钢结构稳定理论-2.ppt

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哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论第二章第二章轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲（flexuralbucklingofaxialcompressedmembers）flexuralbucklingofaxialcompressedmembers）2-1轴压杆的荷载位移曲线轴压杆的荷载位移曲线1-小挠度理论欧拉临界力（弹性）2-大挠度理论屈曲后性能（弹性）3-有初弯曲时（弹性）4-有初偏心时（弹性）3-有初弯曲时（弹塑性）4-有初偏心时（弹塑性）哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论2-2理想轴压杆的弹性屈曲理想轴压杆的弹性屈曲（perfectcolumns）perfectcolumns）1）理想轴压杆的欧拉临界力Eulercriticalload基本假设：

v同一材料制成的等截面直杆，两端铰接；v荷载作用在截面形心上；v平截面假定，仅考虑弯曲变形（忽略剪切变形）；v材料为弹性；v构件变形非常微小（小挠度理论）。

哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论则力矩平衡方程为：

为二阶齐次常微分方程该微分方程的通解为：

A,B为待定系数，由边界条件确定哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论否则方程的解为0，没有意义。

即由此可得临界力公式为：

与之对应的挠曲线为：

哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论v参数kn或Pcrn在数学上称为固有值、本征值或特征值（eigenvalue）。

v在参数取特征值时，方程有非0解，所以数学上也叫求解特征值问题。

轴向压力横向挠度最低的临界力即为欧拉临界力哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论2）边界效应与计算长度的概念（boundaryconditionsandeffectivelengthconcept）（求解两端为任意支承情况时的临界力）PQMBMAPQMAPQPQMxxyy任意一截面弯矩（对A点取矩）：

弯矩与曲率的关系则有二阶常系数微分方程：

其中：

哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论则方程的通解为：

其中A、B、C、D为四个由边界条件确定的待定系数。

对通解求导，可得其各阶导数：

各种支承情况的边界条件为：

铰支：

固支：

自由端：

剪力Q0，由前面的微分方程得：

再求一次导数得：

杆件两端各有两个边界条件，共四个，正好形成四个方程哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论v工况一：

两端嵌固轴心压杆有：

为使关于A、B、C、D的齐次方程组有非0解，则其系数行列式应为0。

哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论则：

因此有：

由第一式得：

第二式为超越方程，需采用数值解法或图解法在坐标系中分别画出曲线和，其交点即为方程的解。

哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论取最小值得：

结合上述两个方程的解，取小值，得两端嵌固杆的临界力为：

哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论v工况二：

一端铰接、一端嵌固的轴心压杆有：

哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论采用图形曲线法得：

哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论v工况三：

一端嵌固、一端自由的轴心压杆有：

哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论v工况四：

一端嵌固、另一端侧向可动但不转动的轴心压杆有：

哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论v工况五：

一端铰支、一端侧向可动但不转动的轴心压杆有：

哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论注：

从上述五种工况的结果可以看出，临界力Pcr可表达为：

l0有效长度、或计算长度；l实际杆长；杆件计算长度系数。

哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论临界应力：

其中：

屈曲临界应力与长细比的关系：

超过屈服点fy时以虚线表示哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论2-3轴心受压构件的大挠度理论轴心受压构件的大挠度理论1）大挠度方程基本假设：

v同一材料制成的等截面两端铰接直杆；v荷载作用在截面形心上；v平截面假定，仅考虑弯曲变形；v材料为弹性；v构件曲率与变形的关系：

因此大挠度方程为：

与小挠度理论相同哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论2）大挠度理论的解应采用特殊的变换和数值解法才能求解。

（大多数非齐次微分方程都没有解析解）可以得到大挠度理论轴心受压构件的荷载挠度曲线哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论3）几点结论v当P比例极限p时，欧拉公式不再适用。

因为前面推导时用到了，E为弹性模量，应该是不变的；而弹塑性阶段时模量将发生变化。

哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论v临界长细比（为弹性失稳和弹塑性失稳的分界点）若令：

哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论v轴心压杆弹塑性失稳的计算理论切线模量理论，1889，Engesser.F,Et双模量理论，1895，Engesser.F,EtErEShanley理论，1946，Shanley.F.R,广泛用于解决稳定的分岔失稳问题，或板的非弹性屈曲。

