高三一轮复习热点题型26对数与对数函数1.docx

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高三一轮复习热点题型26对数与对数函数1

1．对数的概念

一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即

2．对数logaN（a>0，a≠1）具有下列性质

（1）N>0；

（2）loga1＝0；（3）logaa＝1.

3．对数运算法则

（1）loga（MN）＝logaM＋logaN.

（2）loga＝logaM－logaN.

（3）logaMα＝αlogaM.

4．对数的重要公式

（1）对数恒等式：

＝N.

（2）换底公式：

logbN＝.

5．对数函数的图象与性质

a>1

0

图象

性质

（1）定义域：

（0，＋∞）

（2）值域：

R

（3）过定点（1,0），即x＝1时，y＝0

（4）当x>1时，y>0；当0

（5）当x>1时，y<0；当00

（6）在（0，＋∞）上是增函数

（7）在（0，＋∞）上是减函数

6.反函数

指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）若MN>0，则loga（MN）＝logaM＋logaN.（　×　）

（2）logax·logay＝loga（x＋y）．（　×　）

（3）函数y＝log2x及y＝

3x都是对数函数．（　×　）

（4）对数函数y＝logax（a>0，且a≠1）在（0，＋∞）上是增函数．（　×　）

（5）函数y＝ln与y＝ln（1＋x）－ln（1－x）的定义域相同．（　√　）

（6）对数函数y＝logax（a>0且a≠1）的图象过定点（1,0），且过点（a,1），，函数图象只在第一、四象限．（　√　）

1．（2015·湖南）设函数f（x）＝ln（1＋x）－ln（1－x），则f（x）是（　　）

A．奇函数，且在（0,1）上是增函数

B．奇函数，且在（0,1）上是减函数

C．偶函数，且在（0,1）上是增函数

D．偶函数，且在（0,1）上是减函数

答案　A

解析　易知函数定义域为（－1，1），f（－x）＝ln（1－x）－ln（1＋x）＝－f（x），故函数f（x）为奇函数，又f（x）＝ln＝ln，由复合函数单调性判断方法知，f（x）在（0,1）上是增函数，故选A.

2．已知a＝

，b＝

，c＝log2，则（　　）

A．a>b>cB．b>c>a

C．c>b>aD．b>a>c

答案　A

解析　a＝>1,0

＝log32<1，c＝log2＝－log23<0，故a>b>c，故选A.

3．函数f（x）＝lg（|x|－1）的大致图象是（　　）

答案　B

解析　由函数f（x）＝lg（|x|－1）的定义域为（－∞，－1）∪（1，＋∞），值域为R.又当x>1时，函数单调递增，所以只有选项B正确．

4．（2015·浙江）若a＝log43，则2a＋2－a＝________.

答案　

解析　2a＋2－a＝

＝＋＝.

5．（教材改编）若loga<1（a>0，且a≠1），则实数a的取值范围是________________．

答案　∪（1，＋∞）

解析　当0

∴01时，loga1.

∴实数a的取值范围是∪（1，＋∞）．

题型一　对数式的运算

例1　

（1）设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于（　　）

A.B．10

C．20D．100

（2）lg＋lg的值是________．

答案　

（1）A　

（2）1

解析　

（1）∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，

∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.

∴m＝.

（2）原式＝lg＝lg10＝1.

思维升华　在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算．

（1）计算：

＝________.

（2）已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________.

答案　

（1）1　

（2）12

解析　

（1）原式

＝

＝

＝

＝＝＝＝1.

（2）∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3，

∴a2m＋n＝（am）2·an＝22×3＝12.

题型二　对数函数的图象及应用

例2　

（1）函数y＝2log4（1－x）的图象大致是（　　）

（2）当0

A.B.

C．（1，）D．（，2）

答案　

（1）C　

（2）B

解析　

（1）函数y＝2log4（1－x）的定义域为（－∞，1），排除A、B；

又函数y＝2log4（1－x）在定义域内单调递减，排除D.选C.

