直线的投影(同济大学课件).ppt

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第二节第二节直线的投影直线的投影一、各种位置直线的投影一、各种位置直线的投影1两点确定一条直线，将两点的同两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。

名投影。

直线对一个投影面的投影特性直线对一个投影面的投影特性一、一、一、一、直线的投影特性直线的投影特性直线的投影特性直线的投影特性ABab直线垂直于投影面直线垂直于投影面投影重合为一点投影重合为一点积聚性积聚性直线平行于投影面直线平行于投影面投影反映线段实长投影反映线段实长ab=AB直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影比空间线段短ab=ABcosABabAMBabmaaabbb直线投影的基本特性直线投影的基本特性一般情况下，一般情况下，直线的投影仍然直线的投影仍然为直线，特殊情况为一个点。

为直线，特殊情况为一个点。

21、投影面、投影面平行线平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜2、投影面、投影面垂直线垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面）水平线（平行于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面311、投影面平行线投影面平行线水平线水平线水平线水平线正平线正平线正平线正平线侧平线侧平线侧平线侧平线4baababbaabba在其平行的那个投影面上的投影反映实长，在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实形。

并反映直线与另两投影面倾角的实形。

另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。

水平线水平线侧平线侧平线正平线正平线投投影影特特性：

性：

与与H面的夹角面的夹角:

与与V面的角面的角:

与与W面的夹角面的夹角:

实长实长实长实长实长实长baaabb522、投影面垂直线投影面垂直线铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线6反映线段实长。

且垂直于相应反映线段实长。

且垂直于相应的投影轴。

的投影轴。

铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线另外两个投影另外两个投影，在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上，投影有积聚性投影有积聚性。

投影特性投影特性:

c（d）cddcaba（b）abefefe（f）733、一般位置直线一般位置直线8投影特性：

投影特性：

三个投影都缩短。

即即:

都不反映空间线段都不反映空间线段的实长及与三个投影面的实长及与三个投影面夹角的实形，且与三根夹角的实形，且与三根投影轴都倾斜。

投影轴都倾斜。

abbaba3、一般位置直线的实长及对投影面的倾角91011二、二、直线上的点直线上的点、直线上点的投影、直线上点的投影12直线上的点具有两个特性直线上的点具有两个特性：

从属性从属性从属性从属性若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。

利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是上。

利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。

否在直线上。

定比性定比性定比性定比性属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。

即属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。

即ACAC:

CBCB=acac:

cbcb=aacc:

ccbb=aacc:

ccbbABbbaaXOccCc13、对于投影面垂直线、对于投影面垂直线或一般位置直线，可由或一般位置直线，可由它们的任意两个投影决它们的任意两个投影决定。

定。

、对于投影面平行线，则、对于投影面平行线，则须根据三面投影来判别。

须根据三面投影来判别。

点是否在直线上的判别方法点是否在直线上的判别方法：

ABCVHbccbaa14点点C不不在在直线直线AB上上例例1：

判断点：

判断点C是否在线段是否在线段AB上。

上。

abcabccabcab点点C在直在直线线AB上上应用应用从属性从属性15例例2：

判断点：

判断点K是否在线段是否在线段AB上。

上。

abk因因k不在不在ab上，上，故点故点K不在不在AB上。

上。

应用定比定理应用定比定理abkabk另一判断法另一判断法?

16直线上的点，把直线分直线上的点，把直线分成两段，这两段线段长成两段，这两段线段长的长度之比，等于它们的长度之比，等于它们相应投影之比。

即：

相应投影之比。

即：

、直线上点的定比性、直线上点的定比性AC/CB=ac/cb=ac/cbABCVHbccbaa定比定理定比定理17例题例题33已知点已知点CC在线段在线段ABAB上，求点上，求点CC的正面的正面投影。

投影。

bXabaccaccbXOABbbaacCcHV18三、两直线的相对位置三、两直线的相对位置平行平行相交相交交叉交叉垂直相交垂直相交19空间两直线的相对位置分为：

空间两直线的相对位置分为：

平行平行、相交相交、交叉交叉。

两直线平行两直线平行投影特性：

投影特性：

空间两直线平空间两直线平行，则其各行，则其各同名投同名投影影必相互平行，反必相互平行，反之亦然。

之亦然。

aVHcbcdABCDbda20空间两直线的相对位置分为：

空间两直线的相对位置分为：

平行平行、相交相交、交叉交叉。

两直线平行两直线平行判别：

判别：

1）如空间两直线为）如空间两直线为一般位一般位置直线置直线，则可由作意两投，则可由作意两投影面上的投影判别。

影面上的投影判别。

aVHcbcdABCDbda2）如空间两直线为）如空间两直线为投影面投影面平行线平行线，则要从与它们平行，则要从与它们平行的投影面上的投影来判别。

的投影面上的投影来判别。

3）思考：

如空间两直线为）思考：

如空间两直线为投影面垂直线呢？

投影面垂直线呢？

21abcdcabd例例1：

判断图中两条直线是否平行。

：

判断图中两条直线是否平行。

对于对于一般位置直一般位置直线线，只要有两个同名，只要有两个同名投影互相平行，空间投影互相平行，空间两直线就平行。

两直线就平行。

AB/CD22bdcacbaddbac对于投影面平行线，要对于投影面平行线，要叛定它们在空间是否平行，叛定它们在空间是否平行，则要看它们在平行的投影面则要看它们在平行的投影面上的投影来判断。