Shanley证明：

切线模量屈曲荷载是弹塑性屈曲荷载的下限，而双模量屈曲荷载为其上限。

实际试验结果更接近于切线模量理论。

哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论2）切线模量理论TangentModulusTheory,1889年Engesser提出v基本假设基本假设构件是挺直的；构件两端铰接，荷载沿构件轴线作用；构件的弯曲变形很微小；弯曲前的平截面在弯曲后仍为平面；在弯曲时全截面没有出现反号应变。

哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论最后一条假设认为：

达到弹塑性失稳荷载Pt后，构件微弯时荷载还略有增加，而且增加的平均轴向应力正好抵消因弯曲而在11截面右侧边缘产生的拉应力。

即：

凹面压应力增加为max；凸面压应力增加量正好为0。

作用于11截面上的压力为：

哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论作用于11截面上的内力矩为：

全截面对形心轴的面积矩为0哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论任意截面i上的内力（弯矩和轴力）对原点的平衡方程为：

代入前面推导得到的轴力和弯矩，则求解微分方程，得：

其中Pt和Et均为未知，需要迭代求解。

哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论3）双模量理论DoubleModulusTheory,1895年Engesser提出v补充基本假设上述假设最后一条变为：

弯曲时凹面产生正号应变，凸面产生负号应变；即凹面为继续加载区，凸面为卸载区。

v加载区变形模量为Et（它与截面平均应力r相对应）；卸载区变形模量为E弯曲轴远离形心轴向移动哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论v在加载区距弯曲轴z1处：

v在卸载区距弯曲轴z2处：

哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论v1-1截面上的压力：

认为由上式可以求出中性轴的位置哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论v1-1截面上的内力矩：

哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论任意截面i上的内力（弯矩和轴力）对原点的平衡方程为：

代入前面推导得到的轴力和弯矩，则求解微分方程，得：

其中为折算模量。

哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论注：

若求,故需反复迭代计算；对于矩形截面对于工字形截面腹板很薄时，绕强轴的Pt小于Pr，曾认为双模量理论更为完善，但研究表明Pt更接近试验结果。

原因是：

非理想轴心压杆都存在微小缺陷，屈曲时弯曲凸面不出现反号应变。

哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论4）Shanley理论1946年v使用由三部分组成的力学模型：

两根l/2长的刚性杆和中间连接的弹塑性铰；v弹塑性变形全部集中在弹塑性铰处发生；v铰的应力应变关系为双折线；哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论v铰模型如图，铰的弹性模量为E，切线模量为Et，铰的肢长为h，肢距h，每肢面积为A/2；v当P达到临界时，由直杆变为微弯，引起铰的左右肢杆应变为1和2，两肢变形如图；v构件挠度为哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论v铰链处外力矩：

v铰链处内力矩：

v若弯曲凹面和凸面的变形模量为E1和E2，则v所以内力矩哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论v由内外力矩平衡，即相等得：

v讨论如下：

讨论如下：

当构件发生弹性屈曲时，E1E2E，则：

当构件在弹塑性状态屈曲时，并采用切线模量理论时，E1E2Et，则与切线模量理论结果一致哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论当构件在弹塑性状态屈曲时，并采用双模量理论时：

E1Et，E2E。

因为则：

其中：

是Shanley模型的折算模量。

经比较可知EtErE，因此PtPrPE；与双模量理论结果一致哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论Shanley模型柱屈曲后性能研究。

前提是建立荷载P与挠度d之间的关系。

令：

并利用前面的代入（a）式得：

（b）下面想办法消去2。

考虑到模型达到Pt后荷载仍在继续增加，因此（c）哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论由（b）（c）两式得：

分析如下：

i.d0时，P=Pt，这是分岔屈曲荷载。

切线模量屈曲荷载Pt是弹塑性屈曲荷载的下限。

ii.d时，iii.由于iv.说明双模量理论屈曲荷载为上限。

哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论iii.当d为有限值时，PtP，即这也是1907年魁北克大桥倒塌的原因（弦杆缀条太弱）。

当=3050时，sincos20.36，则v讨论哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论4）双肢缀板柱v剪力Q引起的位移单肢水平位移哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢结结构构稳稳定定理理论论v柱肢的水平变形：

一般缀板刚度要求大于柱肢刚度的6倍以上，所以b可以忽略。

v单位剪切角v换算长细比哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学钢钢