人工智能课件第2章3.ppt

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2.4.2A算法与A*算法1A算法与算法与A*算法定义算法定义或图通用算法在采用如下形式的估计函数时,称为A算法。

f（n）=g（n）+h（n）其中g（n）表示从S0到n点费用的估计，因为n为当前节点，搜索已达到n点，所以g（n）可计算出。

h（n）表示从n到Sg接近程度的估计，因为尚未找到解路径，所以h（n）仅仅是估计值。

例2.10在地图上寻找城市A至B的最短路径，双虚线表示ni与Sg的直线距离（可以从地图上量出）,虚线表示ni与Sg的路径，则实线表示的路径为g（n），虚线表示的路径为h（n）。

A=S0B=Sgn1n2n3n4n52.4.2A算法与A*算法若规定h（n）0，并且定义：

f*（n）=g*（n）+h*（n）表示S0经点n到Sg最优路径的费用，也有人将f*（n）定义为实际最小费用。

其中g*（n）为S0到点n的最小费用,h*（n）为n到Sg的实际最小费用。

在上例中，双虚线表示的路径就可以作为h*（n），显然有g（n）g*（n）。

h（n）h*（n）若令h（n）0，则A算法相当于广度优先，因为上一层节点的搜索费用一般比下一层的小。

g（n）h（n）0，则相当于随机算法。

g（n）0，则相当于最佳优先算法。

特别是当要求h（n）h*（n），就称为这种A算法为A*算法算法。

A*算法算法设S0：

初态,Sg：

目标状态1.open=S0；2.closed=；3.如果open=，失败退出；4.在open表上取出f最小的结点n，n放到closed表中；f（n）=g（n）+h（n）h=h*5.若nSg，则成功退出；6.产生n的一切后继，将后继中不是n的先辈点的一切点构成集合M7.对M中的元素P，分别作两类处理：

7.1若PG，则P对P进行估计加入open表，记入G和Tree。

7.2PG，则决定更改Tree中P到n的指针并且更改P的子节点n的指针和费用。

8.转3。

2A*算法的性质算法的性质A*算法与一般的最佳优先比较，有其特有的性质：

如果问题有解，即S0Sg存在一条路径，A*算法一定能找到最优解。

这一性质称为可可采采纳纳性性（admissibility）。

（p35例2.11）下面要证明A*算法的可采纳性，证明分两步：

（1）证若问题有解，A*一定终止，由如下命题1-3证出。

（2）证若问题有解，A*终止时一定找到最优解，由如下命题4证出。

命题命题1对有限图而言，A*一定终止。

证：

考察A*算法，算法终止只有二处：

第一处在第5步，找到解时成功终止。

第二处在第3步，open为空时失败退出。

算法每次循环从open上去掉一个点，而有限图的open表只有有限个节点加入，所以找不到解也会因为open表为空而停止命题命题2若A*不终止，则搜索图中open表上的点的f值将会越来越大。

证：

设n为open中任一节点，d*（n）为从S到n中最短路径长度，由于从某一点求出其后继的费用不小于某个小的正数e，所以g*（n）d*（n）e而g（n）g*（n）d*（n）e又因为h（n）0所以f（n）g（n）g*（n）d*（n）e（2-1）命命题题3若问题有解，在A*终止前，open表上必存在一点n，n位于从S0Sg的最优路径上，且有f（n）f*（S0）（2-2）f*（S0）表示从S0到Sg的最优路的实际最小费用。

f*（n）表示从S0经过n到Sg的最优路的实际最小费用。

证：

令S0=n0，n1，n2，nk=Sg为一条最优路径，设npath（n0，n1，nk）中最后一个出现在open表上的元素。

显然n一定存在，因为至少有S0=n0必然在open上，只考虑当nk还未在closed表中时，因为若nk已在closed表中时，则nk=Sg，A*算法将终止于成功退出。

由定义有f（n）=g（n）+h（n）=g*（n）+h（n）（因为n在最优路径上）g*（n）+h*（n）=f*（n）=f*（S0）（由于A*的定义h（n）h*（n）所以f（n）f*（S0）成立。