上的投影来判断。

求出侧面投影后可知：

ABAB与与CDCD不平行。

不平行。

例例2：

判断图中两条直线是否平行。

：

判断图中两条直线是否平行。

求出侧面投影求出侧面投影如何判断？

如何判断？

23HVABCDKabcdkabckdabcdbacdkk两直线相交两直线相交判别方法：

判别方法：

若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律交点的投影必符合空间一点的投影规律。

若空间两直线相交，若空间两直线相交，其同面投影必相交，其同面投影必相交，且交点的投影符合点且交点的投影符合点的投影规律的投影规律特特性性：

24cabbacdkkd例：

过例：

过C点点作水平线作水平线CD与与AB相交。

相交。

先作正面投影先作正面投影25dbaabcdc两直线交叉两直线交叉投影特性投影特性：

同名投影可能相交，同名投影可能相交，但但“交点交点”不符合空不符合空间一个点的投影规律间一个点的投影规律。

“交点交点”是两直线上的是两直线上的一一对对重影点的投影重影点的投影，用其可帮助判断两直用其可帮助判断两直线的空间位置。

线的空间位置。

为什么？

两直线相交吗？

26例题例题判断两直线的相对位置判断两直线的相对位置baacddcbX11d1c1故：

两直线并叉。

故：

两直线并叉。

请你请你用另一方法判别：

用另一方法判别：

27判断两直线重影点的可见性判断两直线重影点的可见性XOBDACbbaaccdd（3）41

（2）43341212判断重影点的可判断重影点的可见性时，需要看重影见性时，需要看重影点在另一投影面上的点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影，坐标值大的点投影可见，反之不可投影可见，反之不可见，不可见点的投影见，不可见点的投影加括号表示。

加括号表示。

28例题例题判断两直线重影点的可见性判断两直线重影点的可见性bbcddcXaa3（4）34121

（2）2944、两直线垂直相交（或垂直交叉）、两直线垂直相交（或垂直交叉）直角的投直角的投影特性：

影特性：

若直角有一边平行于投影面，则它若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。

在该投影面上的投影仍为直角。

设设直角边直角边BC/H面面因因BCAB,同时同时BCBb所以所以BCABba平面平面直线在直线在H面上的投影互相垂直面上的投影互相垂直即即abc为直角为直角因此因此bcab故故bcABba平面平面又因又因BCbcABCabcHacbabc.证明：

证明：

反之，相交两直线在某一投影面上的投影互相垂直，且两直线反之，相交两直线在某一投影面上的投影互相垂直，且两直线中有一直线平行于该投影面，则该两直线在空间互相垂直。

中有一直线平行于该投影面，则该两直线在空间互相垂直。

30dabcabcd例：

过例：

过C点作直线与点作直线与AB垂直相交。

垂直相交。

AB为正平线为正平线,正正面投影反映直角。

面投影反映直角。

.315、直线的迹点、直线的迹点直线与投影面的交点：

直线与投影面的交点：

水平迹点、正面迹点、侧面迹点。

HVXBmababnNnAMmO小小结结32点与直线的投影特性，尤其是点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线特殊位置直线的投影特性的投影特性。

点与直线及两直线的相对位置的判断方法及点与直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性。

投影特性。

定比定理。

直角定理，即两直线垂直时的投影特性。

重点掌握：

33一、各种位置直线的投影特性一、各种位置直线的投影特性一般位置直线一般位置直线三个投影与各投影轴都倾斜。

三个投影与各投影轴都倾斜。

投影面平行线投影面平行线在其平行的投影面上的投影反映线段实长在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。

另两个投影平行于相及与相应投影面的夹角。

另两个投影平行于相应的投影轴。

应的投影轴。

投影面垂直线投影面垂直线在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。

在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。

另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。

34二、直线上的点二、直线上的点点的投影在直线的同名投影上。

点的投影在直线的同名投影上。

点分线段成定比，点的投影必分线段的投影点分线段成定比，点的投影必分线段的投影成定比成定比定比定理。

定比定理。

三、三、两直两直线的线的相对相对位置位置平行平行相交相交交叉（异面）交叉（异面）同名投影互相平行。

同名投影互相平行。

同名投影相交，交点是两直线的共有同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。

点，且符合空间一个点的投影规律。

同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但“交点交点”不符合空间一个点的投影规律。

不符合空间一个点的投影规律。

“交交点点”是两直线上一对重影点的投影。

是两直线上一对重影点的投影。

点的投影在直线的同名投影上。

点分线段成

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