（2）

方法一　构造函数f（x）＝4x和g（x）＝logax，当a>1时不满足条件，当0

可知f

即2

则a>，所以a的取值范围为.

方法二　∵0

∴logax>4x>1，

∴0

x＝，则有

＝2，

＝1，

显然4x

思维升华　应用对数型函数的图象可求解的问题

（1）对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性（单调区间）、值域（最值）、零点时，常利用数形结合思想．

（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．

（1）已知lga＋lgb＝0，则函数f（x）＝ax与函数g（x）＝－logbx的图象可能是（　　）

（2）设方程10x＝|lg（－x）|的两个根分别为x1，x2，则（　　）

A．x1x2<0B．x1x2＝1

C．x1x2>1D．0

答案　

（1）B　

（2）D

解析　

（1）∵lga＋lgb＝0，∴ab＝1，

∵g（x）＝－logbx的定义域是（0，＋∞），故排除A.

若a>1，则0

此时f（x）＝ax是增函数，g（x）＝－logbx是增函数．

故选B.

（2）

构造函数y＝10x与y＝|lg（－x）|，

并作出它们的图象，如图所示．

因为x1，x2是10x＝|lg（－x）|的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为x1，x2，不妨设x2<－1，－1

题型三　对数函数的性质及应用

命题点1　比较对数值的大小

例3　设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则（　　）

A．c>b>aB．b>c>a

C．a>c>bD．a>b>c

答案　D

解析　由对数运算法则得a＝log36＝1＋log32，b＝1＋log52，c＝1＋log72，由对数函数图象得log32>log52>log72，所以a>b>c，故选D.

命题点2　解对数不等式

例4　若loga（a2＋1）

A．（0,1）B．（0，）

C．（，1）D．（0,1）∪（1，＋∞）

答案　C

解析　由题意得a>0，故必有a2＋1>2a，

又loga（a2＋1）

同时2a>1，∴a>.

综上，a∈（，1）．

命题点3　和对数函数有关的复合函数

例5　已知函数f（x）＝loga（3－ax）．

（1）当x∈[0,2]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；

（2）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？

如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．

解　

（1）∵a>0且a≠1，设t（x）＝3－ax，

则t（x）＝3－ax为减函数，

x∈[0,2]时，t（x）的最小值为3－2a，

当x∈[0,2]时，f（x）恒有意义，

即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立．

∴3－2a>0.∴a<.

又a>0且a≠1，∴a∈（0,1）∪.

（2）t（x）＝3－ax，∵a>0，∴函数t（x）为减函数．

∵f（x）在区间[1,2]上为减函数，∴y＝logat为增函数，

∴a>1，x∈[1,2]时，t（x）最小值为3－2a，f（x）最大值为f

（1）＝loga（3－a），

∴即

故不存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.

思维升华　在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．

（1）设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则（　　）

A．a>c>bB．b>c>a

C．c>b>aD．c>a>b

（2）若f（x）＝lg（x2－2ax＋1＋a）在区间（－∞，1]上递减，则a的取值范围为（　　）

A．[1,2）B．[1,2]

C．[1，＋∞）D．[2，＋∞）

（3）设函数f（x）＝若f（a）>f（－a），则实数a的取值范围是（　　）

A．（－1,0）∪（0,1）B．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

C．（－1,0）∪（1，＋∞）D．（－∞，－1）∪（0,1）

答案　

（1）D　

（2）A　（3）C

解析　

（1）∵<2<3,1<2<，3>2，

∴log3

log51log22，

∴1，∴c>a>b.

（2）令函数g（x）＝x2－2ax＋1＋a＝（x－a）2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在（－∞，1]上递减，则有即

解得1≤a<2，即a∈[1,2），故选A.

