
0.37500.31250.38100.37500.3529
0.29170.43750.38100.29170.4118（3）wk0.33330.24990.23800.33330.2353
3.00003.00003.00003.00003.0000,k
00000CIk
n,3，，RI,0.1CI，均可以通过一致性检验
13
T
（2）w,0.17150.09800.22060.20600.3038，，
T第2层对第1层的权向量
（2）
（2）
（2）
（2）
（2）
（2）w,wwwww，，12345
第2层对第1层的权向量（3）（3）（3）（3）Twwww,（,,）kkkk123
构造矩阵（3）（3）（3）（3）（3）（3），，Wwwwww,,,,,12345，，
所以第3层对第1层的权向量（3）（3）
（2）wWw,
0.1715,,
,0.37500.31250.38100.37500.35290.0980,,,,,,（3）,,w,0.29170.43750.38100.29170.41180.2206,,,,,,0.33330.24990.23800.33330.23530.2060,,,,,,0.3038,,
T方案层对目标的组合权重为（0.3634,0.3620,0.2743）方案一对目标的组合权重为0.3634
方案二对目标的组合权重为0.3620
方案三对目标的组合权重为0.2743
七、模型的评价和改进
本文是对上海世博以及往届的世博的各个重要指标数据的统计，将上海世博的影响力具体的定量分析。
根据统计数据可知，上海世博会的影响力均比日本爱知世博会、德国汉诺威世博会略高。
日本、德国是世界强国，通过数据，足见本届世博的影响力之大。
优点:
（1）通过评价体系模型的建立，定
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