门爱东老师DSP讲义第3章2.ppt

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北北京京邮邮电电大大学学信信息息与与通通信信工工程程学学院院多多媒媒体体中中心心门门爱爱东东DigitalSignalProcessing,MenAidong,MultimediaTelecommunicationCentre,BUPTnFFT:

FastFourierTransformn1965年年，JamesW.Cooley和和JohnW.Tukey在在计计算算数数学学（MathematicsofComputation）上上发发表表了了“一一种种用用机机器器计计算算复复序序列列傅傅立立叶叶级级数数的的算算法法（AnalgorithmforthemachinecalculationofcomplexFourierseries）”论文。

论文。

n自自此此之之后后，新新的的算算法法不不断断涌涌现现。

一一种种是是对对N等等于于2的的整整数数次次幂幂的的算算法法，如如基基2算算法法，基基4算算法法。

另另一一种种是是N不不等等于于2的的整整数数次次幂幂的的算算法法，例例如如Winagrad算法，素因子算法。

算法，素因子算法。

3.4FFT（快速离散傅里叶变换）（快速离散傅里叶变换）Dr.JamesW.CooleyWorkedatIBMWatsonResearchCenterinYorktownHeights,N.Y.AfterhisretirementfromIBMin1991,hejoinedtheElectricalEngineeringDepartmentattheUniversityofRhodeIsland.JohnW.Tukey（19152000）1北北京京邮邮电电大大学学信信息息与与通通信信工工程程学学院院多多媒媒体体中中心心门门爱爱东东DigitalSignalProcessing,MenAidong,MultimediaTelecommunicationCentre,BUPT3.4FFT：

直接计算直接计算DFT的运算量分析的运算量分析nN点有限长序列点有限长序列x（n）的的DFT变换对的定义为：

变换对的定义为：

其中其中假设假设x（n）是复序列，是复序列，同时同时X（k）一般也是复数。

一般也是复数。

2北北京京邮邮电电大大学学信信息息与与通通信信工工程程学学院院多多媒媒体体中中心心门门爱爱东东DigitalSignalProcessing,MenAidong,MultimediaTelecommunicationCentre,BUPT复数乘法复数乘法复数加法复数加法每一个每一个X（k）NN1N个个X（k）（N点点DFT）N2N（N1）实数乘法实数乘法实数加法实数加法一次复乘一次复乘42一次复加一次复加2每一个每一个X（k）4N2N+2（N1）=2（2N1）N个个X（k）（N点点DFT）4N22N（2N1）3.4FFT：

直接计算直接计算DFT的运算量分析的运算量分析复乘的加复乘的加法次数法次数复加的加复加的加法次数法次数3北北京京邮邮电电大大学学信信息息与与通通信信工工程程学学院院多多媒媒体体中中心心门门爱爱东东DigitalSignalProcessing,MenAidong,MultimediaTelecommunicationCentre,BUPTn如如N=512、1024和和8192时，时，DFT的乘法运算的乘法运算N2=5122=218=262144（26万次）万次）N2=10242=220=1048576（105万次）万次）N2=81922=226=67108864（6千千7百万次）百万次）对对于于大大N，在在实实际际中中是是不不能能接接受受的的，无无法法“实实时时”应应用用DFT。

一般地，在计算机中，一次加法比一次乘法所需时间要短一般地，在计算机中，一次加法比一次乘法所需时间要短;在在DSP中中，由由于于乘乘法法用用特特殊殊的的硬硬件件电电路路专专门门完完成成，因因此此乘乘法法和加法所需机器周期相同。

和加法所需机器周期相同。

Cooley与与Turkey提提出出的的FFT算算法法，大大大大减减少少了了计计算算次次数数。

如如N=512时时，FFT的的乘乘法法次次数数约约为为2000次次，提提高高了了约约128倍倍，而而且且简简化化随随N的的增增加加而而巨巨增增，因因而而，用数值方法计算频谱得到实际应用。

用数值方法计算频谱得到实际应用。

3.4FFT：

直接计算直接计算DFT的运算量分析的运算量分析4北北京京邮邮电电大大学学信信息息与与通通信信工工程程学学院院多多媒媒体体中中心心门门爱爱东东DigitalSignalProcessing,MenAidong,MultimediaTelecommunicationCentre,BUPT3.4FFT：

WNkn的性质的性质5北北京京邮邮电电大大学学信信息息与与通通信信工工程程学学院院多多媒媒体体中中心心门门爱爱东东DigitalSignalProcessing,MenAidong,MultimediaTelecommunicationCentre,BUPTn以以4点点DFT为例：

为例：

直直接接计计算算需需要要：

42=16次次复复数数乘乘。

而而按按周周期期性性及及对对称称性性，可以将可以将DFT表示为：

表示为：

只需要只需要1次复数乘次复数乘3.4FFT：

WNkn的性质的性质信号流图信号流图？

x（0）x

（2）x

（1）x（3）-1-1-1-1W41X（0）X

（1）X

（2）X（3）6北北京京邮邮电电大大学学信信息息与与通通信信工工程程学学院院多多媒媒体体中中心心门门爱爱东东DigitalSignalProcessing,MenAidong,MultimediaTelecommunicationCentre,BUPTnFFT算法分类算法分类:

时间时间抽选法抽选法DIT:

Decimation-In-Time频率频率抽选法抽选法DIF:

Decimation-In-Frequency3.4FFT：

基本思想基本思想n基本思路基本思路：

虽虽然然存存在在不不同同的的FFT方方法法，但但其其核核心心思思想想大大致致相相同同，即即通通过过迭迭代代，反反复复利利用用低低点点数数的的DFT完完成成高高点点数数的的DFT计计算算，以以此此达达到到降降低低运算量的目的。

运算量的目的。

迭迭代代：

利利用用WNkn的的周周期期性性、特特殊殊点点和和对对称称性性，合合并并DFT计计算算中中很多重复的计算，达到降低运算量的目的。

很多重复的计算，达到降低运算量的目的。

低低点点数数：

将将傅傅氏氏变变换换DFT分分解解成成相相继继小小的的DFT计计算算，即即N变变小小，而计算量与而计算量与N2成正比。

成正比。

7北北京京邮邮电电大大学学信信息息与与通通信信工工程程学学院院多多媒媒体体中中心心门门爱爱东东DigitalSignalProcessing,MenAidong,MultimediaTelecommunicationCentre,BUPTn算法原理算法原理设序列点数设序列点数N=2M，M为整数。

若不满足，则补零。

为整数。

若不满足，则补零。

将序列将序列x（n）按按n的奇偶分成两组：

的奇偶分成两组：

N为为2的整数幂的的整数幂的FFT算法称基算法称基-2FFT算法。

算法。

即一组由偶数序号组成，另一组由奇数序号组成。

即一组由偶数序号组成，另一组由奇数序号组成。

3.4.1FFT：

基基2时间抽选法时间抽选法-算法原理算法原理注意其长度为注意其长度为N/2N/28北北京京邮邮电电大大学学信信息息与与通通信信工工程程学学院院多多媒媒体体中中心心门门爱爱东东DigitalSignalProcessing,MenAidong,MultimediaTelecommunicationCentre,BUPT3.4.1FFT：

基基2时间抽选法时间抽选法-算法原理算法原理9北北京京邮邮电电大大学学信信息息与与通通信信工工程程学学院院多多媒媒体体中中心心门门爱爱东东DigitalSignalProcessing,MenAidong,MultimediaTelecommunicationCentre,BUPT偶数取样点偶数取样点DFT为：

为：

3.4.1FFT：

基基2时间抽选法时间抽选法-算法原理算法原理奇数取样点奇数取样点DFT为：

为：

k的的整整个个范范围围为为0（N-1），而而X1（k）、X2（k）是是由由N/2个个样样点点形形成成的的DFT，x（2r）和和x（2r1）的长度为）的长度为N/2；由由这这两两个个偶偶数数和和奇奇数数N/2个个时时域域样样值值可可以以计计算算出出前前N/2个个DFT系系数数，也可以计算出后也可以计算出后N/2个个DFT系数。

系数。

问问题题：

这这前前后后N/2个个DFT有有无无关关系系？

k在在N/2（N-1）时时，X1（k）、X2（k）、WN情况如何？

情况如何？

10北北京京邮邮电电大大学学信信息息与与通通信信工工程程学学院院多多媒媒体体中中心心门门爱爱东东DigitalSignalProcessing,MenAidong,MultimediaTelecommunicationCentre,BUPT3.4.1FFT：

基基2时间抽选法时间抽选法-算法原理算法原理观察观察则则11北北京京邮邮电电大大学学信信息息与与通通信信工工程程学学院院多多媒媒体体中中心心门门爱爱东东DigitalSignalProcessing,MenAidong,MultimediaTelecommunicationCentre,BUPT因因此此：

整整个个X（k）的的计算算，可可以以分分解解为前前、后后半半部部分分的的运运算。

而算。

而只要求出前一半只要求出前一半，就可以由上式求出整个序列。

，就可以由上式求出整个序列。

3.4.1FFT：

基基2时间抽选法时间抽选法-算法原理算法原理同理同理而而因此因此12北北京京邮邮电电大大学学信信息息与与通通信信工工程程学学院院多多媒媒体体中中心心门门爱爱东东DigitalSignalProcessing,MenAidong,MultimediaTelecommunicationCentre,BUPTn上式表示为信号流程图：

上式表示为信号流程图：

n此信号流程图也称为此信号流程图也称为蝶形蝶形流程图流程图3.4.1FFT：

基基2时间抽选法时间抽选法-算法原理算法原理偶数点的偶数点的DFT奇数点的奇数点的DFTMorphoButterfly大闪蝶大闪蝶（南美洲南美洲）13北北京京邮邮电电大大学学信信息息与与通通信信工工程程学学院院多多媒媒体体中中心心门门爱爱东东DigitalSignalProcessing,MenAidong,MultimediaTelecommunicationCentre,BUPT以以N=8为例，其信号流程图：

为例，其信号流程图：

3.4.1FFT：

基基2时间抽选法时间抽选法-算法原理算法原理偶偶数数序序列列奇奇数数序序列列14北北京京邮邮电电大大学学信信息息与与通通信信工工程程学学院院多多媒媒体体中中心心门门爱爱东东DigitalSignalProcessing,MenAidong,MultimediaTelecommunicationCentre,BUPTN/2仍为偶数，进一步分解：

仍为偶数，进一步分解：

N/2N/43.4.1FFT：

基基2时间抽选法时间抽选法-算法原理算法原理15北北京京邮邮电电大大学学信信息