（3）由题意可得或

解得a>1或－1

2．比较指数式、对数式的大小

典例　

（1）设a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．c

C．b

（2）设a＝log2π，b＝

π，c＝π－2，则（　　）

A．a>b>cB．b>a>c

C．a>c>bD．c>b>a

（3）已知a＝

，b＝

，c＝（）

，则（　　）

A．a>b>cB．b>a>c

C．a>c>bD．c>a>b

思维点拨　

（1）可根据幂函数y＝x0.5的单调性或比商法确定a，b的大小关系，然后利用中间值比较a，c大小．

（2）a，b均为对数式，可化为同底，再利用中间变量和c比较．（3）化为同底的指数式．

解析　

（1）根据幂函数y＝x0.5的单调性，

可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b

根据对数函数y＝log0.3x的单调性，可得log0.30.2>log0.30.3＝1，即c>1.

所以b

（2）∵a＝log2π>log22＝1，b＝

π＝log2

（3）c＝（）

＝

＝

.

方法一　

在同一坐标系中分别作出函数y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x的图象，如图所示．

由图象知：

log23.4>log3>log43.6.

方法二　∵log3>log33＝1，且<3.4，

∴log3

∵log43.61，

∴log43.6

∴log23.4>log3>log43.6.

由于y＝5x为增函数，∴

>

>

.

即

>（）

>5

，故a>c>b.

答案　

（1）C　

（2）C　（3）C

温馨提醒　

（1）比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．

（2）解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.

[方法与技巧]

1．对数值取正、负值的规律

当a>1且b>1或00；

当a>1且01时，logab<0.

2．对数函数的定义域及单调性

在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为（0，＋∞）．对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按01进行分类讨论．

3．比较幂、对数大小有两种常用方法：

（1）数形结合；

（2）找中间量结合函数单调性．

4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定．

[失误与防范]

1．在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为logaMα＝αloga|M|（α∈N＋，且α为偶数）．

2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：

（1）务必先研究函数的定义域；

（2）注意对数底数的取值范围．

A组　专项基础训练

（时间：

35分钟）

1．若函数y＝logax（a>0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（　　）

答案　B

解析　由题图可知y＝logax的图象过点（3,1），

∴loga3＝1，即a＝3.

A项，y＝3－x＝（）x在R上为减函数，错误；

B项，y＝x3符合；

C项，y＝（－x）3＝－x3在R上为减函数，错误；

D项，y＝log3（－x）在（－∞，0）上为减函数，错误．

2．已知x＝lnπ，y＝log52，z＝

，则（　　）

A．x

C．z

答案　D

解析　∵x＝lnπ>lne，∴x>1.

∵y＝log52

∵z＝e－＝>＝，∴

综上可得，y

3．若函数f（x）＝则f（log23）等于（　　）

A.B.

C.D.

答案　C

解析　∵1

∴f（log23）＝f（log23＋1）＝f（log23＋2）

＝f（log23＋3）＝f（log224）

＝

＝2

＝

＝.

4．设f（x）＝lg是奇函数，则使f（x）<0的x的取值范围是（　　）

A．（－1,0）B．（0,1）

C．（－∞，0）D．（－∞，0）∪（1，＋∞）

答案　A

解析　由f（x）是奇函数可得a＝－1，

∴f（x）＝lg，定义域为（－1,1）．

由f（x）<0，可得0<<1，∴－1

5．定义在R上的函数f（x）满足f（－x）＝－f（x），f（x－2）＝f（x＋2），且x∈（－1,0）时，f（x）＝2x＋，则f（log220）等于（　　）

A．1B.

C．－1D．－

答案　C

解析　由f（x－2）＝f（x＋2），得f（x）＝f（x＋4），因为4＜log220＜5，所以f（log220）＝f（log220－4）＝－f（4－log220）＝－f（log2）＝－（

＋）＝－1.

6．函数f（x）＝log2·log（2x）的最小值为________．

答案　－

解析　显然x>0，∴f（x）＝log2·log（2x）＝log2x·log2（4x2）＝log2x·（log24＋2log2x）＝log2x＋（log2x）2＝2－≥－.当且仅当x＝时，有f（x）min＝－.

7．设函数f（x）满足f（x）＝1＋f（）log2x，则f

（2）＝________________________________.

答案　

解析　由已知得f（）＝1－f（）·log22，则f（）＝，则f（x）＝1＋·log2x，故f

（2）＝1＋·log22＝.