推推论论1若问题有解，A*算法一定终止。

因为若A*算法不终止，则命题2的（2-1）与命题3的（2-1）同时成立，则产生矛盾。

命命题题4若问题有解，A*算法终止时一定找到最优解,即A*算法是可采纳的。

证：

A*终止只有两种情况。

（1）在第3步,因open为空而失败退出但由命题3可知：

A*终止前，open表上必存在一点n，满足f（n）f*（S0）即open表不会空，所以，不会终止于第3步。

推推论论2凡open表中任一点n，若f（n）f*（S0），最终都将被A*算法挑选出来求后继，也即被挑选出来进行扩充。

证：

用反证法，设f（n）f*（S0）且n没有被选出来作后继由命题4,A*算法将找到一条路S0=n0，n1，nk=Sg,为最优路径且f（ni）f（n）对一切i=0,1,k成立因为最优路径选择的是ni而不是n，又因为ni在最优路上,由f（ni）=f*（S0）所以f*（S0）f（n）与f（n）f*（S0）同时成立,这是一个矛盾。

命命题题5凡A*算法挑选出来求后继的点n必定满足:

f（n）f*（S0）（2-3）证明:

若n=Sg,由命题4可知,A*一定找到最优解，所以f（n）=f*（Sg）f*（S0）;若nSg,由命题3可知:

存在nopen且有f（n）f*（S0）而现在A*算法选中了n而不是n,所以必有f（n）f（n）f*（S0）即f（n）f*（S0）定定义义1若A1,A2均是A*算法,A1采用f1（x）=g1（x）+h1（x）作为估计函数，A2采用f2=g2（x）+h2（x）作为估计函数。

h1（x）,h2（x）都满足:

hi（x）hi*（x）,i=1,2（2-4）如果h1（x）AC分枝中任一点的值，则永远不会走B这条路，这将导致可能找不到解。

BCASg实际是1,估计21.51另外搜索的费用并不完全由搜索节点数多少来确定，若f2（n）计算远比f1（n）复杂，则在比较两个搜索算法时，必须要考虑f的计算费用。

一般来说要权衡如下三个因素：

（1）路径费用；

（2）寻找路径时所搜索的节点数；（3）计算f所需的计算量。

若h（x）满足一定限制,如单调性限制，则搜索路径几乎就是解路径，因而大大减小了搜索费用。

定定义义2一个启发式函数中的h（x）满足单调限制，可定义为：

如果对所有ni与nj，nj是ni的后继，有h（ni）h（nj）+c（ni,nj），并且h（Sg）=0,即nj到目标的最佳费用估计不会大于ni到目标的最佳费用估计加上ni至nj的费用。