8．（2015·福建）若函数f（x）＝（a＞0，且a≠1）的值域是[4，＋∞），则实数a的取值范围是__________________________________________________．

答案　（1,2]

解析　由题意f（x）的图象如右图，则∴1＜a≤2.

9．已知函数y＝

（x2－ax＋a）在区间（－∞，）上是增函数，求a的取值范围．

解　函数y＝l

（x2－ax＋a）是由函数y＝

t和t＝x2－ax＋a复合而成．

因为函数y＝

t在区间（0，＋∞）上单调递减，

而函数t＝x2－ax＋a在区间（－∞，）上单调递减，

又因为函数y＝

（x2－ax＋a）在区间（－∞，）上是增函数，

所以解得

即2≤a≤2（＋1）．

10．设f（x）＝loga（1＋x）＋loga（3－x）（a>0，a≠1），且f

（1）＝2.

（1）求a的值及f（x）的定义域；

（2）求f（x）在区间[0，]上的最大值．

解　

（1）∵f

（1）＝2，

∴loga4＝2（a>0，a≠1），

∴a＝2.

由得x∈（－1,3），

∴函数f（x）的定义域为（－1,3）．

（2）f（x）＝log2（1＋x）＋log2（3－x）

＝log2（1＋x）（3－x）＝log2[－（x－1）2＋4]，

∴当x∈（－1,1]时，f（x）是增函数；

当x∈（1,3）时，f（x）是减函数，

故函数f（x）在[0，]上的最大值是f

（1）＝log24＝2.

B组　专项能力提升

（时间：

25分钟）

11．（2015·陕西）设f（x）＝lnx,0＜a＜b，若p＝f（），q＝f，r＝（f（a）＋f（b）），则下列关系式中正确的是（　　）

A．q＝r＜pB．p＝r

C．q＝r>pD．p＝r＞q

答案　B

解析　∵0＜a＜b，∴＞，

又∵f（x）＝lnx在（0，＋∞）上为增函数，

∴f＞f（），即q＞p.

又r＝（f（a）＋f（b））＝（lna＋lnb）＝ln＝p，

故p＝r＜q.选B.

12．设函数f（x）定义在实数集上，f（2－x）＝f（x），且当x≥1时，f（x）＝lnx，则有（　　）

A．f（）

（2）

B．f（）

（2）

C．f（）

（2）

D．f

（2）

答案　C

解析　由f（2－x）＝f（x）知f（x）的图象关于直线x＝＝1对称，又当x≥1时，f（x）＝lnx，所以离对称轴x＝1距离大的x的函数值大，

∵|2－1|>|－1|>|－1|，

∴f（）

（2）．

13．函数f（x）＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为________．

答案　

解析　由题意可知求b－a的最小值即求区间[a，b]的长度的最小值，当f（x）＝0时x＝1，当f（x）＝1时x＝3或，所以区间[a，b]的最短长度为1－＝，所以b－a的最小值为.

14．已知函数f（x）＝ln，若f（a）＋f（b）＝0，且0

答案　

解析　由题意可知ln＋ln＝0，

即ln＝0，从而×＝1，化简得a＋b＝1，故ab＝a（1－a）＝－a2＋a＝－2＋，

又0

∴0

15．设x∈[2,8]时，函数f（x）＝loga（ax）·loga（a2x）（a>0，且a≠1）的最大值是1，最小值是－，求a的值．

解　由题意知f（x）＝（logax＋1）（logax＋2）

＝（logx＋3logax＋2）＝（logax＋）2－.

当f（x）取最小值－时，logax＝－.

又∵x∈[2,8]，∴a∈（0,1）．

∵f（x）是关于logax的二次函数，

∴函数f（x）的最大值必在x＝2或x＝8时取得．

若（loga2＋）2－＝1，则a＝

，

此时f（x）取得最小值时，x＝

＝∉[2,8]，舍去．

若（loga8＋）2－＝1，则a＝，

此时f（x）取得最小值时，x＝（）

＝2∈[2,8]，

符合题意，∴a＝.