这个要求相当一个三角不等式。

命命题题7估计函数若满足单调限制，那么A*所扩充的任一点（即用来求过后继的点）n必在最优路上。

证明思路：

令g*（n）代表从S0n的最优路径费用，所以一般有g（n）g*（n）（2-12）下面再利用单调限制能够证明：

g（n）g*（n）（2-13）联立（2-12），（2-13），可得g（n）=g*（n），也就说明了n位于最佳路径上。

3对对A*算法的评价算法的评价A*算法的优点有：

（1）A*算法一定能保证找到最优解。

（2）若以搜索的节点数来估计它得效率，则当启发式函数h的值单调上升时，它的效率只会提高，不会降低。

（3）有比较合理的渐近性质。

A*算法的缺点是：

在不仅考虑搜索节点的多少，而且还要考虑搜索节点被搜索的次数的时候，则当h（n）过低估计h*（n）时，有时会显出很高的复杂性。

例题：

走迷宫算法假设某个精灵从A点走到B点，而A，B点之间隔着半堵墙。

如下图所示，左边的浅色方块代表起点A，右边的浅色方块代表终点B，正中间的深灰色填充区域代表墙。

求从A点到B点的一条（最短）路径算法总结

（1）添加起始位置到OpenList中

（2）重复下面的步骤：

（2.1）.在OpenList中寻找F值最低的节点，这个节点称为当前位置。

（2.2）把当前位置交换到CloseList中，即从OpenList中删除该节点并添加到CloseList中。

（2.3）对于当前位置的8个邻域，操作如下：

如果该区域走不通或该区域已经在CloseList中，则忽略该区域。

否则做下面的操作。

如果该区域不在OpenList中，则把该区域添加到OpenList中，并使该区域的父指针指向当前位置。

如果该区域已经在OpenList中，则计算一下当前区域到该区域的G累加值。

如果这个G值比原来该区域的G值还小，则说明这条路径很好。

如果是这样，将该区域的父指针指向当前区域，并重新计算该区域的G值和F值。

如果OpenList是按F值排序的，则现在需要重新排序。

（2.4）当下面任意一个条件满足时，停止搜索。

目标区域已经被加入到OpenList中，即路径找到了。

没有找到目标区域，并且OpenList已经为空，即没有可达路径。

（3）保存路径。

利用父指针从目标区域往回走直到回到起始点。

2.5问题归约与问题归约与AO*算法算法2.5.1问题归约求解方法与问题归约求解方法与“与与/或图或图”在问题求解过程中,将一个大的问题变换成若干子问题,子问题又可分解成更小的子问题，这样一直分解到可以直接求解为止,全部子问题的解即为大的问题的解,这样的过程称为问题的规约（ProblemReduction）。

并称大的问题为初始问题，可直接求解的问题为本原问题。

一般说来，归约方法求解问题需要三大要素：

1初试问题的描述。

2一组将问题变换成子问题的变换规则。

3一组本原问题的描述。

例2.13符号积分问题分解时有三种可能:

1.and2.or3.and,or都有从初始问题出发,建立子问题以及子问题的子问题,直至把初始问题规约为一个本原问题的集合,这就是问题规约的实质。

2.5.2与与/或图搜索或图搜索将问题求解归约为与/或图的时，作如下规定：

1与或图中始点（根）为原始问题描述;与或图中对应于本原问题的节点为终叶节点。

2可解节点为：

2.1终叶节点是可解节点；2.2若n为一非终叶节点，且含有“或”后继节点，则只有当后继节点中至少有一个是可解节点时，n才可解；2.3若n为一非终叶节点，且含“与”后继节点，则只有当后继节点全部可解时，n才可解。

3不可解节点：

3.1没有后继节点的非终叶节点为不可解；3.2若n为一非叶节点含有“或”后继节点，则仅当全部后继节点为不可解时，n不可解。

3.3若n为一非叶节点含有“与”后继节点，则只要有一个后继节点为不可解时，n为不可解。

4与或图中搜索费用的计算：

设从当前节点n到目标集Sg费用估计为h（n）.4.1若nSg,则h（n）=0;4.2若n有一组由“与”弧连接的后继节点n1,n2,ni则h（n）=c1+c2+ci+h（n1）+h（n2）+h（ni）。

其中ci为n到ni弧的费用。

4.3若n既有“与”又有“或”弧，则“与”弧算作一个“或”后继，再取各or弧后继中费用最小者为n的费用。

2.5.3与与/或图搜索的特点或图搜索的特点1与与/或图搜索搜索费用的估计或图搜索搜索费用的估计对与对与/或图则不同，其费用计算的规则是：

或图则不同，其费用计算的规则是：

n未生成后继节点时，费用由未生成后继节点时，费用由n本身决定本身决定;n已已生生成成后后继继节节点点时时，费费用用由由n的的后后继继节节点的费用决定。

点的费用决定。

因为后继节点代表分解的子问题因为后继节点代表分解的子问题,子问子问题的难易程度决定原问题求解的难易程度，题的难易程度决定原问题求解的难易程度，所以不再考虑所以不再考虑n本身的难易程度。

因此当本身的难易程度。

因此当决定了某个路径时，要将后继节点的决定了某个路径时，要将后继节点的估计估计值往回传送。

值往回传送。

例2.14图2-35为一个与/或图的搜索过程。

第一步，A是唯一节点；第二步，扩展A后，得到节点B,C和D,因为B，C的耗费为9，D的耗费为6，所以把列D的弧标志为出自A最有希望的弧；第三步，选择对D的扩展，得到E和F的与弧，其耗费估计值为10。

此时回退一步后，发现与弧BC比D更好，所以将弧BC标志为目前最佳路径；第四步，在扩展B后,再回传值发现弧BC的耗费为12（6+4+2），所以D再次成为当前最佳路径。

最后求得的耗费为:

f（A）=min（12,4+4+2+1）=11。

以上搜索过程由两大步组成：

（1）自顶向下，沿当前最优路产生后继节点。

（2）由底向上，作估计值修正